山地底部不等高柱框架結(jié)構(gòu)側(cè)向剛度計(jì)算方法

王麗萍，李英民，韓軍

(1.重慶科技學(xué)院建筑工程學(xué)院，重慶401331;2.重慶大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶400045)

隨著城市建設(shè)用地的日益減少，人們環(huán)保意識及與自然環(huán)境相融合的人居環(huán)境要求的提高，國內(nèi)外一些城市逐漸開始興建與山地地形及自然環(huán)境相適應(yīng)的山地房屋。歷次震害及研究表明［1-12］，底部不等高柱架空的山地建筑結(jié)構(gòu)，在強(qiáng)震作用下易于發(fā)生不期望的破壞模式，如柱端過早的剪切破壞。這是由于實(shí)際工程中山地結(jié)構(gòu)底層常常被設(shè)計(jì)為柱截面相同而柱高不等的結(jié)構(gòu)形式，以致無法避免出現(xiàn)底層柱剛度和強(qiáng)度難以合理匹配的問題。強(qiáng)震中當(dāng)?shù)讓佣讨艘寻l(fā)生剪切破壞時，其他相對較高柱由于分擔(dān)的剪力較少還未達(dá)到或接近屈服，結(jié)構(gòu)整體已經(jīng)傾斜從而引發(fā)倒塌。因此，推遲短柱發(fā)生破壞的時間，在彈性階段控制盡管計(jì)算機(jī)可以完成結(jié)構(gòu)的精確計(jì)算，但簡化手算方法是結(jié)構(gòu)工程師永遠(yuǎn)不能缺少的必備知識，也是分析結(jié)構(gòu)受力機(jī)理和判斷機(jī)算結(jié)果合理性的重要途徑。D值法是目前計(jì)算多、高層框架在水平荷載作用下的內(nèi)力應(yīng)用最廣泛的一種近似計(jì)算方法。此方法是基于假設(shè)同層柱高相同且柱端節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角相同的條件下推導(dǎo)而得，如果當(dāng)柱高不同，即使層側(cè)移相同，柱端節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角(θ)及柱底旋轉(zhuǎn)角(φ=Δ/h)也會不同。那么，當(dāng)D值法運(yùn)用于底層不等高柱山地框架結(jié)構(gòu)時，其適用性和準(zhǔn)確性有待進(jìn)一步考證。目前相關(guān)研究較少，文獻(xiàn)［13］只是針對這一問題進(jìn)行探討，并未給出合理的解決方法。本文將基于矩陣位移法典型方程進(jìn)行力學(xué)推導(dǎo)，通過在剛度修正系數(shù)(α)中考慮柱端節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角和不等高柱旋轉(zhuǎn)角差異的影響，研究適用于底部不等高柱山地框架結(jié)構(gòu)的側(cè)向剛度計(jì)算方法，以便掌握其內(nèi)力分布規(guī)律［15-18］。

1 Muto＇s D值法驗(yàn)證

1922年Tachu Naito首先提出了D值法，此方法是基于假設(shè)同層柱高相同且柱端節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角相同的條件下推導(dǎo)而得，由于僅考慮了柱截面對剛度的影響，從而導(dǎo)致計(jì)算誤差較大。于是1955年Muto通過考慮梁柱線剛度比的影響修正了D值法，對于同層柱高相等情況此修正方法計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確。對于同層柱高不等時，Muto通過柱高比的平方再次修正剛度系數(shù)［14］:

式中:h為相鄰的相對較高柱子高度，h'為相鄰的相對較短柱子高度，α為考慮梁柱線剛度比的剛度修正系數(shù)。

為考察Muto＇s D值法的準(zhǔn)確程度，本文分別采用Muto＇s D值法與有限元方法對相同結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算結(jié)果對比。算例基本設(shè)計(jì)信息:單跨單層不等高框架結(jié)構(gòu)，跨度6 m，梁截面均為250 mm× 550 mm，柱截面均為550 mm×550 mm，設(shè)底層柱高比為η=h1/h2(h1和h2分別表示相鄰柱高)，取η=1～3，左側(cè)頂點(diǎn)加水平集中力為1 000 kN。采用通用有限元軟件Sap2000建模計(jì)算，其剪力和剛度計(jì)算結(jié)果可看成是精確解。定義δk為剛度相對誤差，δv為剪力相對誤差:

式中:KD和VD分別為采用Muto’s D值法計(jì)算的柱剛度和剪力，Ksap和Vsap為分別采用SAP2000計(jì)算的柱剛度和剪力。

表1 Muto’s D值法計(jì)算誤差對比Table 1 The comparison of calculation error by Muto’s D method

