基于音樂(lè)中的自相似性原則

肖武雄

摘要：該文從音律學(xué)切入，精確到四十八平均律中去探究音樂(lè)結(jié)構(gòu)的自相似性問(wèn)題，推導(dǎo)建立自相似性音樂(lè)分析的參數(shù)設(shè)定，并以作曲家陳曉勇鋼琴小品《日記I》為例進(jìn)行求證。

關(guān)鍵詞：自相似；維度；分?jǐn)?shù)維；域；陳曉勇

中圖分類號(hào)：J614.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.3969/j.issn1003-7721.2014.03.004

自相似性是混沌學(xué)最主要的理論成果之一。意思是：宇宙中的萬(wàn)事萬(wàn)物，其內(nèi)部（部分）與整體之間從不同的空間尺度或時(shí)間尺度來(lái)看都存在相似性。比如自然界中的油漆、泥裂、云、雞冠花、花椰菜、樹葉，醫(yī)學(xué)界的無(wú)性繁殖、基因克隆……。同樣，音樂(lè)藝術(shù)領(lǐng)域中自相似性早已存在，主要通過(guò)作品的組織結(jié)構(gòu)及音響再現(xiàn)表現(xiàn)出來(lái)。如貝多芬的“動(dòng)機(jī)分裂”，勛伯格的“主題一致性”，基本樂(lè)理中的音程特征，傳統(tǒng)和聲學(xué)中的三和弦、七和弦無(wú)不是自相似性的表現(xiàn)。從音樂(lè)分析的角度出發(fā)，自相似性應(yīng)該解構(gòu)到構(gòu)成作品的最小單位，類似于電子圖形學(xué)中的“取樣精度”。隨著歷史的進(jìn)程，這種取樣精度同樣在音樂(lè)作品中有相應(yīng)的表現(xiàn)。比如：漢族五聲性調(diào)式的自相似性，從音程角度看是通過(guò)大二、小三、大三、純四度及它們的轉(zhuǎn)位音程表現(xiàn)的；七聲性調(diào)式音級(jí)是以小二、大二、小三、大三、純四、增四度及它們的轉(zhuǎn)位音程表現(xiàn)的；十二平均律的自相似音程本質(zhì)上也是這六個(gè)；二十四律的本質(zhì)音程是在六個(gè)特征音基礎(chǔ)上再增加六個(gè)微分音共十二個(gè)音組成。即：

此處的“音素”是以傳統(tǒng)樂(lè)理計(jì)算，即：1/4表示四分之一音，1/2表示二分之一音，1為全音。 來(lái)表現(xiàn)。

同理，四十八律就有二十四個(gè)特征音程構(gòu)成本質(zhì)因素。（見表1）

表1把C1至C2一個(gè)八度音域空間均分為四十八份，每一個(gè)最小單位為八分之一音。傳統(tǒng)樂(lè)理記為1/8，即C1至C2共48個(gè)1/8。以中軸為準(zhǔn)，左右兩側(cè)嚴(yán)格鏡像對(duì)稱，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)音程逐漸增加一個(gè)單位（1/8），順時(shí)針旋轉(zhuǎn)音程逐漸減少一個(gè)單位（1/8）。#f與bg為等音，音程含量與序號(hào)都完全一樣。

以上計(jì)算了一個(gè)八度（六個(gè)全音）按照十二、二十四、四十八平均律劃分的情況，

即：6×1=6（一個(gè)八度有六個(gè)全音）

12×1/2=6（一個(gè)八度有十二個(gè)半音）

24×1/4=6（一個(gè)八度有二十四個(gè)四分之一音）

48×1/8=6（一個(gè)八度有四十八個(gè)八分之一音）

表1“四十八律”特性音程鏡像對(duì)稱關(guān)系一覽

奇妙的音樂(lè)數(shù)字對(duì)稱

序號(hào)音名音程度數(shù)樂(lè)理音素所含八分之一音的個(gè)數(shù)樂(lè)理音素音程度數(shù)音名序號(hào)

神奇的6！無(wú)論怎么劃分（按偶數(shù)、奇數(shù)、質(zhì)數(shù)做均分）都能得到中軸對(duì)稱的音列。而且，永遠(yuǎn)能分割下去——日取其半，萬(wàn)世不竭。

即：一個(gè)八度包含6n 個(gè) 1/n ， [ n ∈ ∞ ]

