不等式的證明方法與技巧

德力根倉(cāng)

（赤峰學(xué)院　數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古　赤峰　024000）

不等式的證明方法與技巧

德力根倉(cāng)

（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

摘要：不等式問(wèn)題是數(shù)學(xué)常見(jiàn)問(wèn)題，而不等式的證明是中學(xué)生在學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，本文論述了不等式證明常用方法和技巧，對(duì)于幫助中學(xué)生克服不等式證明這一難點(diǎn)有重要價(jià)值；同時(shí)對(duì)于提高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平、提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力大有幫助.

關(guān)鍵詞：不等式；方法；技巧

不等關(guān)系是客觀(guān)世界中量與量之間一種重要的關(guān)系，而不等式則是反映這種關(guān)系的基本形式.在數(shù)學(xué)中，不等式是我們?cè)趯W(xué)習(xí)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，其中不等式中的重點(diǎn)主要是證明不等式，解不等式以及不等式的應(yīng)用三類(lèi)問(wèn)題.不等式的概念和性質(zhì)是進(jìn)行不等式的變換、證明和解不等式的根據(jù).不等式的變換包括推出變換和等價(jià)變換兩類(lèi).其實(shí)質(zhì)是條件為結(jié)論的充分條件或必要條件這兩種邏輯關(guān)系.其實(shí)解不等式的技巧就是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，其過(guò)程為一系列的轉(zhuǎn)化過(guò)程，因此要加強(qiáng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，并注意分類(lèi)討論思想的滲透.

證明不等式的方法有比較法、綜合法和分析法、反證法、換元法、分類(lèi)討論法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、累次求極值法、函數(shù)法等.

1　比較法

例已知函數(shù)f（x)=x2+ax+b，當(dāng)p，q滿(mǎn)足p+q=1時(shí).證明pf（x)+qf（y)≥f（px+qy)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都成立的充要條件是0≤p≤1.

因?yàn)?/p>

所以

得證.

2　綜合法與分析法

綜合法與分析法也是很常用的兩種方法，由于兩者只是在思維過(guò)程的順序有所不同，因此在這里我們放在一起來(lái)分析和討論.綜合法即是利用題設(shè)和基本不等式作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所需要證明的不等式的方法；而分析法是從欲證不等式的結(jié)論出發(fā)，通過(guò)分析使這個(gè)不等式成立的條件，只要這些條件在題目中具備，就可以斷定原不等式成立.

例已知a，b，c都是正數(shù)，

本題用分析法證明是比較方便的，因此我們用分析法來(lái)證明.

證明由于a，b，c都是正數(shù)，所以只需證

我們可以發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)了對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)；

因?yàn)?/p>

三式相加得：

又因?yàn)?/p>

三式相加得：

由上述式子可得：

即得證.

3　反證法

反證法即是先提出和定理中的結(jié)論相反的假定，然后從這個(gè)假定中得出和已知條件相矛盾的結(jié)果來(lái)，這樣就否定了原來(lái)的假定而肯定了定理.也叫歸謬法.事實(shí)上，反證法就是去證明一個(gè)命題的逆否命題是正確的，這與直接證明是等價(jià)的，但是可能其逆否命題比較容易證明.上述的過(guò)程得出了矛盾，事實(shí)上就是得出了“假設(shè)與題設(shè)不相融”這個(gè)結(jié)論，所以我們不能接受這個(gè)假設(shè)，所以這個(gè)假設(shè)的反面就是正確的，從而命題得證.有時(shí)候反證法能夠使我們得到意想不到的效果.

例設(shè)p，q都是正數(shù)，且p3+q3=2，證明：p+q≤2

證明假設(shè)

與已知矛盾

所以假設(shè)不成立

原結(jié)論成立.

4　放縮法

放縮法也是證明不等式常用的并且行之有效的一種證明方法，其關(guān)鍵在于尋找中間變量C，通過(guò)C對(duì)A或B的放大或縮小使A＜C＜B成立，C在量A和B之間架起一座橋梁，通過(guò)C的過(guò)渡使A與B間接的建立起不等關(guān)系.

例已知n為正整數(shù)，

將這些同向不等式相乘得：

證畢.

5　構(gòu)造法

構(gòu)造法就是數(shù)學(xué)中通過(guò)數(shù)與數(shù)、數(shù)與形的關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化的方法，其中構(gòu)造幾何圖形證明不等式是一種比較直觀(guān)和簡(jiǎn)便的方法，此方法是利用構(gòu)造圖形的幾何性質(zhì)，通過(guò)圖形比較明顯的性質(zhì)來(lái)直接的證明不等式的方法.

例設(shè)a∈（0，1)，b∈（0，1)，求證：

分析從左邊四個(gè)表達(dá)式特征可以看出，他們表示兩點(diǎn)間的距離，故可以構(gòu)造點(diǎn)A（1，0)，B（1，1)，C（0，1)，D（0，0)，四邊形ABCD為正方形，令P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b)，則：

由三角形性質(zhì)可得：

即

6　累次求極值法

累次求極值法是求多元函數(shù)最值的一種方法，其是先將一些變量固定，對(duì)于較少變量求出最值，然后使另一些變量“活化”，當(dāng)它們變化時(shí)，求第一步求出的那些最值的最值，這樣一步一步地求下去，得到題中所求的最值.

例[8]若x，y，z∈R+，

證暫且固定y，則函數(shù)f（x，y，z)變?yōu)槎瘮?shù)

同理

所以

7　函數(shù)法

函數(shù)法即是先構(gòu)造自己所需要的函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性或值域或者函數(shù)的一些其它性質(zhì)來(lái)證明不等式的一種方法，也是一種轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

例證明2x2+x+3＞0

證首先本題可以用配方法解得.現(xiàn)在用函數(shù)法來(lái)求解.

設(shè)f（x)=2x2+x+3

則f'（x)=4x+1

令f'（x)=0

所以

所以2x2+x+3＞0

得證.

在不等式的學(xué)習(xí)中培養(yǎng)探究思維能力，作為一種觀(guān)念，只要我們長(zhǎng)期堅(jiān)持，積極探討，一定能大大提高我們的學(xué)習(xí)效率和探究思維能力，從而對(duì)所學(xué)知識(shí)窺之深，察之遠(yuǎn).

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參考文獻(xiàn)：

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〔6〕張雄，李得虎．?dāng)?shù)學(xué)方法論與解題研究[M]．北京：高等教育出版社，2004．

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〔8〕徐文兵．不等式的證明方法與技巧[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2004 （23）：35-37．

中圖分類(lèi)號(hào)：O122

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2015）08-0006-03