平衡損失下多元回歸模型最優(yōu)平衡估計(jì)及其性質(zhì)

馬改杰， 葉曉楓

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450000)

平衡損失下多元回歸模型最優(yōu)平衡估計(jì)及其性質(zhì)

馬改杰， 葉曉楓

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450000)

結(jié)合平衡損失函數(shù)的概念，在平衡最小二乘估計(jì)的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)對(duì)多元回歸模型參數(shù)的新的估計(jì)，并討論該估計(jì)的可容許性和無(wú)偏性.

多元回歸模型；平衡損失函數(shù)；最優(yōu)平衡估計(jì)；可容許性；無(wú)偏性

1 主要研究?jī)?nèi)容

本文討論多元回歸模型，希望運(yùn)用平衡損失函數(shù)的思想[1]，并通過(guò)借鑒徐興忠、吳啟光[2]、羅漢[3]在平衡損失下對(duì)一元線性模型的研究成果，具體地構(gòu)造一個(gè)多元回歸模型回歸系數(shù)的線性估計(jì)，并且研究該估計(jì)的可容許性、無(wú)偏性的特征.

先給出關(guān)于一元線性模型的概念和一些結(jié)論.

一元線性模型

(1)

其中Y為n維觀測(cè)向量，X∈Rn×p且列滿秩，β∈Rp和σ2>0為未知參數(shù).徐興忠、吳啟光在平衡損失函數(shù)下研究了該模型回歸系數(shù)的線性容許性問(wèn)題.在研究模型(1)的參數(shù)β的估計(jì)問(wèn)題時(shí)，最小二乘法的地位不容忽略.羅漢注意到平衡損失函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，從而研究了在平衡損失函數(shù)下的最小二乘法，并將其稱為平衡LS估計(jì).

定理1 線性模型(1)中參數(shù)β的平衡最小二乘估計(jì)為

(2)

本文考慮多元線性模型

(3)

現(xiàn)在討論模型(3)中平衡損失下未知參數(shù)Θ的估計(jì)問(wèn)題，希望采用的方法是應(yīng)用矩陣向量化運(yùn)算，把模型(3)轉(zhuǎn)化為一元線性模型，然后應(yīng)用一元線性模型下平衡最小二乘估計(jì)的結(jié)果，導(dǎo)出Θ的估計(jì).

應(yīng)用Vec(ABC)=(C′?A)Vec(B)，有

Vec(Y)=(I?X)Vec(Θ)+Vec(ε)，

(4)

于是可以導(dǎo)出一個(gè)估計(jì)

Θb=[t(X′X-Ip)+Ip]-1[t(X′-L)+L]Y，

稱該估計(jì)為平衡損失下多元回歸模型最優(yōu)平衡估計(jì).

2 主要結(jié)論

首先，主要研究最優(yōu)平衡估計(jì)的可容許性問(wèn)題.在給出主要結(jié)論之前，先了解一下相關(guān)的兩個(gè)引理.

接下來(lái)將給出關(guān)于最優(yōu)平衡估計(jì)可容許的主要結(jié)論.

最后我們考察最優(yōu)平衡估計(jì)Θb的另一性質(zhì)，即無(wú)偏性，給出另外一個(gè)主要結(jié)論.

定理3 對(duì)于多元線性模型(3)，其最優(yōu)平衡估計(jì)Θb=[t(X′X-Ip)+Ip]-1[t(X′-L)+L]Y為參數(shù)Θ的無(wú)偏估計(jì)的充分必要條件是LX=Ip.

3 主要結(jié)論的證明

再根據(jù)Θb=[t(X′X-Ip)+Ip]-1[t(X′-L)+L]Y的導(dǎo)出過(guò)程知，在模型(4)中，{Iq?[t(X′X-Ip)+Ip]-1[t(X′-L)+L]}Vec(Y)為未知參數(shù)Vec(Θ)的可容許估計(jì)，即{Iq?[t(X′X-Ip)+Ip]-1[t(X′-L)+L]}Vec(Y)～Vec(Θ)，并且

(必要性)因?yàn)橐?及引理2中結(jié)論的條件都為充分必要條件，并且Θb的導(dǎo)出過(guò)程是可逆的，由充分性的證明可知，逆之必然成立，必要性得證.

定理3的證明 由模型(3)知，E(Y)=E(XΘ+ε)=XΘ，因此，

E(Θb)=[t(X′X-Ip)+Ip]-1[t(X′-L)X+LX]Θ=

[t(X′X-Ip)+Ip]-1[tX′X+(1-t)LX]Θ=[tX′X+(1-t)Ip]-1[tX′X+(1-t)LX]Θ，

所以，Θb為參數(shù)Θ的無(wú)偏估計(jì)，即對(duì)?Θ∈Rp×q，E(Θb)=Θ的充要條件是

[1] ZELLER A. Bayesian and non-Bayesian estimation using balanced loss function[M]. Statistical decision theory and topics：V，1994:377-390.

[2] 徐興忠,吳啟光.平衡損失下回歸系數(shù)的線性容許估計(jì)[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2000, 20(4): 468-473.

[3] 羅漢,柏超.線性模型中參數(shù)的平衡LS估計(jì)及其性質(zhì)[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,33(2):122-124.

[4] 曹明響,孔繁超.多元線性模型中回歸系數(shù)的線性可容許估計(jì)[J].數(shù)學(xué)研究, 2009, 32(5):951-957.

Optimal Balance Estimate of Multivariate Linear Model Under Balanced Loss Function and Its Properties

MA Gaijie， YE Xiaofeng

(SchoolofMathematicsandInformationScience,NorthChinaUniversityofWater
ResourcesandElectricPower,Zhengzhou450000,China)

Integrating the concept of balanced loss function, a new estimation method of multiple regression model parameters is proposed on the basis of least square balance estimation, and the necessary and sufficient condition of the estimation in admissibility and unbiasedness are discussed.

multivariate regression model parameters; balanced loss function; optimal balance estimate;admissibility; unbiasedness

2015-09-17

馬改杰( 1988—) ，女，河南開(kāi)封人，華北水利水電大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院在讀碩士研究生.

10.3969/j.issn.1007-0834.2015.04.003

O212.1

A

1007-0834(2015)04-0010-03