擺鏡平臺壽命的Bootstrap估計*

王景宇，戴妍峰

(1. 中國科學(xué)院國家天文臺，北京 100012；2. 中國科學(xué)院太陽活動重點實驗室 (國家天文臺)，北京 100012)

擺鏡平臺壽命的Bootstrap估計*

王景宇1,2，戴妍峰1,2

(1. 中國科學(xué)院國家天文臺，北京 100012；2. 中國科學(xué)院太陽活動重點實驗室 (國家天文臺)，北京 100012)

擺鏡平臺是大口徑空間天文望遠鏡圖像穩(wěn)定控制系統(tǒng)中的一個活動部件，為評估其壽命，進行了擺鏡平臺壽命試驗。擺鏡平臺壽命試驗為單子樣壽命試驗，先驗概率信息很少，采用Bayes方法進行壽命估計有一定的困難。Bootstrap方法是一種非參數(shù)統(tǒng)計方法，它對未知分布不做任何假設(shè)，僅利用計算機對原始樣本數(shù)據(jù)進行再抽樣模擬未知分布，通過再生抽樣將小樣本問題轉(zhuǎn)化成大樣本問題。Bootstrap方法要求子樣數(shù)要大于等于5。采用半經(jīng)驗虛擬增廣子樣和Bootstrap相結(jié)合的方法進行擺鏡平臺壽命的區(qū)間估計。在擺鏡平臺壽命服從威布爾(Weibull)分布的假定下，通過以往類似產(chǎn)品壽命試驗數(shù)據(jù)推斷出威布爾分布形狀參數(shù)，然后用壽命試驗值和威布爾分布形狀參數(shù)推導(dǎo)出擺鏡平臺壽命的方差，在此基礎(chǔ)上進行子樣虛擬增廣。虛擬增廣子樣需要滿足兩個條件：(1)增廣子樣的均值等于壽命試驗值；(2)虛擬增廣子樣的方差等于類似產(chǎn)品壽命的經(jīng)驗方差。根據(jù)這兩個條件建立一個方程組，用數(shù)值計算法求解方程組得到增廣子樣。這些作為Bootstrap區(qū)間估計原始樣本的增廣子樣用于計算樣本的經(jīng)驗分布和樣本重抽樣。通過重抽樣得到10 000個樣本，計算每個樣本的均值，然后對10 000個均值進行排序，得到均值μ1≤μ2≤…≤μ10 000，采用分位數(shù)法計算置信水平為1-α的Bootstrap置信區(qū)間，得到置信區(qū)間(μk1，μk2)，其中k1=[10 000 ×α/2]，

擺鏡平臺；Bootstrap方法；增廣子樣；Weibull分布；置信下限

擺鏡平臺是空間太陽望遠鏡圖像穩(wěn)定控制系統(tǒng)中的一個部件，為研究擺鏡平臺在空間環(huán)境下的使用壽命，國家天文臺建立了擺鏡平臺壽命試驗系統(tǒng)，并在此系統(tǒng)上進行了擺鏡平臺壽命試驗。由于擺鏡平臺是一種高可靠性且價格昂貴的產(chǎn)品，因此，在進行壽命試驗時只采用一個擺鏡平臺作為試件。在這種情況下，擺鏡平臺壽命評估屬于單子樣壽命試驗評估問題。通常處理小子樣估計的方法有Bayes方法和Bootstrap方法[1-2]。由于擺鏡平臺的驗前信息極少，采用Bayes方法進行壽命評估有一定的困難。Bootstrap方法是一種非參數(shù)統(tǒng)計方法，它對未知分布不做任何假設(shè)，僅利用計算機對原始樣本數(shù)據(jù)進行再抽樣模擬未知分布，通過再生抽樣將小樣本問題轉(zhuǎn)化成大樣本問題[3]。Bootstrap方法要求子樣數(shù)n≥5，為使用Bootstrap方法對擺鏡平臺壽命進行評估，采用文[2]中的方法對子樣數(shù)進行虛擬擴展，將子樣數(shù)由1增加到5以上，然后再利用Bootstrap方法進行擺鏡平臺壽命估計，給出擺鏡平臺平均壽命的置信區(qū)間和置信下限。

1 半經(jīng)驗虛擬增廣子樣與Bootstrap方法相結(jié)合的極小子樣評估方法

文[2]給出了極小子樣試驗的半經(jīng)驗評估方法，同時指出這種評估方法由于試驗均值的標(biāo)準(zhǔn)差大導(dǎo)致置信下限下降很大。為克服這一缺點，文[2]的作者提出了一種半經(jīng)驗虛擬增廣子樣與Bootstrap方法相結(jié)合的極小子樣評估方法。

1.1 半經(jīng)驗虛擬增廣子樣方法

為使虛擬增廣新子樣所蘊含的隨機特性與原子樣隨機性的差別在允許范圍之內(nèi)，虛擬增廣子樣應(yīng)滿足下列條件：

(1)虛擬增廣后的子樣均值應(yīng)與原來的子樣均值相等；

(2)虛擬增廣后的子樣標(biāo)準(zhǔn)差與類似件的子樣標(biāo)準(zhǔn)差相等。

具體增廣方法如下：設(shè)T0為試驗值，σ為半經(jīng)驗所得的試驗值的標(biāo)準(zhǔn)差，由于試驗中試件只有一個，只得到一個試驗值T0，因此，只能以此試驗值作為試驗均值的估計值。虛擬增廣子樣為Ti，i=1,2,…,n，其中某一子樣值為T0，滿足下列方程組：

.

