基于數(shù)學(xué)史的《直線(xiàn)的傾斜角和斜率》教學(xué)

張哲

【摘 要】 數(shù)學(xué)史不僅讓我們對(duì)過(guò)去的數(shù)學(xué)進(jìn)行懷念，更重要的是讓我們對(duì)數(shù)學(xué)充滿(mǎn)希望和期盼，讓數(shù)學(xué)史真正走進(jìn)高中數(shù)學(xué)教育，關(guān)注數(shù)學(xué)抽象形式背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)及相關(guān)歷史背景，關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展演變過(guò)程中的重要思想方法，是我們數(shù)學(xué)教師要做的一件重要的事情。筆者將以《直線(xiàn)的傾斜角和斜率》的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，淺談如何在高中數(shù)學(xué)課堂中有機(jī)融入數(shù)學(xué)史，全面了解數(shù)學(xué)科學(xué)，大力倡導(dǎo)數(shù)學(xué)精神，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，提高數(shù)學(xué)養(yǎng)成。

【關(guān) 鍵 詞】 數(shù)學(xué)史；作用和意義；直線(xiàn)的傾斜角與斜率

一、教學(xué)內(nèi)容與過(guò)程

（一）簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)史，了解學(xué)科思想

采用直接運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式進(jìn)行導(dǎo)入，具體做法是：課前，我布置學(xué)生閱讀第三章章頭語(yǔ)，自主搜集有關(guān)解析幾何資料思考。上課時(shí)，設(shè)計(jì)情境導(dǎo)入，學(xué)生史料學(xué)習(xí)展示3～4分鐘。旨在介紹背景，揭示課題，教學(xué)片斷如下：

【教學(xué)片斷】

師：在數(shù)學(xué)史上，曾經(jīng)有這么幾位數(shù)學(xué)家，他們想創(chuàng)造一種能解決世界上一切問(wèn)題的方法，法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾就是其中的一位。他們的設(shè)想是這樣的：“任何問(wèn)題→數(shù)學(xué)問(wèn)題→代數(shù)問(wèn)題→方程問(wèn)題→求解方程→得到結(jié)論”。因此，如何用代數(shù)的方法來(lái)解決幾何問(wèn)題是他們遇到的難題之一。

據(jù)說(shuō)一天，當(dāng)?shù)芽柼稍诖采闲菹r(shí)，看見(jiàn)一只蒼蠅正在天花板上爬，粘在了蜘蛛網(wǎng)上，蜘蛛迅速爬過(guò)去把它捉住，他突發(fā)奇想，假如在墻角的三根交線(xiàn)上分別標(biāo)上刻度，不就能用有序數(shù)對(duì)來(lái)表示蜘蛛的位置了嗎？這一想可了不得，使得代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)聯(lián)系起來(lái)了，產(chǎn)生了解析幾何學(xué)。笛卡爾的這種想法就是直角坐標(biāo)系的雛形，有了直角坐標(biāo)系，點(diǎn)就可以用數(shù)來(lái)表示，進(jìn)而線(xiàn)與面也能用數(shù)來(lái)表示，從而使得用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題有了可能。

聽(tīng)了這個(gè)傳說(shuō)，同學(xué)們有什么想法？

生：數(shù)學(xué)的直覺(jué)來(lái)源于生活。

生：人們?cè)诳嗨稼は牒蟮撵`感不是不可能的，但事實(shí)上，笛卡爾之所以能創(chuàng)立解析幾何，主要是他艱苦探索、潛心思考的結(jié)果。

師：在平面幾何的研究中，我們是直接通過(guò)幾何圖形中點(diǎn)、直線(xiàn)的關(guān)系來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì)?，F(xiàn)在我們采用另外一種研究方法：坐標(biāo)法。

通過(guò)自學(xué)第三章章頭語(yǔ)，結(jié)合大家課前收集的有關(guān)解析幾何資料，請(qǐng)大家談?wù)勈裁词亲鴺?biāo)法？

生：坐標(biāo)法是以坐標(biāo)系為橋梁，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形性質(zhì)的方法。

生：坐標(biāo)法是解析幾何的核心思想方法。用坐標(biāo)法研究幾何的學(xué)科稱(chēng)為解析幾何，它是17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬創(chuàng)立的。

