連續(xù)型L′Hospital法則與離散型Stolz定理的關(guān)聯(lián)性探討

劉志紅

(鄭州財(cái)經(jīng)學(xué)院 計(jì)算機(jī)系，河南 鄭州 450044)

連續(xù)型L′Hospital法則與離散型Stolz定理的關(guān)聯(lián)性探討

劉志紅

(鄭州財(cái)經(jīng)學(xué)院 計(jì)算機(jī)系，河南 鄭州 450044)

通對(duì)Stolz定理和L′Hospital法則的推導(dǎo)證明，有效架起了Stolz定理和L′Hospital法則聯(lián)系的橋梁，使之相互融會(huì)貫通，將應(yīng)用Stolz定理和L′Hospital法則一體化.通過(guò)一些實(shí)例的應(yīng)用，進(jìn)一步探索這兩個(gè)重要工具的內(nèi)涵性和廣延性.

Stolz定理; L′Hospital法則;未定式;推廣形式;中值定理

0 引言

1 理論儲(chǔ)備

1.1 Stolz定理[1]

1.2 L′Hospital法則

(2)在點(diǎn)a附近(x≠a),f′(x)和g′(x)都存在,并且g′(x)≠0；

注記1 定理對(duì)于無(wú)限變化過(guò)程x→a+和x→a-都是適用的.

2 中心橋梁——Stolz定理的推廣形式

(1)g(x+T)>g(x)，x∈[a,+∞)；

(1)0

3 中心橋梁的輻射應(yīng)用

3.1 利用推廣定理證明Stolz定理

證明如下:

作g(x)=bn，x∈[n,n+1)，f(x)=an，x∈[n,n+1).

取T=1,則顯然

(1)g(x+1)>g(x)；

于是由推廣定理,有

從而

證明如下:

只須驗(yàn)證f(x)及g(x)在[a,+∞)上滿足推廣定理?xiàng)l件即可.

這里T=1,首先g′(x)≠0，x∈[a,+∞).由達(dá)布定理,知g′(x)在[a,+∞)內(nèi)不變號(hào).

下面驗(yàn)證條件:

(1)由Lagrange公式,?x∈[a,+∞)有θx∈(0,1)使

g(x+1)-g(x)=g′(x+θx)，x∈[a,+∞)，g′(x+θx)>0，

所以，g(x+1)-g(x)>0，即g(x+1)>g(x)[4]；

(2)由條件f(x)可導(dǎo),故f(x)在[a,+∞)的任意子區(qū)間上有界，g(x)=+∞已由條件直接給出；

由(1)、(2)和(3)，并由L′Hospital法則假設(shè)條件推得f(x)及g(x)滿足條件.

4 結(jié)語(yǔ)

[1] 劉澤慶.數(shù)學(xué)分析中的典型例題和例題選講[M].大連：大連海事出版社，1987：127-135.

[2] 菲赫金哥爾茨 T M.微積分教程[M].北京：人民教育出版社，1956：87-101.

[3] 陳偉侯,翟連林，段云鑫.微積分基礎(chǔ):上冊(cè)[M].北京：科學(xué)出版社，1984：92-98

[4] 孫本旺,汪浩.數(shù)學(xué)分析中的典型例題和解題方法[M].長(zhǎng)沙：湖南科學(xué)出版社，1981：165-174.

Discussion on Connection Between L′Hospital Rule of Continuous Type and Stolz Theorem of Abstract Type

LIU Zhihong

(DepartmentofComputerScience，ZhengzhouInstituteofFinanceandEconomics,Zhengzhou450044,China)

By the derivation of Stolz Theorem and L′Hospital Rule, the connection of Stolz Theorem and the law of L′Hospital are given. The integration of Stolz Theorem and L′Hospital Rule will apply. Through some examples of the application, the connotation and the wide ductility of these two important tools are further explored.

Theorem of Stolz; Rule of L′Hospital; undecided type; promotion form; mean value theorem

2015-07-10

河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目計(jì)劃 (15B110010)

劉志紅(1983—)，男，河北邯鄲人，鄭州財(cái)經(jīng)學(xué)院計(jì)算機(jī)系講師.

10.3969/j.issn.1007-0834.2015.04.002

O172

A

1007-0834(2015)04-0007-03