愛因斯坦建立狹義相對論的關鍵一步
——同時性定義

張元仲

(中國科學院理論物理研究所，北京 100084)

特約稿件

愛因斯坦建立狹義相對論的關鍵一步
——同時性定義

張元仲

(中國科學院理論物理研究所，北京 100084)

本文闡明了雙程(回路)光速的數(shù)值可以由實驗直接給出，但是單向光速的數(shù)值不能由實驗獲得而只能通過單向光速各向同性的假設使之等于雙程光速的數(shù)值.有了這個(假定的)單向光速的數(shù)值就可以同步慣性系中的所有時鐘，因而定義了慣性系的時間坐標，正是由于這種同時性定義，愛因斯坦才進而發(fā)現(xiàn)了狹義相對論.迄今為止所有測量光速的實驗給出的都是雙程而非單程光速的數(shù)值.為了從理論上闡述單程光速無法測量，我們介紹了愛德瓦茲同時性，它是使用雙程光速不變而單程光速任意的假設來定義的；同時給出了與之相應的愛德瓦茲變換，進而討論了這種同時性與愛因斯坦同時性的關系.通過時間膨脹和長度收縮效應闡明了二者在物理上是等價的，也就是說單向光速的效應在實驗中不會顯現(xiàn).

狹義相對論；洛倫茲變換；單向光速；雙程光速；時間膨脹；長度收縮

1 建立狹義相對論的關鍵一步——定義同時性

1.1 狹義相對論之前已經有許多物理現(xiàn)象與牛頓理論矛盾

1905年之前已經顯示：電磁場方程在伽利略坐標變換下不能保持形式不變(即電磁理論不滿足伽利略相對性原理)；真空光速是物體運動的極限速度且具有不變數(shù)值；尋找以太的實驗都是零結果以及其他一些實驗無法用牛頓理論進行解釋等等；后來物理學家們通過引入各種假設和對牛頓理論修修補補，得到了用以解釋新實驗結果的各種公式，例如，斐茲杰惹-洛倫茲收縮假說(1892)、拉摩時鐘變慢假設(1900)、質量-速度關系式(1904)、電磁理論中的質量-能量關系式、洛倫茲變換等等.在這些公式中都含有真空光速，但是它們分別來自不同的假設或不同的理論模型.只有當愛因斯坦利用單向光速不變定義了同時性并進而在1905年建立起狹義相對論[1]之后才對上述所有問題給出了統(tǒng)一解釋.

1.2 愛因斯坦邁出的關鍵一步：定義同時性

愛因斯坦在1916年發(fā)表的《廣義相對論基礎》[2]一文中說：“狹義相對論與經典力學的分歧不在于相對性原理，而只在于真空中光速不變的假設”.彭加勒在1905年之前就已經接近了光速不變原理，例如他在1898年發(fā)表的“時間測量”的論文中寫道：“光具有不變的速度，尤其是它的速度在一切方向上都是相同的，這是一個公設，沒有這個公設，就無法量度光速.這個公設從來也不能直接用經驗來驗證”.彭加勒也討論過使用光信號進行時鐘的同步，但是并沒有進一步由此引入慣性系中的時間坐標并進而獲得洛倫茲變換.

愛因斯坦在1905年發(fā)表的《論動體的電動力學》論文[1]中第一節(jié)的標題就是“同時性的定義”：我們在A、B二點各放一只鐘來分別定義“A時間”和“B時間”，但還沒有定義對于A和B是公共的“時間”.然而，當我們通過定義光從A到B所需要的"時間"等于它從B到A所需"時間"的時候，這后一個時間也就可以定義了.有了這個公共時間(即慣性系的時間坐標)也就有了慣性系的明確定義，愛因斯坦進而利用單向光速不變以及其他顯而易見的初始條件推導出了洛倫茲變換.

現(xiàn)在用圖1具體說明單向光速各向同性的假設與光速的測量以及定義時間坐標的關系.

圖1 單向光速各向同性的假設與光速的測量以及定義時間坐標的關系

正是由于愛因斯坦使用單向光速不變的假設定義了慣性系的時間坐標并且進而得到洛倫茲變換，因此才建立了狹義相對論[1].

2 愛因斯坦同時性是無窮多種等價的同時性中最簡單的一種

原則上說，如果沒有不依賴光信號對鐘的新方法就不可能測量單向光速；但是雙程光速的測量只需要放置在給定地點的與同時性無關的同一只時鐘記錄時間，因而其數(shù)值是可以直接測定的.假定了光速各向同性后也只是假定了單向光速等于雙程光速而不是直接測量單向光速的數(shù)值.