生：解析幾何的創(chuàng)立，引入了一系列新的數(shù)學(xué)概念，特別是將變量引入數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展時(shí)期，這就是變量數(shù)學(xué)的時(shí)期。解析幾何在數(shù)學(xué)發(fā)展中起了推動(dòng)作用。

師：本課我們將研究最基礎(chǔ)的知識(shí)——直線(xiàn)的傾斜角和斜率，我們先研究坐標(biāo)平面內(nèi)最簡(jiǎn)單的圖形——直線(xiàn)。為此，我們先探索確定直線(xiàn)位置的幾何要素，然后在坐標(biāo)系中用代數(shù)的方法把幾何要素表示出來(lái)，從中體會(huì)解析幾何研究問(wèn)題的基本方法和數(shù)學(xué)思想。

（二）探究1：傾斜角概念的形成，體會(huì)用坐標(biāo)刻畫(huà)傾斜角的方法

在教學(xué)中首先是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，然后通過(guò)討論明確用角來(lái)刻畫(huà)直線(xiàn)的方向，如何定義這個(gè)角呢，學(xué)生在討論中逐漸明確傾斜角的概念。

問(wèn)題1：已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)p，直線(xiàn)l的位置能確定嗎？（自己動(dòng)手畫(huà)畫(huà)）

【設(shè)計(jì)意圖】 在探究?jī)A斜角定義的形成過(guò)程中，主要研究所有直線(xiàn)與其傾斜角的關(guān)系，將定義具體化、全面化，同時(shí)得到傾斜角的意義。

問(wèn)題2：如何刻畫(huà)直線(xiàn)的傾斜程度？在直角坐標(biāo)系中，傾斜程度可以用直線(xiàn)與坐標(biāo)的關(guān)系來(lái)刻畫(huà)，那么用什么具體概念來(lái)體現(xiàn)呢？

學(xué)生通過(guò)對(duì)在直角坐標(biāo)系中直線(xiàn)位置的觀察，發(fā)現(xiàn)“夾角”問(wèn)題后，老師進(jìn)一步提出下列問(wèn)題。

問(wèn)題3：一條直線(xiàn)與坐標(biāo)系有四個(gè)的夾角，而且有的夾角相同，但直線(xiàn)傾斜狀況也不一樣，選定哪個(gè)角為傾斜角更合適呢？怎樣定義？

【設(shè)計(jì)意圖】 培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考、探究的學(xué)習(xí)能力，通過(guò)逐步的提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行建構(gòu)。

（三）探究2：斜率概念引入的坐標(biāo)法思想

在師生得出了傾斜角的概念后，教師引導(dǎo)學(xué)生將角（幾何）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為斜率（代數(shù)）問(wèn)題。提出以下問(wèn)題：

問(wèn)題4：傾斜角是描述直線(xiàn)傾斜程度的幾何要素，那么用代數(shù)中“數(shù)”能否表示直線(xiàn)的傾斜程度呢？

引導(dǎo)學(xué)生回顧日常生活中，我們用坡度的大小表示傾斜程度的量，坡度（比）=類(lèi)比得出數(shù)學(xué)中斜率的定義。

【設(shè)計(jì)意圖】 分析學(xué)生熟悉的例子，構(gòu)建新舊知識(shí)聯(lián)接的橋梁，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。通過(guò)生活上坡度的問(wèn)題，引出數(shù)學(xué)中斜率的概念，培養(yǎng)學(xué)生觀察、類(lèi)比、探究的數(shù)學(xué)思維。

問(wèn)題5：斜率和傾斜角的關(guān)系是怎樣的呢？

試試：已知各直線(xiàn)傾斜角，則其斜率的值為

（1）當(dāng)α=0°時(shí)，則k__________；

（2）當(dāng)0°<α<90°時(shí)，則k__________；

（3）當(dāng)α=90°時(shí)，則k__________；

（4）當(dāng)90°<α<180°時(shí)，則k__________。

【設(shè)計(jì)意圖】 進(jìn)一步加深對(duì)傾斜角與斜率的關(guān)系的理解。

（四）探究3：過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式

問(wèn)題6：學(xué)習(xí)教材P83～P84，探究如何由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算直線(xiàn)的斜率。

