礦柱下軟弱夾層的極限承載力分析

殷 勇 喬來軍 周國慶

(1.深部巖土力學與地下工程國家重點實驗室，江蘇 徐州221008;2.鹽城工學院土木工程學院，江蘇 鹽城224051;3.中煤國際工程集團北京華宇工程有限公司，河南 平頂山467002)

地下采礦工程中為了保護礦井巷道、控制地表沉降、改善頂板控制條件等原因經(jīng)常需要預留一些礦柱(包括非煤礦柱)，隨著煤炭資源開采不斷向深部發(fā)展，為確保安全，設(shè)置的礦柱尺度也越來越大，合理地進行礦柱設(shè)計并確保其穩(wěn)定性對于煤炭資源的安全及高效開采具有重要的意義。

針對礦柱的穩(wěn)定性研究，目前主要是從礦柱的強度出發(fā)分析其承載能力的大小。比如考慮到地下開采過程中應(yīng)力重分布會引起礦柱上荷載的變化，從極限強度理論出發(fā)，以礦柱所承受的荷載是否超過礦柱的強度來判斷其穩(wěn)定性。圍繞這方面的礦柱穩(wěn)定性研究內(nèi)容涉及礦柱上荷載的計算理論以及礦柱的強度理論，已有不少學者對此進行了深入研究并得到了一些工程實用計算理論，如礦柱載荷計算的壓力拱理論［1］、有效面積理論［2］、A. H. Wilson 兩區(qū)約束理論等［3］;礦柱強度理論也形成了瞬時強度理論體系和長期強度理論體系［4-5］，并考慮了影響礦柱強度的多種因素［2］。這些理論主要圍繞將礦柱作為支撐結(jié)構(gòu)分析各種荷載因素對其穩(wěn)定性的影響，實際上，礦柱結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響因素很多，除了從礦柱自身強度及其作用荷載進行分析外，礦柱下伏地層條件與礦柱的穩(wěn)定性也有很大關(guān)系。在這方面，礦柱下伏地層的承載能力是保證礦柱安全的重要因素。對于礦柱下伏常規(guī)均質(zhì)地層的承載力分析可以參照上部結(jié)構(gòu)地基承載力的一般算法，但是對于一些特殊的地質(zhì)構(gòu)造情況，如礦柱底板下存在一定厚度軟弱夾層時其承載力的計算則并沒有相對成熟的方法。此外，從地質(zhì)構(gòu)造條件上看，地層中的軟弱夾層是一類廣泛存在的地層結(jié)構(gòu)，在采礦及地下洞室開挖中經(jīng)常遇到，容易給采礦工程及地下工程建設(shè)帶來安全隱患。

目前，煤礦工程及其他地下工程中對于軟弱夾層的研究多數(shù)偏向于夾層的存在對井下巷道或邊坡穩(wěn)定性的影響［6-8］，對礦柱及其他地下結(jié)構(gòu)下伏軟弱夾層的承載特性研究較少，相應(yīng)的承載力分析理論還比較缺乏。因此，實際工程中，對于礦柱下伏軟弱夾層的地層極限承載力仍需要進一步研究其實用計算方法。

1 軟弱夾層破壞模式

含軟弱夾層的地層結(jié)構(gòu)本質(zhì)上屬于層狀地基，目前常用的一些層狀地基承載力計算公式［9-10］，如漢森加權(quán)平均法、魏錫克法、邁耶霍夫法等，多數(shù)是基于均質(zhì)地基承載力進行經(jīng)驗修正得到，其極限狀態(tài)的破壞模式主要圍繞整體剪切破壞、局部剪切破壞、沖剪破壞3 類。但含有軟弱夾層的地層結(jié)構(gòu)在極限狀態(tài)時破壞模式已不同于均質(zhì)地基或?qū)訝畹鼗械募羟衅茐?，由于軟弱夾層厚度不大且強度較周邊巖土層低，極限狀態(tài)時更易出現(xiàn)側(cè)向塑性擠出的破壞型式，類似于兩塊剛性平行板之間的擠壓，其極限荷載也不能利用現(xiàn)有的承載力理論進行分析。我國《GB50290—98土工合成材料應(yīng)用技術(shù)規(guī)范》、《SL225—98 水利水電工程土工合成材料應(yīng)用技術(shù)規(guī)范》、《HG/T20708—2011 化工建(構(gòu))筑物地基加筋墊層技術(shù)規(guī)程》對加筋墊層下的軟弱夾層也均指出這種塑性擠出破壞模式，要求按此破壞模式進行夾層的穩(wěn)定性驗算。張道寬［11］、Azam［12］、Christopher 等［13］的研究成果也表明軟弱夾層的極限荷載受側(cè)向塑性擠出破壞模式的影響。對于含有軟弱夾層的礦柱地基而言，礦柱底板在礦柱荷載下容易發(fā)生沖切破壞，使得底板及下部巖土層形成類似于上下準剛性巖土層擠壓中間軟弱夾層的破壞模式(圖1)。圍繞該破壞模式，采用理想塑性材料擠壓模型，將軟弱夾層上下巖土層面當做剛性層面，考慮軟弱夾層面不同的剪應(yīng)力條件，通過上限法計算了軟弱夾層的極限荷載，得到的極限荷載計算式可以為礦柱下含軟弱夾層的地層承載穩(wěn)定性分析提供參考，以便進行礦柱的優(yōu)化設(shè)計。