數(shù)學(xué)表達(dá)為：6n × 1/n = 6

由此可見：音樂(lè)的自相似性是由“數(shù)”這里的“數(shù)”針對(duì)不同的對(duì)象有不同的表現(xiàn)，從音程而言表現(xiàn)為整數(shù)、分?jǐn)?shù)；從聲音頻率、振幅而言表現(xiàn)為整數(shù)、小數(shù)；從三者的關(guān)系而言表現(xiàn)為對(duì)數(shù)、函數(shù)；從空間及聲音相位而言表現(xiàn)為度數(shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)…… 來(lái)表現(xiàn)的，“數(shù)”是音樂(lè)的根本。如畢達(dá)哥拉斯所言：“音樂(lè)的美與和諧只能到‘?dāng)?shù)的關(guān)系去尋找”羅塞夫：《古代音樂(lè)美學(xué)》，莫斯科國(guó)家音樂(lè)出版社，1960年第1版 ，第16頁(yè)。 。那么，音樂(lè)與數(shù)還有什么關(guān)系呢？音樂(lè)作品中的自相似性如何表達(dá)？何為它的最小單位？最小單位如何包含預(yù)示整體的屬性？要解釋這些問(wèn)題必須先搞清楚兩個(gè)概念。

1.維度（ dimension ）

維度就是我們分析的目標(biāo)對(duì)象所采用的分析角度，又稱維數(shù)，是數(shù)學(xué)中獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目。在物理學(xué)和哲學(xué)的領(lǐng)域內(nèi)，指獨(dú)立的時(shí)空坐標(biāo)的數(shù)目 。

點(diǎn)：是0維，沒(méi)有長(zhǎng)度。表明音樂(lè)中絕對(duì)的“點(diǎn)”（靜止的單音）所謂絕對(duì)的“點(diǎn)”結(jié)構(gòu)，只起靜止的譜面意義，一旦它觸發(fā)振動(dòng)就會(huì)有從生到死（發(fā)音到消失）的全過(guò)程，這一過(guò)程中存在許多諧波泛音，所以樂(lè)音中的“絕對(duì)單音”是不存在的。 是不存在的。

線：是1維，只有長(zhǎng)度。表示音樂(lè)中的音程距離，如微分音，自然音程等等。

面：是2維，由長(zhǎng)寬的兩條直線（或曲線）構(gòu)成的面積。表明任意音向空間兩個(gè)方向發(fā)展都會(huì)出現(xiàn)的相應(yīng)面積。

體：是3維，由長(zhǎng)寬高三條相交的直線（或曲線）構(gòu)成。表明任意音向空間三個(gè)方向發(fā)展都會(huì)出現(xiàn)的相應(yīng)體積。

場(chǎng)：是4維，三維的世界是靜止的，當(dāng)三維世界以時(shí)間為基準(zhǔn)發(fā)生變化時(shí)，四維空間就產(chǎn)生了，如果把時(shí)間看作一根軸線，則這個(gè)軸線上的任意一個(gè)點(diǎn)，都是一個(gè)三維空間，也就是說(shuō)無(wú)數(shù)個(gè)三維空間依據(jù)時(shí)間軸線集合，構(gòu)成了四維空間。

傳統(tǒng)樂(lè)理把自然音程限定在十四種之內(nèi)，即：“一四五八無(wú)大小，二三六七沒(méi)有純，外加增四減五”晏成佺、童忠良：《基本樂(lè)理教程》，北京：人民音樂(lè)出版社2006年版。 。同樣，把音樂(lè)演奏的時(shí)間最低細(xì)化到“秒”。這些單位對(duì)于極限認(rèn)識(shí)的分形理論而言太過(guò)“粗糙”，不準(zhǔn)確。當(dāng)代科技的測(cè)試手段，要求各參數(shù)精密計(jì)算，更加細(xì)化，從而找到“最小的自相似性”。認(rèn)識(shí)從極限更接近事物的本源。

