初中數(shù)學(xué)共點與中點問題的探究

洛圓圓

摘 要：中考中共點問題與中點問題是一個重點，也是一個難點，本文對此考點進(jìn)行探究。

關(guān)鍵詞：共點問題，中點問題，數(shù)學(xué)思想與方法，旋轉(zhuǎn)、轉(zhuǎn)化、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）19-008-01

一、研究目的

本專題的探究是基于學(xué)生對四邊形的理解與掌握的基礎(chǔ)上的升華，在中考中的共點與中點問題也是重點與難點，因此，本專題的探究內(nèi)容在初中階段的學(xué)習(xí)中具有不容忽視的重要的地位。

本專題的內(nèi)容前面承接新人教版教材的三角形與中點全等的內(nèi)容，后面是變式相似的內(nèi)容，所以學(xué)好這個內(nèi)容為學(xué)好以后的圖形變式打下牢固的基礎(chǔ)，而且它在整個教材中也起到了承上啟下的作用。本內(nèi)容包含的一些作輔助線知識，是今后中考中的得分點。

本專題的內(nèi)容是對學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形及四邊形之后的升華部分，利用了等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形的特點，中線倍長的思想，三角形中位線，平行線的性質(zhì)對本次研究的圖形進(jìn)行認(rèn)識并解決本專題的問題。而本專題的后續(xù)是講公共頂點的兩個等腰直角三角形變?yōu)橐话愕牡妊切危斀且嗟?。同時也可變式為復(fù)雜的圖形：將等腰直角三角形轉(zhuǎn)化為正方形。那么在初三中考復(fù)習(xí)中，可以將變式3中的圖形證全等變式為證相似。同樣也可將正方形轉(zhuǎn)化為一般的矩形并用相似進(jìn)行解決。本節(jié)課不僅探究了兩線段的大小關(guān)系還要探究它們的位置關(guān)系，而對于頂角不是直角的圖形則要應(yīng)用三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。其變式多樣，適合于發(fā)展學(xué)生的思維，為大連地區(qū)中考的25題（由全等到相似）類型題培養(yǎng)解決圖形類問題的思想方法。

二、研究過程

1、由基本題出發(fā)，問題1已知：如圖1，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，A、B、D在同一條直線上，M、N、P分別是AD、AC、DE邊上的中點，試說明MP和MN的關(guān)系。學(xué)生在探究問題的時候有困難，于是教師給出提示問題：1、圖中如何構(gòu)造出兩個全等的三角形；2、本題的基本型可否是有共點的兩個等邊三角形（如圖2）3、變式成有共點的兩個等腰直角三角形時（如圖3），以上研究等邊三角形的結(jié)論還是否成立。

學(xué)生在研究圖2時，就有思路了，因為它是書上課后習(xí)題，并且在練習(xí)冊中也經(jīng)常出現(xiàn)，對于圖2的研究過程及其變式參看圖3、4、5、6

進(jìn)而轉(zhuǎn)化為有共點的兩個等腰直角三角形再進(jìn)行探究，如圖7、8、9、10。

有了這么多的基本圖形的解決做鋪墊，學(xué)生進(jìn)而對于問題1的解決有了思路與解決方法，能夠很容易想到分別連接AE與CD構(gòu)造全等三角形，并且探究AE與CD的關(guān)系（位置與數(shù)量），從而利用三角形的中位線，得到了所要求的MN與MP的關(guān)系（圖11），從中總結(jié)了方法：找基本型，并體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，乃至由特殊到一般的數(shù)學(xué)理念。進(jìn)而對于問題1的變式1：將等腰直角三角形DBE繞點B旋轉(zhuǎn)至如圖12所示的位置，其他條件不變，上述結(jié)論仍然成立。旋轉(zhuǎn)到圖13結(jié)論不變。

對于問題1也可進(jìn)行變式2，如圖14若將兩個等腰直角三角形△ABC和△DBE的銳角頂點B重合，M、N、P分別是AD、CB、BE邊上的中點，試說明MP和MN的關(guān)系。學(xué)生很容易就聯(lián)系到問題1的解決辦法做出輔助線（圖15）并且這道題構(gòu)造輔助線的方法還運用了倍長中線的思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系。再與圖12進(jìn)行類比，讓學(xué)生形成思想方法。

如果還想拓展學(xué)生的思維能力，可以再來一個變式3：如圖16若將兩個等腰直角三角形△ABC和△DBE的銳角頂點B重合，F(xiàn)是CE的中點，連接AF、DF，試說明AF和DF的關(guān)系。本變式再次鞏固了本次探究問題的解決思路與方法，真正掌握的同學(xué)一定會很快做出。

三、研究總結(jié)

本探究僅僅是研究了有共點的兩個等腰直角三角形的變式過程，并且共點處是兩個頂角的頂點，并且探究了其中兩個中點連線的兩條線段的關(guān)系。而對于共點處是兩個底角的頂點的研究又會如何，我們還會再次探究。