圖1 礦柱下臥軟弱夾層示意Fig.1 Illustration of soft interlayer underlying pillar

2 夾層結(jié)構(gòu)的擠壓模型

夾層擠壓問題是一個經(jīng)典的力學問題，Prandtl(1923)首次對該問題進行了研究，采用圖2 所示的平面擠壓模型，根據(jù)塑性理論滑移線方法提出了2 個粗糙剛性平面間塑性材料的擠壓力解答。張國霞將Prandtl 的解答用于筏板基礎(chǔ)下軟弱夾層的承載力計算，提出了薄層擠壓理論并被相關(guān)的行業(yè)規(guī)范引用于軟弱夾層的穩(wěn)定性分析［14］。雖然Prandtl 解答被眾多學者引用于擠壓力的分析，但該解答僅假設(shè)板面為完全粗糙，板面與材料間不發(fā)生任何滑動，而且解答還存在一些與實際應(yīng)力邊界條件不符的情況［15］，只能是一個較為近似的解答。

實際上，對于夾層材料的極限擠壓力，一方面與材料的強度有關(guān)，另一方面還與夾層面的摩擦條件及夾層的寬高尺度有關(guān)。Hill［16］、Sherwood［17］考慮了不同的壁面摩擦條件，對剛性平板及圓盤擠壓塑性材料的極限荷載進行的研究表明，采用不同的摩擦條件得到的極限壓力有很大差異，但研究者僅假定板面服從單一滑動摩擦條件或具有一定粗糙度的情況。翁克索夫［18］通過大量實驗驗證和理論分析對剛性平板擠壓塑性材料時的接觸應(yīng)力隨摩擦條件的變化進行了系統(tǒng)研究，認為接觸面的應(yīng)力分布決定于板面摩擦條件和試樣寬高比。對于夾層寬高比較大且板面摩擦系數(shù)0 ＜μ≤0.5 的情況，板面的摩擦條件分為黏滯區(qū)、制動區(qū)、滑動區(qū)，板面的剪應(yīng)力分布如圖3 所示，μ＞0.5 時末端的AB 段消失，板面屬于完全粗糙狀態(tài)，剪應(yīng)力恒定并等于材料的剪切強度。

圖3 板面摩擦條件分布Fig.3 Distribution of friction conditions on plate surface

下面基于翁克索夫得到的板面剪應(yīng)力分布規(guī)律，利用Prandtl 塑性擠出破壞模式和極限分析上限法對塑性夾層結(jié)構(gòu)的極限擠壓力進行求解，提出礦柱下伏軟弱夾層的極限荷載計算方法?？紤]到目前房柱式采煤法中礦柱的布置形式通常有2 種，一種是連續(xù)條帶式礦柱，另一種是不連續(xù)的斷面為圓形的礦柱，因此針對這2 種情況分別根據(jù)平面應(yīng)變條件及空間軸對稱條件下的擠壓模型進行分析。

3 極限擠壓力解答

3.1 平面應(yīng)變條件

采用圖4 所示平面應(yīng)變擠壓模型，向內(nèi)沿y 方向取單位厚度，設(shè)寬度為b 的剛性壓板以速度v0壓縮高度為h 的理想塑性材料，材料水平向擠出速度為vx。假設(shè)整個位移速度場是連續(xù)的，材料內(nèi)部不存在速度間斷面，根據(jù)體積不變及y 方向應(yīng)變率εy= 0 的條件，可得

