任意邊界條件三維彈性矩形厚板結構振動分析

張羽飛，杜敬濤，楊鐵軍，朱明剛，劉志剛

(哈爾濱工程大學動力與能源工程學院，黑龍江哈爾濱150001)

在工程實際中，研究矩形板結構的振動問題具有重要意義，國內外眾多學者開展了研究工作。在現(xiàn)有研究中，大多數(shù)分析方法都是基于經典板理論或相關近似算法，如經典板理論、一階剪切變形板理論以及高階剪切變形板理論。

近幾十年來，忽略剪切變形的經典薄板理論廣泛用于板結構振動分析，Leissa等［1-2］基于該理論在研究任意邊界條件薄板振動特性領域做出了卓越貢獻。然而，隨著板厚度增加，經典板理論由于忽略剪切變形將會導致計算頻率高于振動系統(tǒng)的真實頻率。1951年，Mindlin等首先提出采用三維彈性理論分析板振動問題［3-4］，他在經典理論基礎上引入修正系數(shù)κ近似剪切變形。但是這種假設與板結構厚度方向剪切應力的實際分布存在差異，計算結果不包括系統(tǒng)在厚度方向的對稱模態(tài)，分析厚板振動特性效果較差。

基于三維彈性理論厚板結構振動分析日益為人們所關注。雖然有限元法能夠對此類問題求解，然而由于隨著分析頻率升高需要網格加密，以及幾何參數(shù)改變時需要重新建模等不足，不能很好滿足人們對三維厚板振動問題的分析與優(yōu)化。文獻［5-12］應用微分求積法分析了經典邊界條件板結構三維振動特性。Leissa等［13-14］使用里茲法求解了矩形厚板模態(tài)特性。楊正光等［15］采用狀態(tài)方程法獲得了簡支邊界功能梯度三維矩形板自由振動精確解。楊亞政等［16］給出了四邊簡支各向同性層合板自由與強迫振動表達式?，F(xiàn)有研究多是針對對稱經典邊界，選取適當?shù)幕瘮?shù)以滿足邊界條件，并不能靈活地適應邊界條件的改變及約束剛度變化。

近來，文獻［17-18］采用二維改進傅里葉級數(shù)法對彈性邊界約束下矩形薄板結構的面內振動與彎曲振動問題進行了分析。本文將二維改進傅里葉級數(shù)法擴展為三維，對矩形厚板結構沿3個坐標軸方向的位移場進行建模，并應用瑞利－里茲法求解未知傅里葉系數(shù)，分析了三維彈性矩形厚板的自由及強迫振動特性。通過與現(xiàn)有文獻中的結果以及NASTRAN軟件計算結果進行對比，驗證了本方法的有效性和正確性，并且不受邊界條件的限制。

1 三維彈性矩形厚板建模

1.1 問題描述

如圖1所示，矩形厚板長度為a，寬度為b，厚度為c(在三維彈性理論框架下，當厚度很大時，可以代表更為一般的三維彈性體)。根據三維彈性理論應力狀態(tài)，在邊界表面任一點處存在正應力和另外2個方向的切應力，為此相應引入3個方向的線性彈簧，以實現(xiàn)邊界約束的平衡/協(xié)調條件，通過調節(jié)彈簧的剛度值可以實現(xiàn)任意經典邊界條件及其組合。其中，約束邊界表面上的任意點位置均存在沿3個坐標軸方向分布的3種類型約束彈簧。例如，k1y1和k3y1表示分布在y=b邊界上的切向約束彈簧，k2y1表示法向約束彈簧。

圖1 三維彈性矩形厚板模型及坐標系統(tǒng)Fig.1 Three-dimensional elastic thick plate and the coordinate system

在矩形板三維振動分析中，邊界約束通常施加在x=0，a和y=0，b這4個側面位置，其余2個面處于自由狀態(tài)。以y=b邊界表面為例，各種經典邊界條件表示如下:

1.2 三維位移場的改進傅里葉級數(shù)描述

最近，文獻［19］以封閉艙室空間噪聲預報為背景，成功地提出任意阻抗壁面條件下矩形封閉空間聲學特性分析的三維改進傅里葉級數(shù)法，本文將該方法進一步拓展應用至矩形厚板結構的三維振動分析問題，即矩形厚板結構中沿3個不同坐標軸方向的振動位移場函數(shù)可以表示為

