輕質(zhì)細(xì)桿和小球組成系統(tǒng)的角動量與能量守恒問題研究

陳建 潘娜娜 陳希明

摘 要：該文從物理學(xué)教學(xué)過程中的一道常見習(xí)題出發(fā)，詳細(xì)分析了守恒思想在輕質(zhì)細(xì)桿和小球組成的系統(tǒng)中的應(yīng)用，一方面從動量守恒與角動量守恒成立的條件出發(fā)，分析了動量守恒在處理該問題時存在的爭議；另一方面，考慮能量條件判據(jù)，指出該道習(xí)題設(shè)計中存在的科學(xué)性錯誤，并結(jié)合角動量守恒與能量條件判據(jù)，對該問題從兩個方面進(jìn)行了修正，通過改變小球?qū)π呐鲎埠蟮姆祷厮俣群涂紤]細(xì)桿的質(zhì)量，得到了滿足角動量守恒和能量守恒的自洽條件。

關(guān)鍵詞：系統(tǒng) 角動量 能量 守恒條件

中圖分類號：0313 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）01（a）-0136-01

守恒是物理學(xué)中一種常用且重要的思想，即在物理變化的過程中通過尋找整個過程或者過程前后不變的關(guān)系對各個變化量進(jìn)行分析[1]。但是該研究者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，一些常見習(xí)題的設(shè)計在科學(xué)性上存在問題，這勢必給學(xué)生的學(xué)習(xí)造成困惑。

如圖1所示，靜止在水平光滑桌面上長為的輕質(zhì)細(xì)桿（質(zhì)量忽略不計）兩端分別固定質(zhì)量為和的小球。系統(tǒng)可繞距離質(zhì)量為的小球處的點在水平桌面上轉(zhuǎn)動。今有一質(zhì)量為的小球以水平速度沿細(xì)桿垂直方向，與質(zhì)量為的小球作對心碰撞，碰后以的速度返回，求碰后細(xì)桿獲得的角速度。

此題的一般解法是：將三個小球抽象為質(zhì)點，并取三個小球和輕質(zhì)細(xì)桿作為研究對象，點為參考點。由于各質(zhì)點所受的重力和桌面對它們的支持力大小相等、方向相反且作用在同一條直線上，所以這些力對點的力矩的矢量和為零。同時，點對輕質(zhì)細(xì)桿的作用力對點的力矩為零。因此，系統(tǒng)對點所受的合外力矩為零，相應(yīng)的，系統(tǒng)對點的角動量守恒，取垂直于紙面向外為正方向，即

，

（1）

解之得。但是，該研究者在教學(xué)的過程中發(fā)現(xiàn)，有不少同學(xué)籠統(tǒng)地認(rèn)為輕質(zhì)細(xì)桿與三個小球組成的系統(tǒng)碰撞前后在水平方向動量守恒，于是得到了的矛盾結(jié)果，究其原因可知此種方法忽略了碰撞瞬間支點處對棒的水平?jīng)_擊力[2-3]。

基于對該問題的求解，我們進(jìn)一步考慮碰撞前后系統(tǒng)的能量。取水平桌面為重力勢能零點，碰撞前系統(tǒng)總的能量為小球1的動能，碰撞后系統(tǒng)總的能量為三個小球的動能。整理發(fā)現(xiàn)，即碰撞后系統(tǒng)的能量大于碰撞前。但在碰撞前后，每個小球所受的重力、支持力以及支點處對棒的水平?jīng)_擊力對系統(tǒng)不做功，且對心碰撞的過程系統(tǒng)的機械能應(yīng)當(dāng)保持不變或者損失，因此的能量不等式明顯違背了能量守恒定律。

為了解決這一問題，我們可以考慮從兩個方面加以修正：

修正1：改變小球1對心碰撞后的返回速度并假設(shè)其為。結(jié)合系統(tǒng)對點的角動量守恒和能量條件，有

，

（2）

，

（3）

解得只有時才能與能量守恒定律不矛盾。

修正2：考慮細(xì)桿為剛體，其質(zhì)量為，且為了簡便起見我們認(rèn)為細(xì)桿質(zhì)量均勻分布。

考慮三個小球與細(xì)桿組成系統(tǒng)對點的角動量守恒條件和能量條件：

，（4）

，（5）

發(fā)現(xiàn)只有滿足時，此題才能與能量守恒定律自洽。

物理習(xí)題的科學(xué)性在很大程度上影響著學(xué)生對客觀規(guī)律的理解，因此我們在習(xí)題設(shè)計的時候務(wù)必仔細(xì)斟酌，保證習(xí)題的科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性。

參考文獻(xiàn)

[1] 王貴忠，藥樹棟，霍建新.大學(xué)物理學(xué)課程中蘊含的物理學(xué)思想[J].晉中學(xué)院學(xué)報，2010，27（3）：16-18.

[2] 王宗昌.木棒和子彈組成系統(tǒng)的動量守恒問題[J].南陽師范學(xué)院學(xué)報，2005，4（9）：36-37.

[3] 邱曉燕，唐志海.一道力學(xué)碰撞問題中動量守恒與角動量守恒辨析[J].物理教學(xué)探討，2011，29（11）：40-41.