有理Bézier曲線形狀修改的研究

李迎娣

(黃河科技學(xué)院 國際學(xué)院,河南 鄭州 450000)

有理Bézier曲線形狀修改的研究

李迎娣

(黃河科技學(xué)院 國際學(xué)院,河南 鄭州 450000)

研究關(guān)于修改有理貝齊爾(Bézier)曲線的方法.通過控制點(diǎn)、權(quán)因子的單個及多個修改改變有理貝齊爾曲線的形狀,在此基礎(chǔ)上附加限制條件達(dá)到對有理貝齊爾曲線的精確修改.

有理貝齊爾曲線;控制頂點(diǎn);約束最優(yōu)化;導(dǎo)矢;權(quán)因子

1 有理Bézier曲線介紹[1-2]

法國雷諾公司的貝齊爾(Bézier)在1971年構(gòu)思了一種構(gòu)成曲線的方法,即可以由控制多邊形來定義.設(shè)計員通過控制頂點(diǎn)的移動就可以進(jìn)行曲線形狀的修改,并且曲線形狀的變化可以在控制之中.Bézier方法方便簡單,易于掌握,還可以較好地進(jìn)行幾何產(chǎn)品造型的整體形狀的控制.Bézier方法在CAGD(Computer Aided Geometric Design)中有重要的作用和地位,它很容易被人們所理解接受.但是Bézier方法仍有著連接的問題,而且還存在著局部修改的問題. Bézier方法不具有局部的性質(zhì),即控制多邊形的任一個頂點(diǎn)的改變都會影響整張的曲面或者整條曲線的形狀.有時曲面、曲線的形狀會很復(fù)雜,這時需要的是增加控制多邊形頂點(diǎn)的個數(shù),以使曲面、曲線的冪的次數(shù)增高.有時曲線的冪的次數(shù)很高, Bézier曲面或者曲線的形狀會與控制多邊形(定義該曲面或者曲線)有著很大的差距.之后,就有很多學(xué)者研究怎樣通過修改Bézier曲線克服這些缺點(diǎn).例如:沿著固定方向的有理Bézier曲線形狀的定量修改;沿著任意方向有理Bézier曲線形狀的定量修改;增加控制頂點(diǎn)的修改方法.本文研究的是通過修改有理Bézier曲線上的權(quán)因子或控制頂點(diǎn),修改n次有理Bézier曲線的形狀.然而在現(xiàn)實(shí)的工作中,更多的是進(jìn)行有要求或有目的性的修改,比如，使得修改后的有理Bézier曲線過某指定點(diǎn).

n次有理Bézier曲線方程的有理表達(dá)式為

(1)

其中,Bi,n(t)是Bernstin基函數(shù)，即

其中,wi(i=0,1,…,n)是權(quán)因子,wi(i=0,1,…,n)分別與相應(yīng)的控制點(diǎn)bi(i=0,1,…,n)相對應(yīng).權(quán)因子w0>0,wn>0,wi≥0,為了不讓分母為零,順序k個權(quán)因子是不同時為零的.bi(i=0,1,…,n)是控制點(diǎn), 控制多邊形由折線b0,b1,…，bn構(gòu)成.

2 有理Bézier曲線的形狀修改[3]

R(t)是參數(shù)為t的有理Bézier曲線,點(diǎn)T是已知的目標(biāo)點(diǎn),S是已知曲線上的點(diǎn),現(xiàn)在的目標(biāo)是讓修改后的曲線R′(t)過該點(diǎn),故需要研究的是:如何在滿足原Bézier曲線形狀改變最小的情況下,達(dá)到該目標(biāo).

定義有理n次Bézier曲線的方程為

其中,Bi,n(t)是第i個n次Bernstin基函數(shù).現(xiàn)實(shí)問題中有理二次、三次、四次Bézier曲線用得較多.