2.分?jǐn)?shù)維（fractal dimension ）

19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了分形，由此創(chuàng)立了一種新的維度——“分?jǐn)?shù)維”，人們由此意識(shí)到，維度不只是整數(shù)，還有可能是分?jǐn)?shù)，甚至可能是無(wú)理數(shù)！英國(guó)著名物理學(xué)家史蒂芬·霍金教授有這樣的解釋：這就像一根頭發(fā)，遠(yuǎn)看是一維的線，在放大鏡下，它確實(shí)是三維的；如果面對(duì)時(shí)空，如果有足夠高倍的放大鏡的話，也應(yīng)該能揭示出其它可能存在的4維、5維空間，直至11維空間。相對(duì)于音樂(lè)而言微分音就是分?jǐn)?shù)維，理論上可以細(xì)分到無(wú)窮，即：1/∞。但是，從人們可以感覺(jué)和演奏的角度出發(fā)，微分音到1/8精度，從創(chuàng)作和演奏上說(shuō)就已經(jīng)夠用了。從律學(xué)角度上說(shuō)卻還需要精細(xì)到1/200精度，這正好是一個(gè)音分的單位，也是全世界律學(xué)通行的精度單位。盡管微分音還可以細(xì)分下去，那也是運(yùn)用于軍事科學(xué)領(lǐng)域，于音樂(lè)作品而言反倒成為了累贅，故而，基本不用。

時(shí)間維度，同樣可以精細(xì)到微妙、納秒……，但針對(duì)音樂(lè)組織的頻譜分析軟件使用的最小單位是毫秒。它們的關(guān)系如下：

1s（秒）=103ms（毫秒）=106μs（微秒）=109ns（納秒）

3.域（domain）

域本身也是一種維度，指客觀事物存在的空間范圍（靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩種范圍）。一切聲源都在震動(dòng)，所以，構(gòu)成音樂(lè)作品的任意一個(gè)組織參數(shù)都是運(yùn)動(dòng)的。音樂(lè)藝術(shù)領(lǐng)域涉及的域及維度都是具有生命的，具有自身的起始過(guò)程，其過(guò)程之中反映出的相對(duì)穩(wěn)定屬性更值得我們重視?？傋V記錄的只是譜面靜態(tài)的域，需要在二度創(chuàng)作變成音響時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)而富有生命的域。

點(diǎn)：就是“無(wú)”，沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有生命，也沒(méi)有域。即：零時(shí)空。

線：對(duì)應(yīng)“線域”，在一維條件下，大無(wú)終，小也無(wú)終（極限接近零）。

面：對(duì)應(yīng)“面域”，只要琴弦震動(dòng)，無(wú)論琴弦多長(zhǎng)，哪怕它短到極限，它也有波峰、波谷及平衡中點(diǎn)，倘若把三者連接起來(lái)得到的就是二維面域。（見圖1）

圖1純音震動(dòng)產(chǎn)生的三角面域圖2八度等邊三角形

我們已知樂(lè)音中包含N個(gè)純音，即：琴弦全長(zhǎng)震動(dòng)時(shí)，弦上的“N段點(diǎn)”都能產(chǎn)生自己的諧波泛音，所有各段的震動(dòng)都能構(gòu)成屬于自己的“三角面域”，微分音構(gòu)成微分三角形，全音程構(gòu)成全音三角形……下面取一個(gè)等邊三角形來(lái)進(jìn)一步研究。假設(shè)邊長(zhǎng)等于一個(gè)八度。（見圖2）

下面取各邊長(zhǎng)的中點(diǎn)，即：增四（減五）的三全音點(diǎn)（音素為3）把它們構(gòu)成的三角形挖空。（見圖3）

圖3八度等邊三角形·邊長(zhǎng)分為二份·圖4八度等邊三角形·邊長(zhǎng)分為四份·

三全音量化面域小三度量化面域

同理，再繼續(xù)剩余三角形邊長(zhǎng)的一半，量化精度到增二（小三）度（音素為112）。（見圖4）

再取所得三角形邊長(zhǎng)的一半，量化精度到四分之三音（音素為3/4）。（見圖5、6）

圖5八度等邊三角形·邊長(zhǎng)分為八份·圖6八度等邊三角形·邊長(zhǎng)分為十六份·四分之三度量化面域八分之三度量化面域

繼續(xù)取更小的量化單位十六分之三，邊長(zhǎng)分為三十二份·還可以得到下列三角形（見圖7）：

圖7圖8八度等邊三角形·邊長(zhǎng)均分五份·

一又五分之一音素量化面域

這樣的極限劃分可以永遠(yuǎn)進(jìn)行下去，從音樂(lè)實(shí)際演奏的角度到這一步就夠用了。這一圖形原理運(yùn)用了謝爾賓斯基“墊片”理論波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基（W.Sierpinski1882—1969 ）以對(duì)集合論、數(shù)論和拓?fù)鋵W(xué)的出色貢獻(xiàn)而聞名，他在1915年提出了墊片理論，是自相似集的一種 。 。上述三角形都是按照“找中點(diǎn)二分法”（類似傳統(tǒng)樂(lè)理音值組合的基本劃分）不斷地向下進(jìn)行。倘若是把邊長(zhǎng)按照奇數(shù)劃分，如分為：三、五、七、九、十一………………得到的三角形還會(huì)是等邊三角形嗎？（見圖8）