式中:λamx=mxπ/a，λbmy=myπ/b，λcmz=mzπ/c。這里引入6個補充函數(shù)是為了克服三維厚板結構的位移函數(shù)在6個邊界表面可能存在的求導不連續(xù)，這樣，位移函數(shù)就可以滿足任意的邊界條件，并且將顯著改善解的收斂性。

1.3 三維板結構振動問題求解

本文將采用基于能量原理的瑞利－里茲方法對未知系數(shù)進行求解。三維矩形厚板系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)可以寫為

式中:V表示系統(tǒng)總勢能，T表示系統(tǒng)總動能，Wext表示外部激勵對板結構所做的功。

根據三維彈性力學理論，總勢能可以表示為

式中:G為剪切剛度，μ為泊松比。在任意邊界條件下分析厚板結構的振動特性僅需改變上式中的邊界約束彈簧剛度系數(shù)即可。

厚板結構的總動能為

式中:ρ為板結構的密度，ω表示振動角頻率。

在板結構上施加一個集中力F，則外部激勵對板結構所做的功可以表示為

式中:Fx、Fy及Fz分別表示力向量沿x、y及z軸方向的分量，(xe，ye，ze)表示其作用位置。

將位移函數(shù)(4)代入系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)(5)中，通過瑞利－里茲法即可得到關于傅里葉級數(shù)的未知系數(shù)的21個線性方程。厚板結構系統(tǒng)振動微分方程可以進一步寫成矩陣的形式:

通過求解系統(tǒng)方程(9)，即可獲得板結構位移響應函數(shù)中的所有未知系數(shù)，進一步將方程等號右邊的力向量設置為零，通過求解標準矩陣特征值問題，還可以求得三維矩形厚板結構的模態(tài)參數(shù)。將各階特征向量代入式(4)的位移函數(shù)中，便可得到各個固有頻率下的模態(tài)振型分布。

2 計算結果及分析

本節(jié)將會給出一些具體的數(shù)值算例，首先對本方法的有效性進行驗證，接著再對矩形厚板結構的三維振動進行進一步的分析。在所有算例中，矩形厚板在x軸方向的長、寬、高分別為a、b、c，材料參數(shù)分別為:楊氏模量 E=7×1010N/m2;密度 ρ= 2 700 kg/m3以及泊松比μ=0.3。頻率參數(shù)采用文獻中通常使用的γ，其定義為

式中:D=Ec3/[12( 1－μ2)]表示板結構的抗彎剛度。

2.1 全自由邊界下矩形厚板自由振動

首先考慮完全自由的邊界條件，即所有邊界約束彈簧的剛度值設置為零的情況。在實際計算中，3個方向上的位移僅包括前(Mx+1)×(My+1)×(Mz+ 1)項，一般來講，如果模型的三邊相對幾何尺寸增大，某一方向上的傅里葉級數(shù)截斷數(shù)也要隨之增加，以保證解的快速收斂性。表1中的數(shù)值計算結果為滿足2種不同厚寬比的FFFF方形板的頻率參數(shù)，截斷數(shù)設置為Mx=My=10，Mz=5。通過對比可見，現(xiàn)有理論計算結果與文獻中數(shù)據及有限元計算結果吻合良好，而與經典板理論計算結果相差較大;當厚度進一步增加至一般彈性體情況時，可以發(fā)現(xiàn)本文方法依然有效，而經典板理論已不能給出此種情況的正確模態(tài)參數(shù)。

表1 不同厚寬比下FFFF方形板頻率參數(shù)Table 1 Frequency parameters for square FFFF plate of different aspect ratios

2.2 鉗支邊界下板自由振動的收斂性

為了檢驗本方法的收斂性，任意厚寬比下的CCCC方形板模態(tài)特性參數(shù)列于表2。通過設置所有邊界約束彈簧的剛度值為無窮大(實際計算中采用1015)，即可模擬鉗支邊界。通過與文獻［14］及NASTRAN計算的結果對比可見，對于任意厚度的CCCC方形板，本方法結果收斂迅速。為了獲得較為精確的結果，傅里葉級數(shù)的截斷數(shù)應隨著板結構厚度方向的幾何尺寸一同改變。表中還給出了經典板理論計算結果，通過對比可見，不考慮板結構厚度方向分布的剪切應力會導致計算結果偏大。

表2 任意厚寬比下CCCC方形板頻率參數(shù)Table 2 Frequency parameters for square CCCC plate of different aspect ratios