從表1中可以看出，對于底層等高的普通框架結(jié)構(gòu)采用Muto’s D值法計(jì)算的柱剛度比實(shí)際柱剛度偏小，但是通過Muto’s D值法求得剪力相對誤差很小，這是因?yàn)橥ㄟ^Muto’s D值法計(jì)算柱剛度再計(jì)算剪力分配系數(shù)，在剪力分配系數(shù)中弱化了剛度誤差帶來的影響，從而使得通過Muto’s D值法計(jì)算剪力值誤差較小。但是，當(dāng)柱高比值η在不斷增加時，無論剛度相對誤差還是剪力相對誤差都在逐漸增大，剛度最大誤差達(dá)到670.2%，剪力最大誤差達(dá)到92.7%。因此，對于底層不等高框架結(jié)構(gòu)在計(jì)算柱剛度和剪力時Muto’s D值法已經(jīng)不能滿足精度要求，為避免誤差過大和增強(qiáng)D值法在底層不等高柱框架中的適用性需要對D值進(jìn)行修正。

2 底部不等高柱框架結(jié)構(gòu)側(cè)向剛度計(jì)算方法

2.1 單跨不等高柱側(cè)向剛度計(jì)算方法推導(dǎo)

建立單層單跨不等高框架模型如圖1所示?；炯僭O(shè)及其說明如下:1)材料服從胡克定律，即材料的線彈性假設(shè);2)構(gòu)件在外力作用下所產(chǎn)生的變形與構(gòu)件尺寸相比都很小，即小變形假設(shè);3)構(gòu)件以彎曲變形為主，不考慮構(gòu)件的軸向變形和剪切變形;4)每根構(gòu)件均為等截面直桿，其截面屬性在構(gòu)件長度方向不發(fā)生改變。

圖1 單跨不等高柱框架模型Fig.1 The single-span model with uneven ground column heights

假設(shè)1和假設(shè)2保證結(jié)構(gòu)分析中的疊加原理成立;假設(shè)3和假設(shè)4確定了構(gòu)件的變形能力并減少了結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法計(jì)算的獨(dú)立自由度數(shù)。通過以上的4條基本假設(shè)，如圖1所示單層單跨結(jié)構(gòu)獨(dú)立自由度數(shù)3個，分別為AC柱端節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角Z1、BD柱端節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角Z2和AB梁端側(cè)向位移Z3，iAB、iAC、iBD分布表示梁 AB和柱 AC、BD的線剛度。在A點(diǎn)施加水平側(cè)向力F，可建立位移法典型方程:

式中:kij表示附加約束j單獨(dú)發(fā)生單位位移Zj=1時在附加約束i處產(chǎn)生的約束反力。根據(jù)反力互等定理，k12=k21，k13=k31，k23=k32，將方程(4)改寫為矩陣形式:

化簡為

最終，位移表達(dá)式為

根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法可得

代入式(7)后可得

若定義

對于單層單跨不等高結(jié)構(gòu)，最終長柱剛度Dl和短柱剛度Ds可表示為

式中:ib表示梁的線剛度，icl表示相對較長柱的線剛度，ics表示相對較短柱的線剛度，hcl表示相對較高柱的計(jì)算高度，hcs表示相對較短住的計(jì)算高度，Dl表示相對較長柱剛度，Ds表示相對較短柱剛度。系數(shù)ξ表示柱端節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角與柱底旋轉(zhuǎn)角的比例系數(shù)，反映了柱端節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角占柱旋轉(zhuǎn)角比例的大小;系數(shù)β表示柱旋轉(zhuǎn)能力系數(shù)，主要受相鄰梁柱線剛度比和自身與相鄰柱高度比影響，柱高度比越大β越小。系數(shù)α表示節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動和柱子旋轉(zhuǎn)能力影響系數(shù)，當(dāng)達(dá)到相同的層側(cè)移，柱越高柱旋轉(zhuǎn)角越小(φ=Δ/h)對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動相應(yīng)減小，α則變大。也就是高柱的旋轉(zhuǎn)能力和節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動能力比短柱的小，所以長柱的αl比短柱的αs大，之所以長柱剛度比短柱小是因?yàn)榻孛鎰偠仍贒值中起主導(dǎo)作用。

2.2 單跨不等高柱側(cè)向剛度計(jì)算方法驗(yàn)證

為驗(yàn)證單跨不等高柱側(cè)向剛度計(jì)算方法的準(zhǔn)確性及合理性，分別對第1節(jié)中的算例采用本文方法計(jì)算側(cè)向剛度及剪力。從表2計(jì)算結(jié)果對比中可以看出，雖然高度比在變化，本文方法計(jì)算剛度誤差變化很小，誤差基本在8%以內(nèi);剪力誤差隨著高度比變化更小，誤差基本在1%以內(nèi)。對比表1和表2可以看出，采用本文方法相比Muto’s D值法計(jì)算結(jié)果更加接近精確解。從而說明本文提出的單跨不等高柱側(cè)向剛度計(jì)算精度較高，計(jì)算結(jié)果較準(zhǔn)確。

