基于EFEM的5R機(jī)械臂剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析

車仁煒，陸念力，薛淵

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展使機(jī)械系統(tǒng)不斷向高速、輕質(zhì)、復(fù)雜化方向發(fā)展，構(gòu)件在慣性力急劇增大的同時(shí)剛度在不斷降低，從而導(dǎo)致構(gòu)件的彈性變形及其對(duì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)輸出的誤差不斷增加。此外，由于機(jī)械系統(tǒng)柔度加大而帶來(lái)的系統(tǒng)固有頻率的下降和因機(jī)械運(yùn)轉(zhuǎn)速度的提高而造成的激振頻率的上升，可能使機(jī)械系統(tǒng)產(chǎn)生較強(qiáng)的振動(dòng)現(xiàn)象。將構(gòu)件視為剛體的動(dòng)力學(xué)分析方法，由于忽略了構(gòu)件的彈性變形，已不再適應(yīng)現(xiàn)代機(jī)械設(shè)計(jì)分析的要求，但是，對(duì)大型的復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)，系統(tǒng)中構(gòu)件數(shù)目很多，許多構(gòu)件往往剛性很大，而若把整個(gè)系統(tǒng)看做柔性系統(tǒng)做動(dòng)力學(xué)解算時(shí)，又會(huì)導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)方程維數(shù)很大，不易求解［1－3］。因此，對(duì)含有限剛性構(gòu)件的復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析將對(duì)工程實(shí)際具有非常重要的應(yīng)用價(jià)值。

1 等效動(dòng)力學(xué)模型

圖1為港口起重機(jī)臂架系統(tǒng)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖，這是一個(gè)含有5個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的5R機(jī)械臂，其主要包括以下部件:主臂①、搖臂②、拉桿③、變幅驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)④和平衡重移動(dòng)機(jī)構(gòu)⑤等，圖中1～11為節(jié)點(diǎn)編號(hào).變幅原理為:變幅電機(jī)首先帶動(dòng)變幅小齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)，小齒輪再帶動(dòng)螺母齒輪反向轉(zhuǎn)動(dòng)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)絲杠的線性運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致主臂作俯仰運(yùn)動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)起升載荷幅度的改變。

在對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，若只視其為多剛體系統(tǒng)，則建模過(guò)程簡(jiǎn)單，分析方便，但忽略了結(jié)構(gòu)變形對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響;若將其視為多柔體系統(tǒng)，則只考慮到運(yùn)動(dòng)對(duì)變形運(yùn)動(dòng)的影響，沒(méi)有充分考慮到運(yùn)動(dòng)和變形之間的相互耦合作用。本文將基于等效元素集成法(equivalent finite element integrated method，EFEM)，將系統(tǒng)視為含有限剛性構(gòu)件的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)，建立港口起重機(jī)5R機(jī)械臂的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型，對(duì)構(gòu)件(單元)自身的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行等效，組建成等效系統(tǒng)，將建模的關(guān)鍵歸結(jié)為系統(tǒng)中二階轉(zhuǎn)換張量和相應(yīng)的三階轉(zhuǎn)換張量的求解以及系統(tǒng)質(zhì)量陣的組裝，按多柔體動(dòng)力學(xué)的方式建立方程。與傳統(tǒng)方法比較，模型建立簡(jiǎn)單快捷，規(guī)范化、程式化，由于轉(zhuǎn)換陣的引入，方程維數(shù)大大減少，極其適合現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)的發(fā)展［4－5］。

圖1 機(jī)械臂機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Movement diagram of 5R manipulator

與結(jié)構(gòu)靜力計(jì)算和振動(dòng)分析相比，機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中運(yùn)用有限元方法并不多見(jiàn)［8－10］。究其原因，很大程度是因?yàn)闄C(jī)構(gòu)分析中的剛性單元與結(jié)構(gòu)分析中的彈性單元有很大區(qū)別，系統(tǒng)組建規(guī)則無(wú)法直接運(yùn)用。其主要問(wèn)題在于:1)單元是通過(guò)單元結(jié)點(diǎn)自由度與其他單元發(fā)生聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)和力的傳遞，從而組裝成系統(tǒng)。因此，彈性單元的自由度多位于單元結(jié)點(diǎn)上，且與結(jié)點(diǎn)自由度(獨(dú)立坐標(biāo))數(shù)相同。剛性單元?jiǎng)t不然，自由狀態(tài)下，剛性單元的獨(dú)立自由度(活動(dòng)度)數(shù)是確定的，平面單元活動(dòng)度為3，空間單元活動(dòng)度為6，且結(jié)點(diǎn)上的可能位移數(shù)目也不盡相同。剛性單元的結(jié)點(diǎn)自由度不一定與其獨(dú)立坐標(biāo)相同，可能會(huì)產(chǎn)生結(jié)點(diǎn)自由度(可能位移)不能相互獨(dú)立無(wú)關(guān)的情況。2)剛性單元中彈性剛度陣已不存在，其質(zhì)量陣也不能采用彈性單元的形式，必須重新構(gòu)造。3)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)自由度與單元自由度的約束與耦合關(guān)系更為復(fù)雜，使系統(tǒng)方程的組裝難度增大，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的表達(dá)趨于復(fù)雜［11－12］。