2vxh = 2xv0，

即

根據(jù)幾何方程可得

式中，εx、εz分別為x 和z 方向的應(yīng)變率。

圖4 擠壓模型Fig.4 Squeezing model

考慮Mises 屈服準則，理想塑性變形功率可寫為［23］

式中，σ0為材料單軸屈服應(yīng)力，(k 為材料強度，對于軟弱夾層可取其不排水飽和強度);表示等效塑性應(yīng)變率，由下式確定:

根據(jù)式(2)、式(3)、式(4)可求得到塑性變形功率(由于對稱，取一半模型計算):

下面計算板面接觸摩擦引起的耗散功率，考慮到軟弱夾層的厚度遠小于其水平尺度，因此這里采用翁克索夫如圖3 所示的板面摩擦規(guī)律［19］，其中3 個不同的板面摩擦條件如下。

黏滯區(qū)OC 段(0 ≤x ≤xC= h):

式中，σz表示庫倫摩擦條件下板面豎向應(yīng)力，

板面上接觸摩擦引起的耗散功率可按下式計算:

將式(1)、式(6)、式(7)、式(8)代入式(9)可得

根據(jù)上限定理，材料的外部功率等于內(nèi)部變形功率與界面摩擦耗散功率之和，整個板面的極限壓力Q可按下式得到:

3.2 軸對稱條件

軸對稱條件下的擠壓模型與圖4 擠壓模型類似，半徑為R 的上部剛性壓板以速度v0壓縮高度為h 的理想塑性材料，假設(shè)材料處于均勻連續(xù)擠壓變形過程，與z 軸垂直的斷面在變形中仍保持為圓形截面，徑向擠出速度為vr。根據(jù)體積不變條件，可得

πr2v0= 2πrhvr，

即

由幾何方程可得各方向的應(yīng)變率

根據(jù)式(3)計算軸對稱條件下塑性變形功率為

板面接觸摩擦引起的耗散功率計算方法與平面問題類似，仍采用翁克索夫板面摩擦條件。

黏滯區(qū)OC 段(0 ≤r ≤rC= h):

滑動區(qū)AB 段(rB≤r ≤R):

將式(15)、式(16)、式(17)代入式(9)可得板面上接觸摩擦引起的耗散功率

利用材料的外部功率等于內(nèi)部變形功率與界面摩擦耗散功率之和，整個板面的極限壓力Q 可按下式得到:

此外，根據(jù)前述極限壓力計算過程可知，對于μ＞0.5 的情況，平面應(yīng)變問題及軸對稱問題中板面的摩擦條件將分別由式(6)、式(7)和式(15)、式(16)構(gòu)成，表明不存在極限狀態(tài)的滑動區(qū)，此時計算的極限板面極限壓力與μ=0.5 時相同。

4 結(jié)果分析與討論

上述平面應(yīng)變條件下和空間軸對稱應(yīng)力條件下的極限壓力計算式(11)和(19)可分別用于條帶式礦柱及圓形礦柱下軟弱夾層的極限承載力分析。為便于對比分析本研究提出的計算方法，以平面問題為例，不失一般性，取軟弱夾層參數(shù)寬b =1 ～10 m，厚度h=1 m，μ=0.1 ～0.5，分別按本研究方法、Prandtl理論以及板面摩擦條件全部為τ = 0 、τ = mk(m 為粗糙度系數(shù)，m=0 表示完全光滑，m =1 表示完全粗糙)、τ = μσz計算的極限壓力結(jié)果如圖5 ～圖7 所示，其中極限壓力以Q/k 表示。

圖5 本研究解答與Prandtl 解答的對比Fig.5 Comparison of solutions between this text and Prandtl

圖6 本研究解答與摩擦條件τ=mk 的對比Fig.6 Comparison of solutions between this text and friction condition of τ=mk

圖7 本研究解答與摩擦條件τ=μσz 的對比Fig.7 Comparison of solutions between this text and friction condition of τ=μσz