(1)

采用數(shù)值計算的方法解上述方程組得到虛擬增廣子樣。

1.2Bootstrap方法

Bootstrap方法是美國Stanford大學(xué)教授Efron于1979年提出的一種新的統(tǒng)計推斷方法，是一種只依賴于給定觀測信息，而不需要其它假設(shè)的統(tǒng)計推斷方法。

?Tn，

由觀測X=(x1,x2, …,xn)估計R(X,F)分布特征的基本步驟如下[3]：

.

(2)

(2)從Fn中抽取子樣

X*

X*稱為Bootstrap子樣。

利用Rn的分布模擬Tn的分布，可以對分布參數(shù)θ進行區(qū)間估計。

1.3 單子樣壽命試驗的區(qū)間估計

利用半經(jīng)驗虛擬增廣子樣與Bootstrap方法相結(jié)合的極小子樣評估方法可進行單子樣壽命試驗的區(qū)間估計，具體步驟如下：

(1)利用虛擬增廣方法將子樣由1個增廣到n個；

(2)將n個子樣值按從小到大順序排列，然后計算經(jīng)驗分布函數(shù)Fn；

(4)利用上述抽樣集合計算壽命的Bootstrap置信區(qū)間[4]。

1.4 算例

文[2]給出了一個用此方法估計飛行器結(jié)構(gòu)壽命的算例：一飛行器結(jié)構(gòu)做了一次壽命試驗，得出其壽命為T0=20 000 h，由經(jīng)驗知其壽命為對數(shù)正態(tài)分布，對數(shù)壽命的標(biāo)準(zhǔn)差σY=0.17，其中Y=logT，利用(1)式將Y由1個Y0=logT0=4.301，虛擬增廣到5個{3.801，4.105，4.301，4.497，4.801}，再用Bootstrap方法求出均值估計密度分布，得到Y(jié)均值90%置信度下限為4.084 76，對應(yīng)壽命T均值的置信下限為12 153 h。

2 擺鏡平臺壽命估計

2.1 擺鏡平臺壽命的分布

威布爾(Weibull)分布是瑞典物理學(xué)家Weibull在分析材料強度時推導(dǎo)的一種概率分布類型。由于威布爾分布含有兩個或三個參數(shù)，它對各種類型試驗數(shù)據(jù)擬合的能力強，因此，使用廣泛，許多隨機現(xiàn)象可認為近似服從威布爾分布。

(3)

式中，ηi為各部件分布的比例參數(shù)。

壽命試驗中的試件為德國PI公司的S-340型擺鏡平臺，由兩對壓電陶瓷觸動器推動擺鏡平臺臺面擺動，S-340擺鏡平臺中的壓電陶瓷促動器為PI公司的PICMA(PICeramicco-firedmultilayeractuators)，根據(jù)文[5]PICMA的壽命服從兩參數(shù)威布爾分布，形狀參數(shù)m的平均值為1.4。通過對擺鏡平臺構(gòu)成部件的分析，認為擺鏡平臺壽命主要由PICMA決定。由于擺鏡平臺中兩對PICMA的使用環(huán)境和工作條件相同，因此，可以認為其壽命分布的形狀參數(shù)相同。假定擺鏡平臺的壽命為最薄弱的一個PICMA的壽命，根據(jù)(3)式擺鏡平臺壽命分布也為威布爾分布，且形狀參數(shù)與PICMA相同為1.4。

2.2 單子樣擺鏡平臺壽命試驗的壽命Bootstrap置信下限計算

文[6]給出了壽命服從威布爾分布情況下的半經(jīng)驗虛擬增廣子樣與Bootstrap結(jié)合的方法，將子樣數(shù)由1虛擬增廣到7，用Bootstrap方法計算平均壽命的置信下限。用此方法計算擺鏡平臺平均壽命置信下限的過程如下：

擺鏡平臺壽命T服從兩參數(shù)威布爾分布，概率密度函數(shù)為

(4)

式中，m為形狀參數(shù)；η為比例參數(shù)。擺鏡平臺壽命T的均值、方差用Γ函數(shù)表示為

(5)

(6)

設(shè)T0為擺鏡平臺壽命的試驗值，根據(jù)威布爾分布將其虛擬擴展為7個子樣，記為T1、T2、T3、T4、T5、T6、T7，由于威布爾分布密度函數(shù)是偏態(tài)的，因此，在進行虛擬子樣擴展時，在試驗值T0左邊取4個點，右邊取2個點，且滿足T1

(7)

化簡后為

.

