嚴(yán)格單調(diào)增加HG凸函數(shù)的定積分下界

時統(tǒng)業(yè)， 沈湘洮， 宋祥斌

(海軍指揮學(xué)院 信息系，江蘇 南京 211800)

嚴(yán)格單調(diào)增加HG凸函數(shù)的定積分下界

時統(tǒng)業(yè)， 沈湘洮， 宋祥斌

(海軍指揮學(xué)院 信息系，江蘇 南京 211800)

考慮嚴(yán)格單調(diào)增加的HG凸函數(shù)，也即其反函數(shù)的倒數(shù)是GA凸函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù).利用GA凸函數(shù)的性質(zhì)，用普通的數(shù)學(xué)分析方法，給出這類函數(shù)定積分的下界.

單調(diào)函數(shù)；反函數(shù)；HG凸函數(shù)；積分不等式；單側(cè)導(dǎo)數(shù)；下界

0 引言

ALZER H在文獻(xiàn)[1]給出如下結(jié)論：

定理1 設(shè)b>a>0，f：[a，b]→R為嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)，1/f-1為凸(凹)函數(shù)，則

(1)

文獻(xiàn)[2]給出比式(1)略強的結(jié)果：

定理2 設(shè)b>a>0，f：[a，b]→R為嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)，1/f-1為凸(凹)函數(shù)，則

一個很自然的問題就是，如果1/f-1為其他類型的凸函數(shù)，會有怎樣的結(jié)果.本文考慮嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)f：[a，b](0,∞)→(0,∞)，且1/f-1為GA凸函數(shù).從GA凸函數(shù)的定義出發(fā)，容易證明這類函數(shù)即嚴(yán)格單調(diào)增加的HG凸函數(shù)[3].本文仿照文獻(xiàn)[2]和[4]的方法來給出這類函數(shù)定積分的下界.

定義1[5]設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I?(0，∞)上的連續(xù)函數(shù)，如果對于任意x1，x2∈I和t∈(0,1)，有

(2)

則稱f(x)在區(qū)間I是GA下凸的.若式(2)的不等式是嚴(yán)格的，則稱f(x)在區(qū)間I是嚴(yán)格GA下凸的.

定義2[3]設(shè)區(qū)間I(0，∞)，f：I→(0，∞)，若對任意x1，x2∈I和t∈(0，1),有

(3)

則稱f(x)是區(qū)間I上的HG凸函數(shù).如果式(3)中的不等號反向，則稱f(x)是區(qū)間I上的HG凹函數(shù).

引理1[4]設(shè)f：I(0，∞)→R是GA下凸函數(shù)，則f在每一處都存在單側(cè)導(dǎo)數(shù)，且成立.

引理2[6]設(shè)f(x)是[a，b](0，∞)上的GA下凸函數(shù)，則:1)和(x)在(a,b)單調(diào)不減；2) 對任意x，y∈(a，b)，有

引理3 設(shè)f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)，1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(嚴(yán)格)GA凸函數(shù)，則f的單側(cè)導(dǎo)數(shù)存在，且對任意x，y∈(a，b)，x

(4)

證明 因為1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(嚴(yán)格)GA凸函數(shù)，由GA凸函數(shù)的定義可證f是HG凸函數(shù)，又由文獻(xiàn)[3]知f(x-1)是[b-1,a-1]上的對數(shù)凸函數(shù)，且由文獻(xiàn)[4]知對數(shù)凸函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)存在，f(x)是由f(u-1)和u=x-1復(fù)合而成，從而f在(a，b)內(nèi)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)存在.

不妨設(shè)u=f(x)，v=f(y)，則u

注2 利用HG凸函數(shù)與對數(shù)凸函數(shù)的關(guān)系(文獻(xiàn)[3]定理1)也可證明引理3.

引理4 設(shè)f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)，1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(嚴(yán)格)GA凸函數(shù)，u，w∈[a，b]，u

(5)

(6)

(7)

證明 由引理2容易證明(5)、(6)，這里略去.由式(5)得

(8)

又由引理3有

(9)

由式(8)、式(9)得式(7).

1 主要結(jié)果

定理3 設(shè)f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)，1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(嚴(yán)格)GA凸函數(shù)，c∈[a，b]則有

(10)

(11)

其中,

證明 由引理4有

(12)

(13)

式(12)除以t2，然后在[a，c]上對t積分得

(14)

同理可得

(15)

式(14)和式(15)相加即得式(10).類似地從式(12)和式(13)出發(fā)，可證得式(11).當(dāng)1/f-1是嚴(yán)格的GA凸函數(shù)時，式(12)和式(13)至少有一個是嚴(yán)格的，所以式(10)和式(11)是嚴(yán)格的.