2.1 通過修改單個控制頂點(diǎn)來改變n次有理Bézier曲線的形狀

假設(shè)需要修改的控制頂點(diǎn)是dj,εj是控制頂點(diǎn)dj的相應(yīng)擾動量,則得到的有理n次Bézier曲線是

由條件知，修改后的Bézier曲線通過目標(biāo)點(diǎn)T,得

(2)

2.2 修改單個權(quán)因子改變n次有理Bézier曲線的形狀

假設(shè)要修改的權(quán)因子wj,δj是權(quán)因子wj的相應(yīng)擾動量,則得到的有理n次Bézier曲線

(3)

(1)式、(2)式分別改變單個控制點(diǎn)和權(quán)因子，對有理n次Bézier曲線的形狀進(jìn)行有目的的修改.

下面討論同時改變單個控制點(diǎn)和權(quán)因子時,n次有理Bézier曲線形狀的改變.

2.3 同時改變單個控制頂點(diǎn)和權(quán)因子來修改n次有理Bézier曲線的形狀

假設(shè)需要修改的權(quán)因子是wj,相應(yīng)的控制點(diǎn)是dj,則修改后的Bézier曲線是

(4)

3 保持導(dǎo)矢方向不變來改變有理Bézier曲線的形狀

R(t)是參數(shù)為t的有理Bézier曲線,點(diǎn)T是已知的目標(biāo)點(diǎn),S是已知的曲線上的點(diǎn),現(xiàn)在的目標(biāo)是使修改后的曲線R′(t)過該點(diǎn)且在該點(diǎn)處的導(dǎo)矢方向與S點(diǎn)處的導(dǎo)矢方向相同,所以我們研究的是:在滿足原Bézier曲線形狀改變最小的情況下,如何達(dá)到新的目標(biāo).

3.1 修改多個控制頂點(diǎn)且保持導(dǎo)矢[4]方向不變修改有理Bézier曲線的形狀

假設(shè)需要修改的控制頂點(diǎn)為dj(j=i1,i2，…ir),相應(yīng)的擾動量為εj(j=i1,i2，…ir)，

由條件Bézier曲線在目標(biāo)點(diǎn)處的導(dǎo)矢方向保持不變,故有

故

其中τ,λ為Lagrange算子,故依據(jù)約束問題的Lagrange法,得到

于是得到以下方程組，

解之，可得符合條件的εj值.

3.2 修改多個控制頂點(diǎn)且保持導(dǎo)矢[4]方向不變時修改有理Bézier曲線的形狀

假設(shè)修改的權(quán)因子是wj(j=i1,i2，…，ir),相應(yīng)的擾動量是δj(j=i1,i2，…，i),得到符合條件的曲線是

解之，可得δj的值.

[1] 王國瑾,汪國昭,鄭建民.計算機(jī)輔助幾何設(shè)計[M].北京:高等教育出版社,2001:35-43.

[2] 劉鼎元.有理Bézier曲線[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，1985,8(1):70-83.

[3] 康寶生.有理Bézier曲線的可控修形[J].工程圖學(xué)學(xué)報,1991(1):23-29.

[4] 陶詔靈.有理Bézier曲線導(dǎo)矢量法[J].氣象教育與科技,2000(2):30-33.

[5] 韓旭里,任葉慶.基于位矢和切矢約束優(yōu)化的Bezier曲線形狀修改[J].計算機(jī)輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報,2008,20(9):1 191-1 195.

Study on Modification of Rational Bézier Curve Shape

LI Yingdi

(InstituteofInternationalStudy,HuangheScienceandTechnologyCollege,Zhengzhou464000,China)

The change of method about rational Bézier curve is studied. First， through the change of single control point, right factor and the simultaneous, the shape of rational Bézier curve is changed. Second， restrictive condition is added to change the shape of rational Bézier curve.

rational Bézier curve; control point; optimization constraint; derivative; right factor

2015-05-11

李迎娣(1985—)，女，河南商丘人，黃河科技學(xué)院國際學(xué)院教師.

10.3969/j.issn.1007-0834.2015.04.005

O110

A

1007-0834(2015)04-0016-05