常微分方程數(shù)學建模案例分析

劉洪霞， 周紹偉

(山東科技大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，山東 青島 266590)

常微分方程數(shù)學建模案例分析

劉洪霞， 周紹偉

(山東科技大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，山東 青島 266590)

在常微分方程教學中，選取與實際生活密切相關(guān)的問題，采用數(shù)學建模的思想解決，對學生應(yīng)用數(shù)學的能力和學習興趣的提高具有積極的作用.案例教學能使學生理論聯(lián)系實際，更好地掌握常微分方程理論.

常微分方程；數(shù)學建模；實際案例

0 引言

傳統(tǒng)的大學數(shù)學教學強調(diào)理論知識的推導和計算技巧的掌握，忽視數(shù)學思想的來源及在實際生活中的應(yīng)用，學生在學習過程中通常感到抽象難懂，而當面對實際問題時，更不知如何用數(shù)學知識解決.因此，在高等數(shù)學課堂教學中開展實際案例教學是大學數(shù)學教學改革的重要方向.案例教學是由貼近生活的實際情境引出數(shù)學問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學知識，然后用所學的數(shù)學知識處理各種實際問題，縮短教學情境與實際生活情境的差距，提高學生學習的興趣，同時培養(yǎng)學生的實踐能力與創(chuàng)新能力.

常微分方程是高等數(shù)學中的一個重要內(nèi)容，學生在學習時往往只知道如何解方程，并不懂這些方程的實際背景，因此造成學生缺乏學習興趣與動力.案例教學在授課過程中從實際案例出發(fā)，加強學生對微分方程實際應(yīng)用的了解，同時加深學生對數(shù)學建模思想的理解，從而提高學生數(shù)學建模能力，以及分析問題和解決實際問題的能力.將數(shù)學建模思想滲透在常微分方程教學中,確保學生對常微分方程教學的方法、背景以及意義有一定了解，提高學生對數(shù)學的學習興趣和應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題的能力.

筆者選取常微分方程中的若干習題，將其用數(shù)學語言闡述，并按數(shù)學建模解決問題的思想對其作合理假設(shè)，構(gòu)造微分方程模型，并用學生所學的知識進行模型求解，將課程內(nèi)容和數(shù)學建模內(nèi)容進行有機融合，最終將數(shù)學建模方法與思想表達出來，使學生在學習課堂知識的同時掌握數(shù)學建模的思想.

1 數(shù)學建模案例分析

1.1 湖水污染問題

模型假設(shè) 1)假設(shè)河水是湖水的唯一水源且湖水容量不變；

2)假設(shè)湖泊中A的濃度是均勻的；

3)假設(shè)河水流進湖后立即與湖水充分混合從而使有毒污染物全部溶解在湖水中.

得

t=6ln 3．

故最多需經(jīng)過6ln 3年，湖泊中污染物A的含量可降至m0以內(nèi)．

1.2 信號燈問題

問題2 在北京、上海、深圳等大城市乘坐公共汽車，等交通信號燈一直是一個比較煩惱的問題.交通路口的指揮信號燈有紅、黃、綠3種顏色，在綠燈轉(zhuǎn)換為紅燈之前有一個過渡狀態(tài)，這個過渡狀態(tài)是由黃燈來完成的，通常是亮一段時間黃燈以后才變成紅燈信號.交通指揮燈信號設(shè)置合理，既可保證交通安全又可避免某一方向的車流等待時間太長，減少司機、乘客的煩惱.如果交通指揮燈閃爍時間設(shè)置不合理，雖然可保證交通安全，但往往會造成人們等待時間太長，增加司機、乘客的煩惱[3].那么怎樣設(shè)置交通指揮燈中各種顏色信號閃爍時間的長短，特別是黃燈閃爍多長時間才合理？

模型分析 黃燈信號的作用之一是提醒駕駛員注意紅綠信號燈，當遇到紅燈時應(yīng)立即停車讓橫向車流和人流通過，但已越過停止線的車輛可以繼續(xù)通過；黃燈信號的作用之二是：當黃燈亮時，機動車、行人在保證安全的原則下通行.

停車是需要時間的，在這段時間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段距離L,假設(shè)道路的寬度是D.現(xiàn)在的問題是如何確定L的大小.

模型求解 兩邊同時積分得v(t)=-at+c.由初始條件v(0)=v0，得c=v0，這樣

v(t)=v0-at.