給定兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），試求直線(xiàn)P1P2的斜率k。

【設(shè)計(jì)意圖】 逐步實(shí)踐坐標(biāo)法。

追問(wèn)：上述公式的適用范圍是什么？與所取的點(diǎn)的坐標(biāo)是否有關(guān)，與所取點(diǎn)的先后順序是否有關(guān)？

【設(shè)計(jì)意圖】 辨析公式。

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。以上教學(xué)過(guò)程重視數(shù)學(xué)思想方法的挖掘和應(yīng)用，使學(xué)生經(jīng)歷幾何問(wèn)題代數(shù)化的過(guò)程，并初步了解解析幾何研究問(wèn)題的基本思想方法，學(xué)習(xí)解析幾何，就是要“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”，學(xué)會(huì)把握數(shù)形之間的內(nèi)在聯(lián)系。

問(wèn)題7：教師進(jìn)一步引導(dǎo)：兩點(diǎn)間斜率公式有什么注意事項(xiàng)嗎？

引導(dǎo)學(xué)生討論，學(xué)生代表發(fā)言：

1. 垂直于x軸的直線(xiàn)無(wú)斜率。

2. 斜率公式與直線(xiàn)上點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，學(xué)生一般會(huì)想到用相似三角形的相似比來(lái)證明該問(wèn)題，此處滲透了數(shù)形結(jié)合的思想。

師：辨析公式追問(wèn)：上述公式的適用范圍是什么？與所取點(diǎn)的坐標(biāo)是否有有關(guān)，與所取點(diǎn)的先后順序是否有關(guān)？

公式的特點(diǎn)：（1）當(dāng)x1=x2時(shí)，公式不適用，此時(shí)α=90°；（2）直線(xiàn)的斜率可以通過(guò)直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示；（3）與兩點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)。

二、數(shù)學(xué)史在《直線(xiàn)的傾斜角與斜率》教學(xué)中的應(yīng)用

（一）采用數(shù)學(xué)史進(jìn)行情境教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)

當(dāng)代希臘的《數(shù)學(xué)教學(xué)綱要》指出，教材中使用歷史材料的目的是“提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使他們熱愛(ài)數(shù)學(xué)。”

在本節(jié)課的導(dǎo)入中，運(yùn)用數(shù)學(xué)史進(jìn)行情境教學(xué)，有機(jī)融入數(shù)學(xué)史。開(kāi)課時(shí)，在指導(dǎo)學(xué)生閱讀的基礎(chǔ)上，通過(guò)整合章頭圖和開(kāi)篇語(yǔ)，簡(jiǎn)介解析幾何的發(fā)展歷史，讓學(xué)生初步了解解析幾何的基本思想，感受科學(xué)家的發(fā)現(xiàn)過(guò)程和情緒體驗(yàn)，讓學(xué)生融入科學(xué)家的思維情境和發(fā)明創(chuàng)造的氛圍中，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)和探索精神。正所謂“知之者不如好之者，好之者不如樂(lè)之者”。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，把數(shù)學(xué)史中經(jīng)典的歷史話(huà)題恰倒好處地引入到數(shù)學(xué)課堂中，可以事半功倍，幫助學(xué)生多角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，展示數(shù)學(xué)不斷發(fā)展的生動(dòng)有趣，會(huì)使學(xué)生感到造化安排數(shù)學(xué)之巧妙，數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)學(xué)之深邃，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)悟之歡快，從而可以大大激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)的美麗，被數(shù)學(xué)所吸引，從而喜歡數(shù)學(xué)，熱愛(ài)數(shù)學(xué)。

（二）在教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)中感受概念的來(lái)龍去脈，體現(xiàn)解析幾何的基本思想

傾斜角和斜率，都是反映直線(xiàn)相對(duì)于x軸正方向的傾斜程度的，傾斜角是從“形”的角度刻畫(huà)直線(xiàn)的傾斜程度，而斜率是從“數(shù)”的角度刻畫(huà)直線(xiàn)的傾斜程度。傾斜角是一個(gè)橋梁，利用它可以將兩直線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為斜率問(wèn)題。而在建立直線(xiàn)方程，研究直線(xiàn)的幾何性質(zhì)時(shí)斜率起著重要的作用。因此，坐標(biāo)法和斜率是本課時(shí)的核心概念。傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立，是本節(jié)課的主要教學(xué)任務(wù)。

