基于Weibull 時(shí)間序列函數(shù)與負(fù)指數(shù)法的動(dòng)態(tài)沉陷預(yù)計(jì)

王小華 胡海峰 廉旭剛

(太原理工大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院，山西 太原030024)

研究開采沉陷動(dòng)態(tài)過程對(duì)于預(yù)防沉陷災(zāi)害的發(fā)生具有重要的實(shí)用價(jià)值，對(duì)此，Knothe［1］于1952 年提出了Knothe 時(shí)間函數(shù)模型，但經(jīng)實(shí)踐證明該模型不符合地表下沉的客觀過程;常占強(qiáng)等［2］假設(shè)地表觀測(cè)點(diǎn)的沉陷速度在整個(gè)沉陷過程的中間時(shí)刻最大，將沉陷過程劃分為前后對(duì)稱的2 個(gè)過程，采用對(duì)加速和減速階段分別建模的方法改進(jìn)了Knothe 時(shí)間函數(shù)，但基于該對(duì)稱假設(shè)建立的模型不完全符合實(shí)際情況;徐洪鐘等［3］采用了Logistic 曲線研究地表下沉的動(dòng)態(tài)過程，但該曲線模型為生物增長模型，其增長量的增加應(yīng)有一定的基數(shù)基礎(chǔ)，同時(shí)該模型求出的下沉速度和加速度在初始時(shí)刻均不為0，這顯然不符合開采引起的地表沉陷的客觀規(guī)律。一些學(xué)者也從不同的角度研究了描述地表沉陷區(qū)觀測(cè)點(diǎn)下沉量的時(shí)間序列函數(shù)［4-6］，但該函數(shù)模型描述的地表下沉不完全符合地表沉陷的客觀過程;劉玉成等［7-8］分別從下沉曲線形狀、下沉速度和加速度3 個(gè)方面比較分析了現(xiàn)有的各類時(shí)間函數(shù)模型對(duì)描述地表沉陷過程的適應(yīng)性，指出只有Weibull 時(shí)間序列函數(shù)能夠完整描述地表沉陷的動(dòng)態(tài)過程，并基于該函數(shù)建立了地表沉陷的動(dòng)態(tài)概率積分模型。在各類開采沉陷預(yù)計(jì)模型中，負(fù)指數(shù)法因其預(yù)計(jì)參數(shù)通常表示為與地質(zhì)采礦條件數(shù)據(jù)有關(guān)的經(jīng)驗(yàn)公式，函數(shù)形式直接根據(jù)實(shí)測(cè)資料選定，使得預(yù)計(jì)結(jié)果更接近地表沉陷的真實(shí)狀況，在表示對(duì)于拐點(diǎn)不呈反對(duì)稱的實(shí)際下沉曲線方面具有更大的靈活性［9］。為此，在充分研究采場(chǎng)上覆巖層破斷特征［10-12］及工作面停采后地表移動(dòng)變形規(guī)律［13-17］的基礎(chǔ)上，將Weibull 時(shí)間序列函數(shù)與負(fù)指數(shù)沉陷函數(shù)相結(jié)合，建立充分采動(dòng)條件下走向主斷面的動(dòng)態(tài)地表移動(dòng)變形模型，研究開采沉陷的動(dòng)態(tài)過程。

1 建模理論基礎(chǔ)

1.1 Weibull 時(shí)間序列函數(shù)

采用Weibull 曲線函數(shù)描述地表沉陷區(qū)某觀測(cè)點(diǎn)下沉量與時(shí)間的關(guān)系，表達(dá)式為

式中，Wm為地表沉陷區(qū)觀測(cè)點(diǎn)沉陷穩(wěn)定后的最大下沉量，mm;n1為與采空區(qū)上覆巖層性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)，決定地表觀測(cè)點(diǎn)下沉過程的時(shí)間長短;t 為觀測(cè)點(diǎn)下沉所用的時(shí)間，d;k 為與采空區(qū)上覆巖層性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)，決定地表觀測(cè)點(diǎn)在下沉過程中時(shí)間軸上的運(yùn)動(dòng)路徑，可由下沉速度和加速度的變化規(guī)律體現(xiàn)。參數(shù)n1、k 可通過最小二乘法擬合確定。

對(duì)式(1)計(jì)算一階和二階導(dǎo)數(shù)分別得到地表觀測(cè)點(diǎn)下沉速度v(t)和加速度a(t)的函數(shù)表達(dá)式