表2 計(jì)算誤差對比Table 2 The comparison of calculation error

2.3 多跨不等高柱側(cè)向剛度推導(dǎo)

多跨不等高框架可近似看成是多個單跨不等高框架并聯(lián)而成，如圖2所示，從分離體中可以看出仍然可按以上單跨不等高框架的推導(dǎo)，那么多跨不等高柱的剛度計(jì)算公式如下

式中:ib表示梁的線剛度，icj表示計(jì)算柱的線剛度，icj+1表示相鄰較短柱線剛度，hcj表示計(jì)算柱高度，hcj+1表示相鄰較短柱計(jì)算高度，Dj表示計(jì)算柱剛度，ξj表示柱端節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角與柱底旋轉(zhuǎn)角的比例系數(shù)，βj表示柱旋轉(zhuǎn)能力系數(shù)，αj表示柱端節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動和柱子旋轉(zhuǎn)影響系數(shù)，其中最長柱子相對剛度較弱對于最長柱子α1需要再乘以0.85的修正系數(shù)。最終得到多跨不等高柱框架剛度計(jì)算公式，如表3。

圖2 多跨不等高柱框架模型Fig.2 The multi-span model with uneven ground column heights

表3 剛度影響系數(shù)對比Table 3 The comparison of stiffness effect factor

2.4 多跨不等高柱側(cè)向剛度計(jì)算方法驗(yàn)證

建立底層柱高比為4∶3∶2∶1和9∶6∶3∶1，從長到短柱依次編號為A、B、C、D，柱高比的變化就相當(dāng)于山地的坡度變化。設(shè)計(jì)基本信息:跨度6 m，梁截面均為 250 mm×550 mm，柱截面均為550 mm×550 mm，左側(cè)頂點(diǎn)加水平集中力為1 000 kN。

從圖3中可以看出，隨坡高比的增加，采用本文方法計(jì)算剛度誤差在6%以內(nèi)，剪力誤差基本也在7%以內(nèi)，只有個別達(dá)到12.5%，但是其剪力相差僅有0.3 kN，本文方法與精確解吻合的較好。而Muto’s D值法計(jì)算結(jié)果誤差較大，尤其剛度計(jì)算結(jié)果明顯已失真。

從表3中看出D值法計(jì)算的αj值明顯小于本文修正后的αj值，這也反映出Muto’s D值法對柱端節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角及柱底旋轉(zhuǎn)角考慮不足。

圖3 剛度和剪力對比圖Fig.3 The comparison of stiffness and shear forces

2.5 底部不等高柱框架結(jié)構(gòu)側(cè)向剛度計(jì)算方法

對于多層多跨底部不等高柱框架結(jié)構(gòu)中間層如圖4(a)柱剛度D可按下式計(jì)算:

其中

對于其底層如圖4(b)柱剛度Dj可按下式計(jì)算:

其中

圖4 不同層Fig.4 Different floors

3 結(jié)論

本文通過力學(xué)推導(dǎo)，得到山地底部不等高柱框架結(jié)構(gòu)的剛度計(jì)算方法，并得到以下結(jié)論:

1)采用已有的Muto＇s D值法計(jì)算底部不等高柱剛度和剪力時，發(fā)現(xiàn)隨著底層柱高度比的增加，無論剛度相對誤差還是剪力相對誤差都會逐漸增大。因此，Muto＇s D值法對計(jì)算底層不等高柱山地結(jié)構(gòu)的內(nèi)力已不適用。

2)通過力學(xué)推導(dǎo)，最終實(shí)現(xiàn)了在剛度修正系數(shù)中考慮柱端節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角和柱底旋轉(zhuǎn)角差異的影響，提出了單跨不等高框架側(cè)向剛度計(jì)算方法，并驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。

3)基于假設(shè)多跨不等高框架由多個單跨不等高框架并聯(lián)而成，從而在單跨不等高柱框架側(cè)向剛度計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，得到多跨不等高柱框架剛度計(jì)算公式，通過驗(yàn)證本文修正方法和精確解吻合較好。

4)對于多層多跨底層不等高框架結(jié)構(gòu)，底層柱剛度可按本文方法計(jì)算，其余層可按普通框架結(jié)構(gòu)D值法進(jìn)行計(jì)算。本文研究完善了山地框架結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算方法，為進(jìn)一步控制山地建筑結(jié)構(gòu)破壞模式的合理形成奠定理論基礎(chǔ)。

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