所以，

那么黃燈究竟能亮多久呢？通過上面的推導可知，黃燈閃爍時間包括從駕駛員看到黃燈開始到汽車停下來所用時間和讓已經(jīng)過線的車順利穿過路口所用時間，因此黃燈閃爍時間至少應(yīng)該為

1.3 傳染病預(yù)報模型

問題3 一只游船上有800名乘客，其中有一名乘客患了某種傳染病，12 h后3人發(fā)病.由于這種傳染病沒有早期癥狀，因此傳染者無法被及時隔離，救援人員將在60～72 h將疫苗送到，請估計疫苗送到時患這種傳染病的人數(shù).

模型分析 設(shè)y(t)表示發(fā)現(xiàn)首例病人后th感染的人數(shù)，則800-y(t)表示此時刻未受感染的人數(shù).由題意知，y(0)=1,y(12)=3.當感染人數(shù)y(t)很小時，傳染病的傳播速度較慢，但當感染人數(shù)y(t)較大時，傳播速度加快，因此感染人數(shù)與當時病人數(shù)成正比，比例系數(shù)即為單位時間內(nèi)一個病人能傳染健康人數(shù)的數(shù)目.

模型建立 單位時間內(nèi)的發(fā)病人數(shù)和當時受感染者的人數(shù)以及未受感染的人數(shù)之積成正比，設(shè)比例系數(shù)為k.考慮t到t+Δt時刻，感染人數(shù)的增加量Δy=y(t+Δt)-y(t)，根據(jù)上面的分析，應(yīng)該有

Δy=y(t+Δt)-y(t)=ky(800-y(t))Δt，

則有

2 結(jié)束語

微分方程是研究自然科學、工程技術(shù)及社會生活現(xiàn)象的重要工具.通過研究微分方程解的各種屬性，能夠解釋一些現(xiàn)象，對未來的發(fā)展趨勢做出預(yù)測，為人們設(shè)計的新裝置提供參考.微分方程為自動控制設(shè)計、氣象數(shù)值預(yù)報、人口增長宏觀預(yù)測等提供了重要的理論依據(jù)[4].本文僅選取微分方程中的部分內(nèi)容，將數(shù)學建模思想融入常微分方程教學中，把數(shù)學與實際生活緊密聯(lián)系在一起.在教學過程中采取“案例式教學”，案例的分析采用“提出問題——問題分析——模型建立——模型求解”的教學模式，向?qū)W生講清微分方程的實際背景，列出微分方程并進行求解，再返回到實際問題中去解釋生活中的實際現(xiàn)象.這樣，既提高了學生的學習興趣，又增強了學生的學習能力，通過案例教學的開展，學生學習數(shù)學的積極性有了較大幅度的提高，也對數(shù)學建模有了更深的認識，這種新型教學模式值得我們在教學過程中長期堅持.

[1] 李薇,李衛(wèi)軍,戴明強.將建模思想融入數(shù)學教學,培養(yǎng)大學生數(shù)學素質(zhì)[J].湖北師范學院學報：自然科學版,2009,29(3):108-111.

[2] 熊佐亮, 蔣鵬, 朱向洪,等.微分方程應(yīng)用若干舉例[J].江西教育學院學報，2006,(12):1-3.

[3] 王憲杰，候仁民，趙旭強.高等數(shù)學典型應(yīng)用實例與模型[M].北京：科學出版社，2006:57-58.

[4] 陳代進.案例教學在高職計算機網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)理論教學中的實踐探索[J].計算機教學與教育信息化，2009,23(4)：1 083-1 084.

Analysis on Cases of Mathematical Modeling in Ordinary Differential Equations

LIU Hongxia， ZHOU Shaowei

(CollegeofMathematicsandSystemScience，ShandongUniversityofScienceandTechnology，Qingdao266590，China)

In the teaching of differential equation, the issues related to practical life are selected and solved by adopting the idea of mathematical modeling. The case teaching helps the student to integrate theory with practice, and grasp the theory of ordinary differential equations better.

ordinary differential equations; mathematical modeling; actual case

2015-06-18

山東科技大學教育教學研究“群星計劃”項目(QX2013265)；山東科技大學教學研究項目(JG201504)

劉洪霞(1979—)，女，山東泰安人，山東科技大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院講師.

10.3969/j.issn.1007-0834.2015.04.018

O13;G642.0

A

1007-0834(2015)04-0065-03