均分三、七、九、十一…結(jié)論一樣，推理略。

可見：得到的仍然是等邊三角形，它就相當(dāng)于基本樂(lè)理中音值組合法的特殊劃分。

在此，不禁要問(wèn)，有無(wú)不等邊三角形，倘若只有一個(gè)邊長(zhǎng)做任意數(shù)目的均分，從該邊長(zhǎng)外的第三維點(diǎn)（原三角形的高點(diǎn)）向各分段點(diǎn)連線，得到的三角形就是不等邊三角形。（見圖9）

圖9八度等邊三角形·邊長(zhǎng)奇數(shù)圖10四面體三角形謝爾

劃分得到不等邊三角形量化面域賓斯基 “墊片”量化體域

從圖9各維出發(fā)得到的都是三角形，即便由維線相交得到的梯形及更加復(fù)雜的多邊形，也可以繼續(xù)劃分都能找到更小單位的三角形組織。

從上述推理可以得到下列結(jié)論：

1.音樂(lè)作品的自相似性在面域上音樂(lè)作品的自相似性在線域上是以音程度數(shù)（音素）表示的，通常以作品中的最小音程數(shù)為單位。 是通過(guò)三角形表現(xiàn)（即使在任意小的比例尺度內(nèi)也包含整體）。

2.任意三角形的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三和弦，四邊形（梯形）可分為兩個(gè)三角形。即：傳統(tǒng)七和弦可以拆分為兩個(gè)三和弦。

3.N面體最少包括N個(gè)三和弦，極限劃分存在無(wú)窮個(gè)三和弦。

4.音響的存現(xiàn)形式是立體的，具有時(shí)空屬性。上述所有三角形的劃分都是在“靜態(tài)場(chǎng)景”（譜面意義）中的分形壓縮。實(shí)際運(yùn)用還需要考慮音響的多維屬性。

5.音樂(lè)就是三角形（三和弦）的集合可能有人會(huì)反問(wèn)，如單一聲部獨(dú)奏，三角形在哪里？傳統(tǒng)譜面記錄的單旋律表面看是一維曲線，實(shí)際上是立體四維時(shí)空呈述，用頻譜儀可以把每一個(gè)階段參數(shù)記錄下來(lái)。通俗地說(shuō)就是：音響是以聲場(chǎng)的傳輸轉(zhuǎn)移來(lái)實(shí)現(xiàn)的，譜面旋律的任何一個(gè)單音都構(gòu)成以它為基音的諧波系列（聲場(chǎng)），旋律音響是聲場(chǎng)的有序集合。 。

6.陰陽(yáng)、生死、分合、虛實(shí)體現(xiàn)分形構(gòu)成的空間秩序和永恒法則。（見圖10）

由此，可見音樂(lè)音響分析的難度。

因?yàn)樽韵嗨菩栽谌魏螘r(shí)期、任何流派、任何作曲家的作品中都大量存在，僅僅是名詞使用不同而已，無(wú)需贅述。下面僅以陳曉勇鋼琴小品《日記I》第一首《上發(fā)條的小雞》（Clockwork Chicken）為例，從線域、面域、體域角度尋找作品的自相似性。

作品的核心材料來(lái)源于三個(gè)音，整個(gè)作品是由“g-ba-a-bb”四個(gè)音構(gòu)成的四面立體時(shí)空體域構(gòu)成，四面分別是：bb-a-g、bb-g-ba、b-a-ba、ba-a-g，再由它們閉合成一個(gè)四面體。見下圖：