2.1 真空中回路光速不變而單向光速可變的表達式[3-6]

至今所完成的真空光速的測量全都是對雙程(閉合回路)光速的測量[5.6]，這些實驗結果表明真空中雙程(或說回路)光速是個不變的常數(shù)c.在真空中滿足雙程(回路)光速不變而單程光速可變的表達式是

其中e是光信號傳播方向的單位矢量，常數(shù)矢量q表征單向光速的可變性，常數(shù)c是雙程光速，ce是光信號沿e方向傳播的單向速度.

現(xiàn)在驗證方程(1)滿足回路光速不變的要求；光信號沿任意閉合回路的傳播時間是：

為了分析問題簡單化，我們假設q的方向平行于慣性系x軸和x′軸而且在兩個慣性系中相同；這樣沿x軸和x′軸的光速由式(1)給出：

其中c+x和c-x分別是光信號沿正、負x和x′軸的真空光速.方程(3)自然滿足在x和x′軸往返雙程光速不變的要求：

2.2 慣性系中同時性定義(即時間坐標的定義)及其坐標變換[1,3-6]

現(xiàn)在考慮利用真空中單向速度可變的光速即方程(3)定義的同時性與愛因斯坦同時性的差別(下面的討論對x′系完全類似).

圖2 愛因斯坦同時性定義與愛德瓦茲同時性定義的關系

假定在t原點時刻光信號從(任意慣性系)x軸原點發(fā)出而后到達x點，在x點放有兩只完全相同的標準時鐘(參見圖2)，其中一只是愛因斯坦時鐘t0(即使用愛因斯坦同時性定義)，另一只稱為愛德瓦茲時鐘t(即使用單向光速可變的方程3對鐘)，因此光信號到達x點時愛因斯坦時鐘的時間t0和愛德瓦茲時鐘的時間t應當分別調到

和

因此這兩只在同一地點的時鐘由于同時性定義不同而給出的時間差是

即

這就是愛因斯坦慣性系的時間坐標t0與愛德瓦茲慣性系的時間坐標t之間的關系.這里以及下文中使用帶有下標“0”的記號代表愛因斯坦的物理量，而不帶下標的代表愛德瓦茲物理量.

對于時空間隔，兩種同時性定義的差別形式上完全類似

使用愛德瓦茲時鐘t測得的物體速度記為v=Δx/Δt；使用愛因斯坦時鐘t0測得的同一物體的速度記為u0=Δx/Δt0.利用式(7)可以得到使用兩種不同時間坐標定義測得的速度之間的關系是

即

說明： 速度u是一般速度在x軸的投影，也就是速度的x方向的分量.這個公式對任何速度都一樣，例如對于兩個慣性系之間的速度通常用記號v和v0代替式(8)中的u和u0.

考慮兩個愛因斯坦慣性系x系和x′系在開始時刻其相應的3個軸互相重合，而且x′系相對于x系以不變速度v0沿x軸運動，這兩個愛因斯坦慣性系的坐標變換就是我們熟知的洛倫茲變換

類似于推導洛倫茲變換的方法，愛德瓦茲慣性系的坐標變換是[3,5,6]

注意：愛德瓦茲慣性系與愛因斯坦慣性系的差別只在于時間坐標，而空間坐標與同時性定義無關因而沒有差別，所以我們使用了同樣的空間坐標符號而只對愛因斯坦時間坐標加了下角標“0”以示區(qū)別.同樣地，時空間隔的愛德瓦茲變換是

2.3 速度互易性與同時性定義相關

速度的互易性是指“你看我的速度是v0,我看你的速度是-v0”；速度是由時間坐標間隔定義的，因而與同時性定義有關，也就是說速度的互易性與同時性定義有關.

2.4 洛倫茲變換和愛德瓦茲變換在物理上等價[5,6]

洛倫茲變換(9)同愛德瓦茲變換(11)的差別只是來自同時性定義不同，因而將關系式(6)和式(8)(式中的u和u0分別換成v和v0)代入愛德瓦茲變換(11)也就是把愛德瓦茲時間坐標t換成愛因斯坦時間坐標t0，同時把愛德瓦茲速度v換成愛因斯坦速度v0，那么愛德瓦茲變換(11)就變成洛倫茲變換(9).這就是說，愛德瓦茲變換(11)在物理實驗中等價于洛倫茲變換(9)(因為至今一切實驗都是使用單向光速不變的假設來對鐘的)，這就是說代表單向光速可變的方向性參數(shù)q不能被實驗測到.為了具體地看到這一點，我們在下面舉兩個例子：時間膨脹和長度收縮效應.