推論1 設(shè)f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)，1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(嚴(yán)格)GA凸函數(shù)，c∈(a，b)，f在點c處可導(dǎo)，f′(c)≠0，則有

推論2 設(shè)f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)，1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(嚴(yán)格)GA凸函數(shù)，則當(dāng)時，分別有

定理4 設(shè)f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)，1/f-1是[f(a)，f(b)]上嚴(yán)格的GA凸函數(shù)，對任意x，u，w∈[a，b]，u

則有

(16)

證明 由引理4得

(17)

(18)

當(dāng)1/f-1是嚴(yán)格的GA凸函數(shù)時，式(17)和式(18)至少有一個是嚴(yán)格的，所以式(17)和式(18)相加得

還需證明φ(u,w,x)在x=x0(u,w)處取得最大值.

可以斷言u

故u

(19)

由推廣的Cauchy中值定理[7]，存在ξ∈(u,w)及p≥0，q≥0，p+q=1，使得

由引理3有

于是有式(19)成立.

推論3 設(shè)f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)，1/f-1是[f(a)，f(b)]上嚴(yán)格的GA凸函數(shù)存在，則有

(20)

證明 在定理4中取u=a，w=b，則式(20)的第一個不等式得證，分別取x=a，x=b，則式(20)的第二個不等式得證.

定理5 設(shè)f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)，1/f-1是[f(a)，f(b)]上嚴(yán)格的GA凸函數(shù)，c∈(a，b)，記

則有

(21)

證明 由引理4得

(22)

(23)

當(dāng)1/f-1是嚴(yán)格的GA凸函數(shù)時，式(22)和式(23)至少有一個是嚴(yán)格的，所以式(22)和式(23)相加得

定理6 設(shè)f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)，1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(嚴(yán)格)GA凸函數(shù)，則有

(24)

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)存在正的常數(shù)p1，p2，q1，q2使得

證明 設(shè)c∈(a，b)，由引理4，對任意t∈[a，b]，t≠c，有

(25)

(26)

式(25)、式(26)分別在[a，c]和[c，b]上對t積分并相加得

在上式中取c=A，則上式化為式(24).從證明過程可知，式(24)等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)式(25)和式(26)分別在[a，A]和[A，b]上等號成立，定理得證.

推論4 若f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)，1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(嚴(yán)格)GA凸函數(shù)，則有

(27)

等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在正的常數(shù)p，q使得f(t)=pq1/t.

注3 若f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)，1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(嚴(yán)格)GA凸函數(shù)，則利用引理3和引理4可證tlnf(t)是[a，b]上的凸函數(shù)，由Hermite-Hadamard不等式也可得到式(27).

定理7 設(shè)f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)，1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(嚴(yán)格)GA凸函數(shù)，則有

(28)

等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在正的常數(shù)p1，p2，q1，q2使得

證明 由引理4，對任意t∈[a，b]，t≠c，有

(29)

(30)

式(29)、式(30)分別在[a，L]和[L，b]上對t積分并相加得式(28).類似于定理6可得等號成立的條件.

推論5 設(shè)f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)，1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(嚴(yán)格)GA凸函數(shù)，則有

(31)

等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在正的常數(shù)p，q使得f(t)=pq1/t.

[1] ALZER H.On an integral inequality[J].Math Rev Anal Numer Th Approxim，1989，18：101-103.

[2] CHU YUMING，ZHANG XIAOMING，TANG XIAOMING.An upper bound estimate for H. Alzer’s integral inequality[J].Sarajevo Journal of Mathematics，2008，4(17)：191-196.

[3] 陳少元，宋振云.HG凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2013，43(2)：257-264.

[4] 張小明，褚玉明.解析不等式新論[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011：180-198.

[5] 吳善和.GA-凸函數(shù)與琴生不等式[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2004，22(2)：52-55.

[6] 時統(tǒng)業(yè)，吳涵.GA凸函數(shù)的若干不等式[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版，2012，25(2)：7-11.

[7] 馮媛，馮國.推廣的微分中值定理[J].高等數(shù)學(xué)研究，2010，13(5)：61-62.

Lower Bounds of Definite Integral for Strictly Monotonically Increasing HG-Convex Functions

SHI Tongye, SHEN Xiangtao, SONG Xiangbin

(DepartmentofInformation,PLANavalCommandCollege,Nanjing211800,China)

The strictly monotonically increasing HG-convex functions are considered. Lower bounds of definite integral are obtained by using the properties of GA-convex functions and ordinary mathematical analysis method.

monotonic function; inverse function; HG-convex function; integral inequality; unilateral derivative; lower bound

2015-06-08

時統(tǒng)業(yè)(1963—)，男，河北張家口人，海軍指揮學(xué)院信息系副教授，主要研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué).

10.3969/j.issn.1007-0834.2015.04.001

O178

A

1007-0834(2015)04-0001-06