2.3 簡支邊界下矩形厚板自由振動

另一種經典邊界即為簡支邊界，表3給出了任意厚寬比下SSSS方形板的頻率參數(shù)。該結果與文獻［20］結果和NASTRAN計算結果能夠很好的吻合，最大偏差不超過1.4%。

表3 任意厚寬比下SSSS方形板頻率參數(shù)Table 3 Frequency parameters for square SSSS plate of different aspect ratios

2.4 經典組合邊界下矩形厚板振動分析

在現(xiàn)有的文獻中，矩形厚板的三維振動分析主要針對于對稱邊界條件，并且計算過程中，當厚板結構的邊界條件發(fā)生改變時，需要修改位移函數(shù)或理論方程，對問題進行重新推導與求解。本文在矩形板結構的各個邊界表面均引入3種約束彈簧，可以簡單方便地描述任意類型邊界條件，當結構邊界條件發(fā)生改變時，無需對問題重新推導。接下來給出了厚板結構在非對稱邊界條件FSSS下的振動特性，見表4。

由表4中的數(shù)據可以看出，采用改進傅里葉級數(shù)法計算的結果與NASTRAN計算結果吻合良好，證明該方法的有效性和正確性。如理論部分所述，在求解結構模態(tài)過程中，將系統(tǒng)控制方程特征向量代入至位移函數(shù)中，便可得到各個固有頻率下的模態(tài)振型分布，圖3給出厚寬比c/b=0.3時，F(xiàn)SSS方形板的前6階模態(tài)振型。

表4 任意厚寬比下FSSS方形板頻率參數(shù)Table 4 Frequency parameters for square FSSS plate of different aspect ratios

圖3 厚寬比c/b=0.3的FSSS方形板前6階振型Fig.3 The first six mode shapes of FSSS square plates with the aspect ratio c/b=0.3

2.5 彈性約束邊界下矩形厚板振動分析

為了更全面地分析矩形厚板結構的三維振動，在下面的算例中，進一步考慮彈性約束邊界條件。假設在板結構的4個邊界表面上，存在法向約束為零，切向約束為彈性約束，這種彈性約束邊界條件表示為SSSS(k)。表5給出了當約束彈簧剛度系數(shù)k=1011N/m時，任意厚寬比下SSSS(k)方形板結構的頻率參數(shù)。表中本方法計算結果與有限元法計算結果吻合良好，這表明，針對彈性約束邊界條件來說，本方法是準確有效的，并且具有計算時間短，收斂速度快等優(yōu)勢。

表5 任意厚寬比下SSSS(k)方形板頻率參數(shù)Table 5 Frequency parameters for square SSSS(k)plate of different aspect ratios

圖4給出了厚寬比c/b=0.2的SSSS(k)方形板結構在外力激勵下強迫振動加速度響應。其中，F(xiàn)的大小為1 N，沿x軸方向作用于(3a/10，3b/10，0)處。為了避免模態(tài)共振處發(fā)生數(shù)值不穩(wěn)定的問題，在仿真計算中通過復楊氏模量引入結構阻尼η= 0.01，即ê=E(1+jη)。通過對比可見，本文方法與有限元法曲線基本吻合，差異主要集中在共振峰處，并且隨著頻率升高，差距加大，原因是為了縮短計算時間，在使用有限元軟件時，不能將網格劃分過細，影響了計算精度。

圖4 厚寬比c/b=0.2的SSSS(k)方形板(9a/10，9b/ 10，c)處振動加速度響應Fig.4 Vibrational acceleration response at point(9a/ 10，9b/10，c)of SSSS(k)square plates with the aspect ratio c/b=0.2

3 結論

將一種三維改進傅里葉級數(shù)法拓展應用于任意邊界條件下矩形厚板的振動特性分析，基于三維彈性理論并結合瑞利－里茲法求解了任意邊界條件下矩形厚板的自由與強迫振動問題，獲得了可靠而有效的計算結果，并得到如下結論:

1)基于三維彈性理論應力狀態(tài)，為滿足彈性邊界約束的平衡/協(xié)調條件，引入3種類型的線性彈簧，相應改變邊界彈簧剛度系數(shù)即可實現(xiàn)各種邊界條件的任意切換。

2)所構建的改進傅里葉級數(shù)位移形式具有良好的收斂特性與預報精度，當厚度進一步增加至一般彈性體時，通過相應增加此方向上的截斷項數(shù)能夠實現(xiàn)本文方法對三維彈性體的振動特性預報。

3)給出了三維矩形厚板在非對稱邊界條件下的模態(tài)數(shù)據，本文方法成功避免了當邊界條件改變時其它方法所需要對位移函數(shù)和理論描述的形式修改與重新推導，相比文獻中的計算方法更加簡便直觀，更為適合三維矩形厚板振動特性分析。

4)求解了矩形厚板結構在彈性約束邊界條件下自由及強迫振動問題的解析解，為后續(xù)工程中相關厚板結構振動特性分析及響應快速預報提供了有力手段。

［1］LEISSA A W.The free vibration of rectangular plates［J］.Journal of Sound and Vibration，1973，31(3):257-293.