在復(fù)雜機(jī)構(gòu)中，無(wú)論各構(gòu)件的質(zhì)量如何分布，都可以用等效元素集成法將其等效為集中質(zhì)量分布的等效單元［4－7］，為使等效集中質(zhì)量單元與原質(zhì)量單元在靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)方面等效，應(yīng)保證等效之后單元的慣性矩陣與原單元的慣性矩陣完全相同。關(guān)于等效單元、等效系統(tǒng)的概念以及等效原則和單元?jiǎng)恿W(xué)方程的推導(dǎo)已在文獻(xiàn)［4－5］中給出。

1.1 從彈性單元到剛性單元

如前所述，任何分布質(zhì)量的剛性構(gòu)件，均可按等效原則變?yōu)榧匈|(zhì)量的等效單元，從而使單元質(zhì)量陣列寫得極為簡(jiǎn)單，例如平面梁桿單元向兩端等效的平面桿單元質(zhì)量陣可表為

但是必須指出，這只是具有兩結(jié)點(diǎn)、6自由度的平面彈性梁桿的質(zhì)量陣，它并不能應(yīng)用于剛性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模，它只是借用了彈性單元的表達(dá)形式。實(shí)質(zhì)上，在剛性單元中，這些結(jié)點(diǎn)自由度并非相互獨(dú)立。只有在加入剛性約束條件后，等效單元才具有真正意義上的等效［5］。

當(dāng)引入系統(tǒng)各單元的剛性約束條件建立過(guò)渡坐標(biāo)時(shí)，由過(guò)渡坐標(biāo)ui與廣義坐標(biāo)qa間的關(guān)系，可確定二階轉(zhuǎn)換矩陣及三階轉(zhuǎn)換矩陣:

確定廣義坐標(biāo)后，廣義坐標(biāo)qa和系統(tǒng)各可能位移ui之間的關(guān)系可以很方便地寫出，因此，二階及三階轉(zhuǎn)換張量的求解過(guò)程也很簡(jiǎn)單快捷，避免了用傳統(tǒng)方法的繁雜求導(dǎo)以及考慮哥氏加速度等運(yùn)算。無(wú)論對(duì)單自由度還是多自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)構(gòu)件數(shù)越多越復(fù)雜，越能顯示其優(yōu)越性。

1.2 剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的集成

對(duì)于剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)，在建立動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，難點(diǎn)往往在于運(yùn)動(dòng)方程的列寫和組裝;而由于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的復(fù)雜，方程的個(gè)數(shù)很多，又給求解帶來(lái)極大的不便，因此，簡(jiǎn)單和程式化建模以及方便快捷地求解一直是學(xué)者們追尋的目標(biāo)［13－16］。

描述剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)方程仍可表示為

但方程的組裝卻和多柔體系統(tǒng)不同，因?yàn)榉匠痰牧袑懸紤]剛?cè)狁詈献饔谩?/p>

1.2.1 系統(tǒng)質(zhì)量陣M的集成

設(shè)系統(tǒng)可能位移總數(shù)為N，則系統(tǒng)總質(zhì)量陣為N×N階方陣。

設(shè)Hi(i=1，2，...，n)為系統(tǒng)中表示剛性單元各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和系統(tǒng)可能位移之間關(guān)系的關(guān)聯(lián)矩陣，對(duì)柔性單元，Hi=0;設(shè)Hj(j=1，2，...，n)為系統(tǒng)中表示柔性單元各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和系統(tǒng)可能位移之間關(guān)系的關(guān)聯(lián)矩陣，對(duì)剛性單元，Hj=0;由于組建質(zhì)量陣時(shí)，在剛?cè)狁詈享?xiàng)，分別引入了Hi=0和Hj=0，所以，用有限元法進(jìn)行組裝時(shí)，與傳統(tǒng)方法比較，階數(shù)大大降低，縮減了求解規(guī)模，提高了解題效率。

