基于彈性薄板理論的采場(chǎng)頂板破斷特征分析

王新豐 高明中 陳雨雪 王建建 蘭學(xué)強(qiáng) 周安偉

(1.煤礦安全高效開采省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 淮南232001;2.安徽理工大學(xué)能源與安全學(xué)院，安徽 淮南232001)

巖層活動(dòng)與礦山壓力聯(lián)系密切，采場(chǎng)圍巖活動(dòng)是形成礦山壓力的根源，礦山壓力的顯現(xiàn)也是采場(chǎng)圍巖活動(dòng)的具體表現(xiàn)［1］。采礦界眾多學(xué)者針對(duì)采場(chǎng)頂板的破斷特征展開了大量研究［2-4］，提出了以壓力拱、懸臂梁、鉸接巖梁、砌體梁及傳遞巖梁為主的多種巖梁假說。但巖梁理論未能凸顯巖層結(jié)構(gòu)的空間概念，為了更加直觀獲取頂板破斷的宏觀特征，人們開始嘗試用薄板模型來揭示覆巖破斷的內(nèi)在機(jī)理與空間形態(tài)［5-7］，根據(jù)不同的支承邊界條件建立了采場(chǎng)礦壓薄板理論的力學(xué)模型，研究了工作面頂板結(jié)構(gòu)破斷及裂紋發(fā)展的力學(xué)特征。然而由于前人對(duì)于薄板理論的應(yīng)用研究大多選取某一特定的開采階段展開探討，因此很難全面獲取頂板不同時(shí)期的破斷特征。為了反映頂板破斷的連續(xù)性和時(shí)效性，本研究采用彈性薄板的小撓度理論構(gòu)建不同開采階段下的頂板力學(xué)模型，從巖層運(yùn)動(dòng)的角度揭示頂板破斷的失穩(wěn)機(jī)理。

1 頂板破斷的力學(xué)模型分析

采礦中形成的頂板由于其高長(zhǎng)比很小可將其簡(jiǎn)化為矩形薄板［7］，根據(jù)采場(chǎng)頂板瞬時(shí)破壞、分段延伸和分區(qū)遷移的時(shí)空特點(diǎn)，對(duì)采場(chǎng)頂板構(gòu)建四邊固支、兩邊固支兩邊簡(jiǎn)支和四邊簡(jiǎn)支3 種不同支承邊界條件下的力學(xué)模型，通過對(duì)3 種力學(xué)模型的分析求解，可以得到采場(chǎng)頂板不同破斷時(shí)期的力學(xué)演化形態(tài)。

1.1 頂板破斷前的力學(xué)模型分析

采場(chǎng)頂板破斷前可將其視為四邊固支的矩形薄板，采場(chǎng)覆巖受均布荷載q 作用。矩形頂板長(zhǎng)為2a，寬為2b(其中b ＜a)，板厚為h，彈性模量為E，泊松比為μ，抗彎剛度為D，板的撓度為ω，內(nèi)力彎矩為Mx、My，頂板應(yīng)力為σx、σy和τxy。建立四邊固支的矩形頂板力學(xué)模型，如圖1 所示。

圖1 四邊固支頂板力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of the roof with four edges clamped

根據(jù)題設(shè)條件可知，該矩形薄板的邊界條件為

基于彈性力學(xué)的最小勢(shì)能原理，利用瑞利－里茨法［8］構(gòu)建滿足邊界條件的一階撓曲面方程

根據(jù)薄板彎曲的直法線假設(shè)，在不計(jì)應(yīng)變分量的情況下，求得薄板彎曲的總勢(shì)能為

由（?EP）/（?A1）得

進(jìn)而求得

其中，

D = Eh3/[ 12 (1 － μ2)] .

根據(jù)彈性力學(xué)的內(nèi)力彎矩公式［8］，求得等厚薄板的彎矩為

其中，

其中，

B1=[( y2－b2)2( 3x2－a2)+μ ( x2－a2)2( 3y2－b2)]，

B2=[( x2－a2)2( 3y2－b2)+μ ( y2－b2)2( 3x2－a2)].