文獻(xiàn)［7］通過分析得出Weibull 函數(shù)曲線大致呈“S”型，能有效描述地表沉陷有限增長的動(dòng)態(tài)過程，且下沉速度的變化過程為0 →vmax→0 ，加速度的變化過程為0 →+amax→0 →－amax→0 ，均與地表沉陷的物理過程相符合。

1.2 走向主斷面半無限開采負(fù)指數(shù)法下沉預(yù)計(jì)公式

地表下沉盆地穩(wěn)定后，走向半無限開采的負(fù)指數(shù)法下沉預(yù)計(jì)公式為［18］

式中，Cym為沿走向的采動(dòng)程度系數(shù);H 為煤層采深，m;W0為充分采動(dòng)條件下地表的最大下沉值，mm;a，n，c 為負(fù)指數(shù)法的特定參數(shù)，a 為橫向發(fā)育系數(shù)，n 為形態(tài)系數(shù)，c 為最大下沉點(diǎn)的位置系數(shù)。

式(3)中參數(shù)a，n，c 可按照文獻(xiàn)［19］給出的3種方法(最小二乘法、圖解法和電算法)求取，若缺乏實(shí)測(cè)地表移動(dòng)觀測(cè)資料，可按照類比法并參照礦區(qū)已有的相關(guān)資料選取參數(shù)。煤層上覆巖層中硬條件下負(fù)指數(shù)法的有關(guān)預(yù)測(cè)參數(shù)見表1。

表1 中硬巖層條件下模型的預(yù)測(cè)參數(shù)值Table 1 Model prediction parameter values of medium hard rock strata

2 地表沉陷動(dòng)態(tài)負(fù)指數(shù)法預(yù)計(jì)模型

2.1 主斷面動(dòng)態(tài)沉陷模型的一般形式

地表沉陷盆地內(nèi)觀測(cè)點(diǎn)的下沉變化過程在時(shí)間和空間上是相對(duì)獨(dú)立的，表現(xiàn)在剖面線上任意點(diǎn)在時(shí)間軸上的下沉過程以及整條剖面線在空間軸的下沉過程具有相對(duì)獨(dú)立性［20］。因此地表沉陷盆地主斷面上的動(dòng)態(tài)下沉計(jì)算模型可定義為

式中，wm(x)為地表沉陷盆地穩(wěn)定后主斷面的下沉曲線函數(shù);φx(t)為地表沉陷盆地主斷面上任意x 點(diǎn)的下沉?xí)r間序列函數(shù)。

文獻(xiàn)［21］通過采用FLAC3D軟件模擬煤層的連續(xù)開采過程，并結(jié)合地表沉陷結(jié)果，得出了在相同的開采條件和過程中，地表沉陷盆地主斷面任意2 點(diǎn)的下沉過程在時(shí)間上具有相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。因此沉陷盆地主斷面上的所有觀測(cè)點(diǎn)下沉?xí)r間序列可用函數(shù)φ(t)來表示，即φ(t)= φx(t)，于是，地表沉陷盆地主斷面的動(dòng)態(tài)下沉模型可表示為

2.2 充分采動(dòng)走向主斷面動(dòng)態(tài)負(fù)指數(shù)法預(yù)計(jì)模型

走向主斷面在充分采動(dòng)條件下，隨著工作面的不斷推進(jìn)，下沉曲線也向前移動(dòng)，其位置關(guān)系見圖1(l0為超前影響距離，m;ω 為超前影響角，(°);δ0為邊界角，(°))，以工作面開采至P1時(shí)的坐標(biāo)系統(tǒng)為準(zhǔn)，設(shè)工作面向前推進(jìn)l 時(shí)所用的時(shí)間為t。

圖1 下沉曲線隨的位置變化Fig.1 Position change of subsidence curves

當(dāng)?shù)乇硐鲁僚璧胤€(wěn)定后，此時(shí)走向半無限開采的負(fù)指數(shù)法下沉預(yù)計(jì)公式為

式中，l 為工作面推進(jìn)距離，m。

將式(4)、式(5)中的主斷面的下沉曲線函數(shù)wm(x)用走向半無限開采的負(fù)指數(shù)法下沉預(yù)計(jì)公式(式(6))表示，主斷面上所有觀測(cè)點(diǎn)下沉的時(shí)間序列函數(shù)φ(t)用Weibull 時(shí)間序列函數(shù)(式(1))表示，則可建立充分采動(dòng)條件下走向主斷面的動(dòng)態(tài)沉陷負(fù)指數(shù)法下沉預(yù)計(jì)模型