據(jù)此確定本節(jié)課研究問(wèn)題的思路“用角刻畫(huà)傾斜程度→一點(diǎn)一角確定直線(xiàn)→坐標(biāo)運(yùn)算研究幾何特征→形成k與α統(tǒng)一”與解析幾何的基本思想“幾何問(wèn)題→代數(shù)問(wèn)題→代數(shù)結(jié)論→幾何解釋”是完全吻合的。

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)注重把概念的來(lái)龍去脈呈現(xiàn)給學(xué)生，如笛卡兒在他的書(shū)籍《方法論》和《指導(dǎo)思維的法則》中，就提出疑問(wèn)：古希臘人只告訴你結(jié)論是什么，如何證明，但沒(méi)有告之結(jié)論是如何發(fā)現(xiàn)的。如歐拉的《原本》證明了幾百個(gè)命題，但并沒(méi)有說(shuō)明它們是如何被發(fā)現(xiàn)的。于是笛卡兒企圖找到一種發(fā)現(xiàn)真理的一般方法，讓普通人也發(fā)現(xiàn)真理。笛卡兒（下轉(zhuǎn)46頁(yè)）（上接44頁(yè)）把他的方法叫“普遍數(shù)學(xué)”，解析幾何正是他將這種“普遍數(shù)學(xué)”實(shí)施于幾何學(xué)時(shí)創(chuàng)造出來(lái)的工具。他主張“采取幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)中一切最好的東西，互相取長(zhǎng)補(bǔ)短”。這種大膽思索創(chuàng)新的精神，正是我們要認(rèn)真學(xué)習(xí)的。

（三）著重探究斜率的定義及計(jì)算公式，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的作用和解析幾何中建立坐標(biāo)系的價(jià)值

從問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)一系列問(wèn)題的作答、體悟，很自然地引入了斜率這個(gè)概念，學(xué)生不會(huì)感到很突然，難以理解。從而調(diào)動(dòng)了學(xué)生探究的主動(dòng)性。使學(xué)生切實(shí)理解斜率和傾斜角都是反映“直線(xiàn)傾斜程度”這一概念的本質(zhì)特征，讓學(xué)生體會(huì)到直線(xiàn)的傾斜角側(cè)重于直線(xiàn)的幾何直觀形象，直線(xiàn)的斜率則側(cè)重于用數(shù)來(lái)說(shuō)明直線(xiàn)的方向。

斜率概念產(chǎn)生的過(guò)程，充分體現(xiàn)了解析幾何的基本思想方法。（1）兩點(diǎn)是確定一直線(xiàn)的幾何要素，傾斜角是反映直線(xiàn)傾斜程度的幾何特征量，借助坐標(biāo)系，點(diǎn)可以坐標(biāo)表示，直線(xiàn)的傾斜角自然可由兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)確定，而引進(jìn)斜率這一概念很好地溝通了兩者的聯(lián)系。使得幾何量有了代數(shù)化的表示。（2）斜率使直線(xiàn)的代數(shù)形式y(tǒng)=kx+b中的k有了明確的幾何意義。（3）通過(guò)斜率可以判斷直線(xiàn)的傾斜程度，討論直線(xiàn)的位置關(guān)系（主要是平行與垂直），這是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的典型示例。

這樣，讓學(xué)生分別用幾何和代數(shù)來(lái)刻畫(huà)傾斜程度，把握代數(shù)與幾何間通過(guò)坐標(biāo)法的聯(lián)系，從而掌握解析幾何的基本思想，通過(guò)斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，滲透辯證唯物主義思想，滲透幾何問(wèn)題代數(shù)化的解析幾何研究思想。

在數(shù)學(xué)概念與理論的教學(xué)中，運(yùn)用數(shù)學(xué)史教學(xué)可以使學(xué)生親歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，即數(shù)學(xué)模式的建構(gòu)過(guò)程，以培養(yǎng)學(xué)生的原創(chuàng)性思維。讓學(xué)生通過(guò)探索、反思、修改、完善，經(jīng)歷曲折和反復(fù)，使學(xué)生真正理解一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題是怎樣提出來(lái)的，一個(gè)數(shù)學(xué)概念是如何形成的，一個(gè)結(jié)論是怎樣探索和猜測(cè)到的，以及是如何應(yīng)用的。

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