1) 時間膨脹(運動的時鐘變慢)[5,6]

類似地，由式(12)得到愛德瓦茲時間膨脹公式

把式(15)和式(16)以及Δτ′=1s代入愛德瓦茲時間膨脹公式(14)后等號兩邊相同而與方向性參數(shù)無關，這就是說這個實驗并不能確定q的數(shù)值；也就是說，q從-1到+1的取值雖然有無窮多種(代表無窮多種同時性)但是在物理上都是等價的，而q=0(即單向光速各向同性-愛因斯坦同時性定義)是其中最簡單的一種.

2) 長度收縮(運動尺子縮短)[6]

假設在x′系沿x′軸放置的靜止桿子的長度是L≡Δx′；在x系的愛因斯坦觀測者看到這個桿子以速度v0運動，而愛德瓦茲觀測者看到桿子則以速度v運動.在x系測量運動桿子的長度必須同時測量桿子的前后兩端，否則測得的長度就是桿子的長度加上它運動的路程.所以，愛因斯坦觀測者和愛德瓦茲觀測者以各自的同時即Δt0=0和Δt=0分別代入各自的坐標變換(10)和(12)，得到愛因斯坦長度收縮和愛德瓦茲長度收縮分別是

和

下面證明[6]如果把愛德瓦茲物理量換成愛因斯坦物理量后，式(18)就變成了式(17).

由于同時性定義不同，所以Δt=0不等同于Δt0=0，實際上將Δt=0代入二者的關系式(7)給出

這就是說對于愛德瓦茲同時測量桿子的兩端在愛因斯坦觀測者看來沒有同時測量桿子兩端，這樣如同前面已經說過的不同時測量就意味著測得的距離包含了桿子在Δt0的時間內走過的距離δ

所以愛因斯坦長度收縮與愛德瓦茲長度收縮的關系是(也就是說要從愛德瓦茲測得的長度中減去δ才是愛因斯坦測得的長度)

即

3 結論

從上面的分析知道：(1)愛因斯坦利用單向光速不變的假設定義同時性即定義了慣性系的時間坐標,并推導出洛倫茲坐標變換近而發(fā)現(xiàn)了狹義相對論；彭加勒雖然早已認識到假設單向光速不變性的必要性并用光信號討論過對鐘方法，而且還預見到新力學*1904年彭加勒在圣路易斯會議的報告中寫道：“也許我們將要建造一種全新的力學，我們已經成功地瞥見到它了.在這個全新的力學內，慣性隨速度而增加，光速會變?yōu)椴豢捎庠降臉O限.原來的比較簡單的力學依然保持為一級近似，因為它對不太大的速度還是正確的，以致在新力學中還能夠發(fā)現(xiàn)舊力學”，但是他沒有用同步時鐘的方法定義慣性系的時間坐標進而獲得洛倫茲變換，因而錯過了發(fā)現(xiàn)狹義相對論的機會.(2)雙程光速可以直接測量并已經被實驗證明是個常數(shù)；單程光速只能假設而不能直接測量，這是因為迄今為止沒有發(fā)現(xiàn)其他的對鐘方法而實驗室都是使用愛因斯坦同時性定義.所以，雙程光速不變而單向光速可變的愛德瓦茲狹義相對論在物理上等價于愛因斯坦狹義相對論.也就是說在物理上互相等價的同時性定義有無窮多種而單向光速不變的愛因斯坦同時性定義只是其中最簡單的一種.

[1] Einstein A. Zur Elektrodynamik bewegter K?rper[J]. Annalen Der Physik, 1905, 322(10):891-921. (參見上海人民出版社1973年出版的中譯本《愛因斯坦論著選編》)

[2] Einstein A. Die Grundlagen der allgemeinen Relativit?ts-theorie[J], Annalen der Physik, 1916,49:769-822. (參見上海人民出版社1973年出版的中譯本《愛因斯坦論著選編》)

[3] Edwards W F. Special relativity in anisotropic space. American Journal of Physics[J]. Am. J. Phys.,1963, 31(7), 482-489.

[4] Winnie J A. Special relativity without one-way velocity assumptions [J] Phil. Sci., 1970(37)81;223

[5] 張元仲，狹義相對論實驗基礎[M].北京：科學出版社，1979，1983，1994.

[6] Zhang Y Z., Special Relativity and Its Experimental Foundations[M], Singapore: World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 1997.

編后語

張元仲先生是我們國家在狹義和廣義相對論領域從事研究工作多年的資深專家；在引力理論方面研究過超越相對論的理論(例如具有撓場的引力規(guī)范理論)；與實驗物理學家合作開展過等效原理的理論與實驗研究；近年來在空間基礎物理領域進行過項目論證和地面預研工作.1979年著有《狹義相對論實驗基礎》(科學出版社，北京)，1997年著有 《Special Relativity and Its Experimental Foundations》 (World Scientific Publishing Co Pte Ltd, Singapore) .今年正值愛因斯坦廣義相對論發(fā)表百年，《物理與工程》主編王青教授約請張先生為本刊撰寫系列文章，以期把相對論中的一些重要思想傳遞給廣大讀者.下面摘錄王青和張元仲的部分郵件，說明本文的來由和修改過程.