對(duì)(7)式分別計(jì)算x 的一階、二階導(dǎo)數(shù)，可得到充分采動(dòng)走向主斷面動(dòng)態(tài)沉陷負(fù)指數(shù)法傾斜和曲率預(yù)計(jì)模型

由文獻(xiàn)［19］給出的水平移動(dòng)、水平變形與傾斜、曲率的關(guān)系可得到充分采動(dòng)走向主斷面動(dòng)態(tài)沉陷負(fù)指數(shù)法水平移動(dòng)和水平變形預(yù)計(jì)模型

3 應(yīng)用實(shí)例

山西某煤礦開采一工作面走向長約1 850 m，傾向長270 m，煤層平均采深約610 m，煤層開采厚3.3 m，煤層傾角約7°。在走向主斷面上方地表距離開切眼約1 260 m 處沿著煤層開采方向設(shè)立一走向觀測(cè)線，共設(shè)觀測(cè)點(diǎn)48 個(gè)，點(diǎn)間距25 m，沿著工作面推進(jìn)方向觀測(cè)點(diǎn)編號(hào)順序?yàn)?48#，347#，…，301#，隨后在2012 年7 月—2014 年8 月連續(xù)進(jìn)行了21 次觀測(cè)。地面沉陷有效觀測(cè)點(diǎn)為301#～343#點(diǎn)，對(duì)下沉量最大的343#點(diǎn)的各期下沉量采用Weibull 時(shí)間序列函數(shù)擬合，得到參數(shù)n1=0.00 035 mm/d，k =3.11。該工作面上覆巖層多為粉砂巖和泥巖，巖性較軟，且松散層較厚，參考該礦已有的參數(shù)資料，綜合選取下沉系數(shù)q=0.86，水平移動(dòng)系數(shù)b=0.25，沿走向的采動(dòng)程度系數(shù)Cym=0.94。將最終穩(wěn)定后的各觀測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)采用文獻(xiàn)［8］給出的最小二乘法擬合，計(jì)算出負(fù)指數(shù)法的特定參數(shù)a=3.6，n=3.1，c=tan30°。

采用圖1 所示坐標(biāo)系統(tǒng)，下沉10 mm 的343#點(diǎn)即圖1 中的N1點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的的工作面開采位置為P1點(diǎn)。4 期不同的l、t 值所對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)曲線見圖2，其中第2 期和第4 期相應(yīng)觀測(cè)點(diǎn)的實(shí)測(cè)值、預(yù)計(jì)值及預(yù)計(jì)誤差見表2。

圖2 走向主斷面下沉曲線隨時(shí)間變化Fig.2 Main section subsidence curves change with time

由圖2、表2 可知，下沉預(yù)計(jì)曲線隨時(shí)間的變化符合工作面推進(jìn)過程中地面沉陷的實(shí)際過程;第2 期和第4 期的預(yù)計(jì)曲線與實(shí)測(cè)曲線形態(tài)相近，2 期的最大相對(duì)誤差分別為7.3%和2.7%，擬合效果較好。

表2 預(yù)計(jì)誤差Table 2 Prediction error

充分采動(dòng)走向主斷面動(dòng)態(tài)傾斜、曲率、水平移動(dòng)和水平變形曲線，見圖3。由圖3 可知，基于Weibull時(shí)間序列函數(shù)和負(fù)指數(shù)法的動(dòng)態(tài)沉陷預(yù)計(jì)模型在一定程度上可描述煤層工作面開采過程中地表沉陷的動(dòng)態(tài)變化過程。

4 結(jié) 語

分析了Weibull 時(shí)間序列函數(shù)描述開采沉陷區(qū)觀測(cè)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)變化過程，并給出了充分采動(dòng)條件下走向主斷面負(fù)指數(shù)法的下沉預(yù)計(jì)公式及參數(shù)求取方法。在此基礎(chǔ)上，將Weibull 時(shí)間序列函數(shù)與負(fù)指數(shù)法相結(jié)合，建立了充分采動(dòng)條件下走向主斷面動(dòng)態(tài)負(fù)指數(shù)法預(yù)計(jì)模型，并進(jìn)行了實(shí)例驗(yàn)證分析。結(jié)果表明，該模型的地表動(dòng)態(tài)沉陷預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際觀測(cè)值的誤差較小，從而證明了該模型的有效性。

圖3 4 類曲線隨時(shí)間的變化Fig.3 Four kinds of curves change with time

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