由圖5 計算結(jié)果可以看出，軟弱夾層的寬高比及層面的摩擦系數(shù)對極限壓力的影響具有一定的規(guī)律，軟弱夾層的極限壓力隨夾層的寬高比增加而增大。在一定的寬高比下，極限壓力隨板面摩擦系數(shù)的提高而增大，但增加幅度逐漸減小，各種寬高比尺度下夾層的極限壓力在摩擦系數(shù)接近0.5 時達到峰值。在較小的寬高比時板面摩擦條件對極限壓力的影響不大，但隨著夾層寬高比的增大，摩擦系數(shù)對極限壓力的影響逐步增加，需要注意的是摩擦系數(shù)達到0.3 以上時其對極限壓力的影響幅度趨于減小。

對比本研究方法計算結(jié)果與Prandtl 解答結(jié)果可以看出，Prandtl 解答按照夾層面完全粗糙的條件即(7)式考慮，計算的極限壓力隨寬高比增加而增大，在軟弱夾層寬高比小于5 時計算值低于本研究方法μ=0.1 的取值，寬高比大于5 時介于本研究方法μ=0.1 及μ =0.2 之間，計算結(jié)果明顯偏低。不考慮板面摩擦條件時(μ=0)極限壓力總體上最小。

圖6、圖7 分別對比了本研究方法與板面采用單一剪應(yīng)力條件τ = mk 及τ = μσz(圖7 中以μ' 代表式中μ)的結(jié)果，總體上其他方法的計算結(jié)果低于本研究方法，在寬高比較小時與本研究方法的差值不大，隨著寬高比增大，一般摩擦條件時其他方法計算的極限壓力與本研究方法計算值差異較大，但在高摩擦系數(shù)或粗糙程度時與本研究方法基本趨于一致，其中m=1 時取值略低于本研究方法，μ' = 0.5 時取值略高于本研究方法。同時，寬高比一定的情況下，采用單一τ = mk 及τ = μσz條件計算的極限壓力均隨著摩擦系數(shù)或粗糙度系數(shù)線性增加，不能充分反映板面粗糙到一定程度時材料易在夾層面附近發(fā)生剪切破壞的情形。因此，對于寬高比較大的軟弱夾層來講，考慮非極端條件下的摩擦系數(shù)或粗糙程度時采用本研究方法計算能較好地反映實際夾層面的剪切條件。

根據(jù)上述不同軟弱夾層寬高比及摩擦系數(shù)對極限壓力影響規(guī)律的分析可知，對于礦柱下含有一定厚度的軟弱夾層地基來講，進行礦柱的設(shè)計時，增大礦柱截面寬度有助于提高下臥軟弱夾層的極限承載力，在礦柱尺度有限制時，也可以采用局部注漿等方式改善軟弱夾層面的摩擦條件進而有助于其承載力的發(fā)揮，但考慮增大夾層面摩擦條件的改善效果僅限于一定范圍。

5 結(jié) 論

(1)基于翁克索夫得到的板面3 種剪應(yīng)力分布規(guī)律，求解了平面應(yīng)變條件及軸對稱條件下軟弱夾層的極限壓力計算式，該計算式適用于夾層面摩擦系數(shù)0 ＜μ≤0.5 的軟弱夾層，μ ＞0.5 時的軟弱夾層極限壓力與μ=0.5 時相同。

(2)對各種寬高比及板面摩擦系數(shù)的軟弱夾層極限壓力分析表明，軟弱夾層的極限承載力隨夾層結(jié)構(gòu)寬高比的增加而增大，摩擦系數(shù)的增加也會提高夾層的極限承載力，在較大的寬高比時尤為顯著，但摩擦系數(shù)增加到0.3 時其對極限壓力的影響逐步減小，摩擦系數(shù)達到0.5 時其對軟弱夾層的極限壓力不再有影響。

(3)與軟弱夾層面的其他剪應(yīng)力假定條件相比，本研究采用的層面摩擦條件更符合塑性材料的擠壓特性與實際，對于寬高比較大且摩擦系數(shù)取值非最大值的情況下本研究方法的解答總體上高于其他方法的計算結(jié)果。

(4)本研究得到的極限壓力計算式可以從軟弱夾層極限承載力的角度為下伏軟弱夾層的礦柱地基設(shè)計及穩(wěn)定性分析提供參考，同時對其他結(jié)構(gòu)物下含軟弱夾層的地層穩(wěn)定性分析也具有一定的借鑒意義。

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