(王青2015-06-24郵件)張老師，今天聽您關于同時性報告很有感觸，我在清華教電動力學20多年，確實感到教狹義相對論時關于光速不變總是講得不夠清楚和深入.您的報告正好彌補了這方面的不足.我覺得這不只是我的問題，也是很多教和學狹義相對論的師生同樣面對的問題，因此很有必要宣傳一下.正好《物理與工程》期刊的主要對象就是針對教和學大學物理和基礎物理的教師和學生.希望您就此寫一篇文章，時間不限，篇幅不限，目的就是希望把您的看法和觀點傳播出去.特此跟您約稿.

(王青2015-08-13郵件)張老師，拜讀了你的大作，寫得很清楚很好，我很喜歡.不過我現(xiàn)在以一個在大學多年講授電動力學的普通老師的身份希望您能再增加一點點內容，使得我們能夠更快和容易地把您的論述和思想直接轉化到我們的教學當中去.……我們通常教狹義相對論時是從您在第一節(jié)最后提到的使用光信號單向速度不變的方程式來推導洛倫茲變換的.一旦推出洛倫茲變換往后就什么都有了.其中要緊的就是您文中所提的x系和x′系的c是一樣的，通常把它就解釋為實驗上所看到的光速不變.現(xiàn)在您強調這是單向光速不變，這不難理解；但難于理解的是您在2.1節(jié)一開始所說的“至今所完成的真空光速的測量全都是對雙程(閉合回路)光速的測量，這些實驗結果表明真空中雙程(或說回路)光速是個不變的常數(shù).”這好像不能一下清楚地看出來.我們課上通常用邁克耳孫干涉實驗說明光速不變，您能否增加一些內容具體說明至少邁克耳孫干涉實驗測的不是單程光速，當然能再多說一些其他常用的光速不變測量具體怎么測的就更好.只有這樣老師和學生才能意識到這個通常在狹義相對論教學中被忽視的單程光速和回路光速的差別在理論基礎中的重要作用，由此引發(fā)您所強調的同時性的討論.否則，如我們及大多數(shù)狹義相對論教學所做的直接把實驗看到的光速不變外推為單程光速不變，您所討論的那些細節(jié)就可能被忽略和抹殺啦.

(張元仲)王教授，文章補充了邁克耳孫-莫雷實驗，希望能說清楚您的問題.或許其他教大學物理的讀者閱讀了我寫的東西不一定一下子清楚，但是希望會給他們一點啟發(fā).

(編輯)除了王青和張元仲之間的郵件，《物理與工程》編輯也溝通于其中，并為此前后兩次拜訪了張先生.能面對面聆聽大師深入淺出的比喻和講解，真是做《物理與工程》期刊的福氣.經過討論，張先生將在接下來的幾期繼續(xù)撰寫狹義相對論相關話題文章，讓我們一起等待吧.

1. 邁克耳孫-莫雷實驗

2. 無窮小坐標變換

3. 洛倫茲變換的推導

A KEY STEP IN THE DEVELOPMENT OF THE SPECIAL RELATIVITY BY EINSTEIN —DEFINITION OF SIMULTANEITY

Zhang Yuanzhong

(Institute of Theoretical physics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100084)

The paper expounds the value of the two-way (loop) speed of light can be given directly by experiment, however value of the one-way speed of light cannot be obtained by experiment but only through assuming isotropy of one-way speed of light to make it equal to the value of the two-way speed, and the (assumed) value was used to synchronize all clocks and hence the coordinate time is defined in the inertial system, it was because the definition of simultaneity Einstein then developed the special theory of relativity. So far the value of the light speed given by all the experiments is that of the two-way rather than the one-way speed. In order to theoretically explain the one-way speed of light cannot be measured, we introduce Edwards' simultaneity defined by the assumption of the invariance of the tow-way light speed regardless of any assumptions concerning the one-way speed, at the same times give the corresponding Edwards transformation, and then discuss relationship between this simultaneity and Einstein simultaneity. The effects of time dilation and length contraction show that the two types of the definitions for simultaneity are physically equivalent, in other wards any effect of the one-way speed of light would not appear in experiments.

Special Relativity； Lorenz transformation； one-way speed of light； two-way speed of light； time dilation; length contraction

2015-08-18

張元仲，男，教授，主要從事狹義和廣義相對論領域理論與實驗研究，研究方向是相對論、引力理論和宇宙學.zyz@itp,ac,cn