［2］LEISSA A W.Recent research in plate vibrations:classical theory［J］.The Shock and Vibration Digest，1977，9(10): 13-24.

［3］MINDLIN R D.Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates［J］.ASME Journal of Applied Mechanics，1951，18(1):31-38.

［4］MINDLIN R D，SCHACKNOW A，DERESIEWICZ H.Flexural vibrations of rectangular plates［J］.Journal of Applied Mechanics，1956，23:430-436.

［5］BELLMAN R，CASTI J.Differential quadrature and longterm integration［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1971，34(2):235-238.

［6］BELLMAN R，KASHEF B G，CASTI J.Differential quadrature:a technique for the rapid solution of nonlinear partial differential equations［J］.Journal of Computational Physics，1972，10(1):40-52.

［7］CIVAN F，SLIEPCEVICH C M.Application of differential quadrature to transport processes［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1983，93(1):206-221.

［8］MALIK M，BERT C W.Three-dimensional elasticity Solutions for free vibrations of rectangular plates by the differential quadrature method［J］.International Journal of Solids and Structures，1998，35(3/4):299-318.

［9］LIEW K M，HUNG K C，LIM M K.Three-dimensional vibration of rectangular plates:Variance of simple support conditions and influence of in-plane inertia［J］.International Journal of Solids and Structures，1994，31(23):3233-3247.

［10］LIEW K M，HUNG K C，LIM M K.Free vibration studies on stress-free three-dimensional elastic solids［J］.Journal of Applied Mechanics，1995，62(1):159-165.

［11］LIEW K M，HUNG K C，LIM M K.Three-dimensional vibration of rectangular plates:effects of thickness and edge constraints［J］.Journal of Applied Mechanics，1995，182 (5):709-727.

［12］HAN J B，LIEW K M.Numerical differential quadrature method for Reissner/Mindlin plates on two-parameter foundations［J］.International Journal of Mechanical Sciences，1997，39(9):977-989.

［13］LEISSA A，ZHANG Zhongding.On the three-dimensional vibrations of the cantilevered rectangular parallelepiped［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1983，73(6):2013-2021.

［14］ZHOU D，CHEUNG Y K，AU F T K，et al.Three-dimensional vibration analysis of thick rectangular plates using Chebyshev polynomial and Ritz method［J］.International Journal of Solids and Structures，2002，39(26):6339-6353.

［15］楊正光，仲政，戴瑛.功能梯度矩形板的三維彈性分析［J］.力學季刊，2004，25(1):15-20.

YANG Zhengguang，ZHONG Zheng，DAI Ying.Three dimensional elasticity analysis of a functionally graded rectangular plate［J］.Chinese Quarterly of Mechanics，2004，25(1):15-20.

［16］楊亞政，劉華.層合板自由振動和強迫振動的三維精確解［J］.力學與實踐，2008，30(1):23-26.

YANG Yazheng，LIU Hua.Three-dimensional exact solution for free and forced vibrations of multilayered plates［J］.Mechanics in Engineering，2008，30(1):23-26.

［17］DU Jingtao，LI W L，JIN Guoyong，et al.An analytical method for the in-plane vibration analysis of rectangular plates with elastically restrained edges［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，306(3/4/5):908-927.

［18］LI W L，ZHANG Xuefeng，DU Jingtao，et al.An exact series solution for the transverse vibration of rectangular plates with general elastic boundary supports［J］.Journal of Sound and Vibration，2009，321(1/2):254-269.

［19］DU J T，LI W L，LIU Z G.Acoustic analysis of a rectangular cavity with general impedance boundary conditions［J］.The Journal of the Acoustical Society of America，2011，130(2):807-817.

［20］LIM C W，LIEW K M，KITIPORNCHAI S.Numerical aspects for free vibration of thick plates Part I:Formulation and verification［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1998，156(1/2/3/4):15-29.