線域特征面域特征體域特征

圖11陳曉勇《上發(fā)條的小雞》線域一、面域一、體域?qū)⑽皇疽?/p>

通過(guò)樂(lè)譜可見，作品可以分為三個(gè)段落。

A.呈示段

1.面域呈示：由“g-bb-a”三角形構(gòu)成，演奏音色使用兩種方式： ①抑制音（dampened）奏法用左手摁住琴弦，抑制弦振動(dòng)，盡量發(fā)出只有音頭的干音。 ，樂(lè)譜記為實(shí)音黑符頭②余音（正常完全振動(dòng)ordinary）奏法琴鍵觸弦瞬間，左手立刻離開琴弦，讓琴弦充分振動(dòng)，發(fā)出所有諧波泛音。 ，樂(lè)譜記為方塊符頭。原型呈示以后，緊接著逆行呈示。

譜例1陳曉勇《Clockwork Chicken》呈示段核心材料面域呈述

2.體域呈示：由“g-bb-ba-a”四面體構(gòu)成。體域呈示以后又回“g-bb-a”三角形構(gòu)成的面域呈示?？梢?，呈示段本身具有“再現(xiàn)性”。

B.派生中段

如果說(shuō)呈示段是演奏法的一維線性呈述，那么派生中段就是演奏法的二維對(duì)位，即把呈示段的兩種演奏法“化橫為縱”形成“虛實(shí)相映”的對(duì)比復(fù)調(diào)二維呈述。

譜例2陳曉勇《Clockwork Chicken》派生中段演奏法二維對(duì)比

譜例2中上方聲部持續(xù)的a音是一道看不見的風(fēng)景，下方的“bb-g”形成的循環(huán)斷奏由于抑制了琴弦振動(dòng)，只發(fā)出基頻音高，而幾乎沒(méi)有泛音。相反由于a鍵琴弦共振而產(chǎn)生一系列諧波泛音，也就是說(shuō)a弦成為了bb-g的共鳴箱，而bb-g兩弦是發(fā)生器。

可見，譜面的風(fēng)景是“實(shí)比虛好看”，實(shí)際音響畫面卻是“虛比實(shí)精彩”，這從又一個(gè)側(cè)面證明了作曲家喜歡的隱性原則。中段不停地用“a-ba”兩音來(lái)做虛軸共鳴，實(shí)音抑制演奏保持呈示段特點(diǎn)，在另外兩個(gè)（或三個(gè)）音點(diǎn)上輪回，整體始終保持面域（或體域）特征。

C.總結(jié)性綜合變化再現(xiàn)

再現(xiàn)對(duì)映呈示也具有三部性原理。

1.面域再現(xiàn)：由“g-bb-a”三角形構(gòu)成，先回到演奏法（抑制音與余音），一線呈述方式。

2.體域再現(xiàn)：演奏法虛實(shí)二維對(duì)位，虛用加法，增加為四個(gè)音。實(shí)用減法，先用“bb-a”兩音，再逐漸拉長(zhǎng)稀釋停到bb音上，收攏全曲。

上述分析可見：三角形自相似性分析能夠幫助我們從立體時(shí)空角度去把握作品的組織結(jié)構(gòu)，把譜面靜態(tài)場(chǎng)景的音高變成多維時(shí)空，立體地呈現(xiàn)出來(lái)。從而讓我們發(fā)現(xiàn)許多傳統(tǒng)分析無(wú)法觸及的領(lǐng)域。

值得注意的是：自相似性分析所提煉的參數(shù)單位要相對(duì)統(tǒng)一。比如上述各例是從音高角度分析，還可以從音色、力度、時(shí)值、相位、密度……各參數(shù)分析。倘若混合參數(shù)，分析將更加繁雜。

自相似作為對(duì)稱性的一種，是科學(xué)地或者哲學(xué)地把握世界的一種范式、工具。它打破了整體與部分之間的隔膜，找到了部分過(guò)渡到整體的媒介和橋梁——整體與部分之間的相似。是古代哲學(xué)思想在近代自然科學(xué)中的重現(xiàn)：

一性圓通一切性，一法遍含一切法。一月普現(xiàn)一切月，一切水月一月攝。

——玄覺(jué)《永嘉證道歌》玄覺(jué)：《永嘉玄覺(jué)禪師證道歌講析》，成都：四川巴蜀書社2006年版。

這種在一刻鐘把握永恒，“一沙見世界，一花窺天堂”的自相似性是藝術(shù)作品自我組織的根本原則。同時(shí)，我們也要清醒地認(rèn)識(shí)到分形理論不是萬(wàn)能的，它只是一種方法或規(guī)則。在事物整體之中還存在著驚異的混沌。

（責(zé)任編輯：張璟）