(8)

因為只有一個試驗值T0，只能將它作為試驗值均值的估值，即E(T)≈T0，由(5)、(6)式及m=1.4得D(T)

(9)

將(9)式代入(8)式得

(10)

令Ti=kiT0，i=1, 2, 3, 4, 6, 7代入(10)式得

(11)

利用數(shù)值計算方法解(11)式，可給出ki，i=1,2,3,4,6,7，由此得到擴展子樣X：

X=(k1T0，k2T0，k3T0，k4T0，T0，k6T0，k7T0)，

利用X計算擺鏡平臺平均壽命的Bootstrap置信區(qū)間，具體步驟如下：

為加快壽命試驗的進程，在壽命試驗中引入了加速過程，目前加速因子為5.5。擺鏡平臺壽命試驗從2013年1月1日開始，到2014年3月18日已進行442天，擺鏡平臺工作正常。因此，可以認為壽命試驗值T0=442×24×5.5=58 344 h，h表示小時。利用(11)式選出一組系數(shù)ki,i=1,2,3,4,6,7

與T0相乘得到的增廣子樣為

單位為h。取N=10 000，按上述Bootstrap置信區(qū)間的方法用Matlab編程計算，得到擺鏡平臺壽命90%、95%、98%和99%的Bootstrap置信區(qū)間，具體值見表1。

如果擺鏡正常工作2年，壽命試驗值T0=730×24×5.5=96 360 h，擺鏡平臺壽命90%、95%、98%和99%的Bootstrap置信區(qū)間計算結(jié)果見表2。

表1 擺鏡平臺正常工作442天情況下壽命 Bootstrap置信區(qū)間計算結(jié)果

Table 1 Confidence intervals for the lifetime of the tip-tilt platform at the time when it has been working normally for 442 days as calculated using our bootstrap method

置信度/%置信下限/h置信上限/h903576684146953146889163982859896688992680899916

表2 擺鏡平臺正常工作2年情況下壽命 Bootstrap置信區(qū)間計算結(jié)果

Table 2 Confidence intervals for the lifetime of the tip-tilt platform at the time when it has been working normally for 2 years as calculated using our bootstrap method

置信度/%置信下限/h置信上限/h9057889138975955197114726098466451573249944277163833

從表1可知95%置信區(qū)間為[31 468 h，89 163 h]，或[3.59年， 10.18年]，置信下限為T0.95=31 468h=3.59年。

從表2可知95%置信區(qū)間為[51 971h，147 260h]，或[5.93年， 16.81年]，置信下限為T0.95=51 971h=5.93年。

3 結(jié) 論

對單子樣擺鏡平臺壽命試驗，在擺鏡平臺近似服從威布爾分布的假定下，根據(jù)以往擺鏡平臺組件壽命試驗數(shù)據(jù)推斷威布爾分布的形狀參數(shù)，在此基礎(chǔ)上可以采用半經(jīng)驗虛擬增廣子樣與Bootstrap方法相結(jié)合的方法進行擺鏡平臺壽命的Bootstrap區(qū)間估計，給出擺鏡平臺壽命的置信區(qū)間和置信下限。

[1] 馮蘊雯, 馮元生. 極小子樣高可靠性成敗型產(chǎn)品試驗的貝葉斯評估方法研究[J]. 機械科學(xué)與技術(shù), 1999, 18(2): 198-200.FengYunwen,FengYuansheng.StudyofBayes’estimationforproducttestofextremesmall-samplehigh-reliabilitysafe-or-failurepattern[J].MechanicalScienceandTechnologyforAerospaceEngineering, 1999, 18(2): 198-200.

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[6] 楊海峰, 馮蘊雯, 馮元生. 單子樣結(jié)構(gòu)疲勞試驗壽命評估方法研究[J]. 機械設(shè)計與制造, 2010(9): 109-111.YangHaifeng,FengYunwen,FengYuansheng.Researchonreliabilityassessmentofsinglesample[J].MachineryDesign&Manufacture, 2010(9): 109-111.

CN 53-1189/P ISSN 1672-7673

Estimation of the Lifetime of a Tip-Tilt Platform Using a Bootstrap Method

Wang Jingyu1,2, Dai Yanfeng1,2

(1. National Astronomical Observatories, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100012, China,Email: wangjingyu@bao.ac.cn; 2. Key Laboratory of Solar Activities, National Astronomical Observatories, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100012, China)

Tip-Tilt Platforms; Bootstrap method; Augmented sample; Weibull distribution; Lower confidence bound

國家自然科學(xué)基金 (11078018) 資助.

2014-03-18；修定日期：2014-04-24

王景宇，男，研究員. 研究方向：天文儀器與方法. Email: wangjingyu@bao.ac.cn

TP273

A

1672-7673(2015)01-0096-06

上述方法計算0.95置信水平的Bootstrap置信下限為3.59年，如果正常工作兩年，0.95置信水平的Bootstrap置信區(qū)間為(5.93年，16.81年)。