利用彈性力學(xué)的應(yīng)力推導(dǎo)公式［8］，求得等厚薄板的頂板應(yīng)力為

采用數(shù)學(xué)極限求導(dǎo)方法對(duì)彎矩式(5)、式(6)進(jìn)行極值求解，可以得出矩形頂板的彎矩最大值點(diǎn)在長(zhǎng)邊中點(diǎn)，即點(diǎn)(0，±b)處，此時(shí)對(duì)應(yīng)的頂板應(yīng)力相對(duì)較大。因此長(zhǎng)邊中點(diǎn)處的彎矩值將首先達(dá)到巖體的極限彎矩開始發(fā)生破斷，破斷后的裂紋不斷向長(zhǎng)邊兩端蔓延擴(kuò)展，直至破壞到長(zhǎng)邊邊緣。

1.2 頂板破斷期間的力學(xué)模型分析

矩形頂板的長(zhǎng)邊破斷以后，采場(chǎng)頂板的固支長(zhǎng)邊將變?yōu)楹?jiǎn)支邊，進(jìn)而構(gòu)建頂板破壞期間兩邊固支兩邊簡(jiǎn)支的力學(xué)模型，如圖2 所示。

圖2 兩邊固支兩邊簡(jiǎn)支的頂板力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model of the roof with two edges clamped and two edges simple supported

由題設(shè)條件可得，該等厚薄板的邊界條件為

同樣利用瑞利－里茨法構(gòu)建滿足邊界條件的一階撓曲面方程

進(jìn)而求得

利用彈性力學(xué)的內(nèi)力彎矩公式，求得等厚薄板的彎矩為

同樣對(duì)彎矩式(10)進(jìn)行分析求解，得到頂板彎矩的最大值點(diǎn)在短邊中點(diǎn)，即點(diǎn)(±a，0)處，此時(shí)對(duì)應(yīng)的頂板應(yīng)力為

該力學(xué)模型下的矩形頂板首先在短邊中點(diǎn)附近達(dá)到其極限彎矩進(jìn)而發(fā)生破斷，隨著開采的進(jìn)行斷裂裂紋沿著短邊中點(diǎn)逐漸向兩端擴(kuò)展，直至將短邊完全破斷，由原來的固支邊轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)支邊，使得頂板內(nèi)部形成環(huán)形破斷，近似為平面橫“O”型破壞。

1.3 頂板破斷后的力學(xué)模型分析

隨著工作面推進(jìn)度的增加，當(dāng)矩形頂板的四條固支邊全部破壞為簡(jiǎn)支邊后，頂板破斷形式隨即改變，因此需重新構(gòu)建力學(xué)模型，依據(jù)新的強(qiáng)度破壞準(zhǔn)則進(jìn)行力學(xué)求解，新建模型如圖3 所示。

圖3 四邊簡(jiǎn)支的頂板力學(xué)模型Fig.3 Mechanical model of the roof with four edges simple supported

依據(jù)題設(shè)條件，新建力學(xué)模型的邊界條件為

利用里茨法構(gòu)建滿足上述邊界條件的一階撓曲面方程

進(jìn)而求得滿足條件的一階撓度表達(dá)式

利用彈性力學(xué)的內(nèi)力彎矩公式，求得等厚薄板的彎矩為

由彎矩式(13)可以求得頂板彎矩的最大值點(diǎn)位于矩形薄板的中心，即點(diǎn)(0，0)處，此時(shí)對(duì)應(yīng)的頂板應(yīng)力相對(duì)較大，因此該矩形頂板將在薄板的中心位置發(fā)生破斷，從而產(chǎn)生沿x 方向的橫向裂紋，且裂紋發(fā)展趨勢(shì)隨開采進(jìn)度不斷向兩端擴(kuò)展，并在短邊近端斷裂裂紋產(chǎn)生分叉，形成平面的橫“X”型破斷。

2 頂板破斷的力學(xué)特征

采場(chǎng)覆巖的破斷特征和垮落形態(tài)與開采進(jìn)度和推進(jìn)時(shí)間密切相關(guān)，表現(xiàn)為覆巖破壞的時(shí)空效應(yīng)。通過對(duì)不同開采階段的頂板力學(xué)模型分析求解，可以得到頂板破斷的力學(xué)顯現(xiàn)特征和時(shí)空演變形態(tài)。采場(chǎng)頂板的破斷過程隨著開采活動(dòng)的進(jìn)行經(jīng)歷了以下幾個(gè)演化階段:采動(dòng)伊始，采場(chǎng)頂板首先在長(zhǎng)邊中點(diǎn)發(fā)生破斷，破斷裂紋不斷向長(zhǎng)邊兩端蔓延擴(kuò)展，直至破壞到長(zhǎng)邊邊緣;隨后矩形頂板的短邊中點(diǎn)開始破斷，并逐漸向兩端延展，促使薄板短邊完全破斷，斷裂裂紋與長(zhǎng)邊端部交合貫通，構(gòu)成環(huán)形破斷，形成平面的橫“O”型破壞;再隨著工作面繼續(xù)向前推進(jìn)，頂板中心處發(fā)生破斷，產(chǎn)生沿x 軸方向的橫向裂紋并不斷向短邊擴(kuò)展，最后在短邊近端斷裂裂紋發(fā)生分叉延伸，同薄板長(zhǎng)邊的端角處交合貫通，形成空間的橫“X”型破斷。頂板四周形成的空間橫“O”型破斷與中部形成的“X”型破斷共同構(gòu)成了頂板破斷的橫“O－X”型破壞形態(tài)，其頂板破斷的演化過程如圖4 所示。