設(shè)m1為剛性單元質(zhì)量陣，m2為柔性單元質(zhì)量陣，用有限元方法可以組裝成系統(tǒng)質(zhì)量陣為

1.2.2 系統(tǒng)剛度陣和阻尼陣的組裝

對(duì)于剛性單元，單元?jiǎng)偠汝嚍閗r=0，單元阻尼陣為C=0;由C生成耦合陣De。

組裝成系統(tǒng)剛度陣和系統(tǒng)阻尼陣時(shí)，矩陣中剛性單元相應(yīng)位置為0，柔性單元相應(yīng)位置按有限元方式組裝。

1.2.3 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程數(shù)量的縮減

如前所述，剛性單元的結(jié)點(diǎn)自由度不一定與其獨(dú)立坐標(biāo)相同，當(dāng)引入系統(tǒng)各單元的剛性約束條件建立過(guò)渡坐標(biāo)時(shí)，可確定二階及三階轉(zhuǎn)換矩陣Tia及Tibc，對(duì)柔性單元，Tia中相應(yīng)位置元素為1，將Tia和Tibc代入到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程中，由于柔性單元在相應(yīng)位置二階轉(zhuǎn)換張量元素為1，用有限元方法組建方程時(shí)，方程的數(shù)量就會(huì)大大縮減，所以提高了解題效率。

2 5R機(jī)械臂剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型

如圖1所示的5R機(jī)械臂，其機(jī)構(gòu)參數(shù)為:變幅絲杠長(zhǎng)度7.50 m，絲杠質(zhì)量1 135 kg，絲杠螺距0.054 m，螺母齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量17 kg·m2，驅(qū)動(dòng)馬達(dá)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量4 kg·m2，變幅機(jī)構(gòu)質(zhì)量3 200 kg，絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 3 405 kg·m2，螺母齒輪半徑0.442 m，驅(qū)動(dòng)小齒輪半徑0.051 m求馬達(dá)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

由于圖1所示模型中構(gòu)件數(shù)目較多，將導(dǎo)致多柔體動(dòng)力學(xué)分析總體求解方程規(guī)模較大，可取做大范圍運(yùn)動(dòng)的相對(duì)剛度大變形小的單元為剛性單元，在此對(duì)其平衡重移動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行等效，以減小求解規(guī)模。假設(shè)連桿為剛體，在等效時(shí)，電機(jī)絲杠系統(tǒng)的動(dòng)力等效為驅(qū)動(dòng)力矩Mn施加于主臂上。

建立了如圖2所示的等效動(dòng)力學(xué)模型，14個(gè)系統(tǒng)可能位移ui的選取如圖中編號(hào)1～14所示，將系統(tǒng)劃分為5個(gè)單元，?、轂閯傂詥卧?，①、②、③、④為柔性單元。

圖2 動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Dynamics model

單元節(jié)點(diǎn)號(hào)與系統(tǒng)可能位移之間的關(guān)聯(lián)Nm如下

由Nm可分別寫出Hi和Hj，然后按式(5)進(jìn)行組裝，可得系統(tǒng)質(zhì)量陣為

圖3～5分別為馬達(dá)驅(qū)動(dòng)力矩、轉(zhuǎn)速和加速度變化結(jié)果。3～5可見(jiàn)，啟動(dòng)6 s后，驅(qū)動(dòng)力矩趨于平穩(wěn)，馬達(dá)速度變化越來(lái)越小，加速度趨于0，而剛?cè)狁詈辖廨^之剛性解更真實(shí)地反映了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特性。

圖3 馬達(dá)驅(qū)動(dòng)力矩Fig.3 The motor driving torque curve

圖4 馬達(dá)轉(zhuǎn)速Fig.4 Motor speed curve

圖5 馬達(dá)加速度Fig.5 Motor acceleration curve

3 結(jié)論

1)基于等效元素集成法建立了復(fù)雜機(jī)構(gòu)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型，與傳統(tǒng)方法比較，模型建立簡(jiǎn)單快捷，規(guī)范化、程式化，極其適合現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，為工程技術(shù)人員提供了一種動(dòng)力學(xué)分析的手段。

2)用此方法對(duì)復(fù)雜機(jī)構(gòu)建模，對(duì)剛性單元，由于采用了等效元素集成法，考慮節(jié)點(diǎn)約束，方程的維數(shù)減少;而對(duì)剛?cè)狁詈蠁卧?，由于特殊關(guān)聯(lián)陣的引入，使系統(tǒng)質(zhì)量陣階數(shù)減低，降低了求解規(guī)模。

3)對(duì)5R機(jī)械臂進(jìn)行了剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析，給出了動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，可為機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)優(yōu)化和控制提供理論依據(jù)。

4)此方法也可作為傳統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析方法的一種補(bǔ)充。

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