圖4 采場(chǎng)頂板橫“O－X”型破斷演化過程Fig.4 The evolutionary process of stope roof with horizontal "O-X "shape fracture

3 頂板應(yīng)力演化規(guī)律的數(shù)值模擬

在理論分析采場(chǎng)頂板破斷規(guī)律的基礎(chǔ)上，運(yùn)用三維數(shù)值模擬軟件FLAC3D對(duì)采場(chǎng)頂板的破斷過程進(jìn)行建模分析。模型的幾何尺寸設(shè)計(jì)為600 m×400 m×200 m(長(zhǎng)×寬×高)，工作面斜長(zhǎng)保持200 m 沿走向推進(jìn)，推進(jìn)期間為了避免邊界效應(yīng)對(duì)模型開采的影響，走向兩邊各留100 m 的保護(hù)煤柱。煤層埋深約600 m，底板厚度45 m。模型四側(cè)和底部根據(jù)具體約束條件固定各邊界的水平方向位移或垂直方向位移，頂部定義為自由邊界并施加15 MPa 的均布荷載。

通過模擬煤層頂板應(yīng)力場(chǎng)的演變過程，可以從宏觀上窺探頂板應(yīng)力的分布狀態(tài)及時(shí)空演化規(guī)律(見圖5)。煤層開采至50 m(圖5(a))時(shí)，頂板長(zhǎng)邊首先出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，長(zhǎng)邊中部的應(yīng)力顯現(xiàn)程度較高，應(yīng)力峰值集中于長(zhǎng)邊中點(diǎn)。工作面推進(jìn)到100 m(圖5(b))時(shí)，短邊中部開始出現(xiàn)應(yīng)力集中，且應(yīng)力集中區(qū)域由短邊中心向端末發(fā)展。當(dāng)工作面推進(jìn)到150 m(圖5(c))以后，頂板中部應(yīng)力開始顯現(xiàn)，并隨工作面推進(jìn)度的增加不斷由中心位置向外輻射。隨著應(yīng)力數(shù)值不斷增大，應(yīng)力集中現(xiàn)象隨之?dāng)U展，工作面推進(jìn)到300 m(圖5(f))時(shí)應(yīng)力分布區(qū)域幾乎覆蓋了整個(gè)板面。綜合分析發(fā)現(xiàn)，應(yīng)力集中出現(xiàn)的部位依次由“頂板長(zhǎng)邊—短邊—中部”循序漸進(jìn)地向前發(fā)展，頂板應(yīng)力的宏觀演變特征與采場(chǎng)頂板的橫“O －X”型破斷較為吻合，其演變過程類似于頂板的橫“O －X”型破斷。

圖5 頂板應(yīng)力的演化過程Fig.5 The evolutionary process of the roof stress

4 結(jié) 論

(1)針對(duì)煤層開采過程中采場(chǎng)覆巖形成的特定空間結(jié)構(gòu)和變形破斷形態(tài)，運(yùn)用彈性薄板小撓度理論構(gòu)建了3 種不同支承邊界條件下的頂板力學(xué)模型，通過理論計(jì)算得出了頂板斷裂前后的撓度、彎矩和應(yīng)力解析表達(dá)式，并從理論層面揭示了頂板破斷的力學(xué)特征，采場(chǎng)頂板首先在板邊四周形成平面的“O”型破斷，而后在中部形成平面的“X”型破斷，兩者交合貫通構(gòu)成頂板的空間橫“O－X”型破斷。

(2)采用數(shù)值模擬軟件分析了頂板應(yīng)力場(chǎng)的分布狀態(tài)和演化規(guī)律，工作面推進(jìn)過程中頂板應(yīng)力的集中部位依次由“頂板長(zhǎng)邊—短邊—中部”逐漸向前擴(kuò)展，其應(yīng)力演變過程與頂板橫“O －X”型破斷相互印證。

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