彈性介質(zhì)中輸流碳納米管的熱彈性振動(dòng)分析

梁 峰, 田 健, 金 瑩, 包日東

(沈陽(yáng)化工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 遼寧 沈陽(yáng) 110142)

彈性介質(zhì)中輸流碳納米管的熱彈性振動(dòng)分析

梁 峰, 田 健, 金 瑩, 包日東

(沈陽(yáng)化工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 遼寧 沈陽(yáng) 110142)

應(yīng)用非局部黏彈性歐拉梁模型研究彈性介質(zhì)中輸流碳納米管在不同溫度環(huán)境中的熱彈性振動(dòng)和穩(wěn)定性問(wèn)題.對(duì)于包含有小尺度項(xiàng)和熱效應(yīng)項(xiàng)的控制方程，利用復(fù)模態(tài)法計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率和臨界流速，并用平均法得到脈動(dòng)內(nèi)流作用時(shí)管道參數(shù)振動(dòng)穩(wěn)定性邊界的解析表達(dá)式，討論了非局部效應(yīng)、熱效應(yīng)及彈性介質(zhì)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.結(jié)果表明：高溫環(huán)境(高于室溫)中納米管系統(tǒng)的固有頻率、臨界流速和參數(shù)共振穩(wěn)定性都比低溫環(huán)境(低于或等于室溫)中低，而溫度變化量、非局部效應(yīng)和彈性介質(zhì)等在不同溫度環(huán)境中對(duì)納米管系統(tǒng)的影響也不同.

輸流碳納米管； 熱彈性振動(dòng)； 溫度環(huán)境； 非局部效應(yīng)； 彈性介質(zhì)

納米材料作為一種高性能優(yōu)質(zhì)材料，已經(jīng)在國(guó)防工業(yè)、農(nóng)業(yè)及民生各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，而1991年才被發(fā)現(xiàn)的碳納米管[1]，被看作是納米材料中最重要的成員.研究表明，碳納米管具有十分優(yōu)異的力學(xué)、電磁學(xué)和化學(xué)性能，其楊氏模量極高，可達(dá)1.0 TPa，強(qiáng)度是鋼的100倍，是已知材料中最高的，但密度僅為鋼的1/6，無(wú)論是強(qiáng)度還是韌性都遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于任何已知纖維材料.碳納米管作為復(fù)合材料的增強(qiáng)體，表現(xiàn)出了良好的強(qiáng)度、彈性、抗疲勞性，同時(shí)還具有耐強(qiáng)酸、強(qiáng)堿，在空氣中973 K以下基本不被氧化等優(yōu)良性質(zhì).目前，碳納米管已經(jīng)在物理、化學(xué)、生物、電子和材料等領(lǐng)域得到了廣泛的研究和應(yīng)用，對(duì)碳納米管的力學(xué)研究已在國(guó)際上形成了研究熱點(diǎn)[2-5].

作為一種典型的小尺度高流速流固耦合系統(tǒng)，輸流碳納米管常常會(huì)表現(xiàn)出極其豐富的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.Yoon等[6]和 Reddy等[7]應(yīng)用單彈性梁模型研究了輸流碳納米管的自由振動(dòng)和結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性，證明了納米管道內(nèi)部的高速流體對(duì)管道的振動(dòng)頻率和振幅衰減率有明顯影響；基于此項(xiàng)研究，Wang等[8]應(yīng)用多彈性梁模型研究了輸流雙壁碳納米管的固有頻率和屈曲失穩(wěn)特性，發(fā)現(xiàn)其共振頻率取決于流體流速，當(dāng)流速達(dá)到一定值時(shí)，碳納米管就會(huì)發(fā)生屈曲失穩(wěn)；Yan等[9-10]的研究結(jié)果也證明了內(nèi)部高速流體和層間的范德華力是引起輸流多壁碳納米管失穩(wěn)的重要原因.總之，研究碳納米管固體力學(xué)行為的文獻(xiàn)很多，而關(guān)于碳納米管內(nèi)流體流動(dòng)問(wèn)題的研究則較少，有關(guān)流固耦合下，尤其是脈動(dòng)內(nèi)流作用下，碳納米管的動(dòng)力學(xué)行為以及振動(dòng)穩(wěn)定性方面的研究報(bào)道更少.隨著納米科技的發(fā)展，輸流納米結(jié)構(gòu)在工業(yè)工程、生物、醫(yī)療等領(lǐng)域的應(yīng)用日益廣泛，其力學(xué)問(wèn)題也應(yīng)該得到廣泛關(guān)注.這也是本文研究的意義所在.

碳納米管的納米級(jí)壁厚使得其對(duì)溫度具有相當(dāng)?shù)拿舾行?而輸流碳納米管又常常工作在各種溫度環(huán)境中，因此，深入研究熱效應(yīng)對(duì)輸流碳納米管動(dòng)力學(xué)特性的影響具有重要意義.目前，有部分文獻(xiàn)對(duì)輸送定常流碳納米管的熱彈性振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究.其中，Chang等[11]研究了熱效應(yīng)對(duì)輸流單壁碳納米管屈曲穩(wěn)定性的影響；Zhen等[12]研究了生物軟組織中輸流雙壁碳納米管的熱彈性振動(dòng)問(wèn)題；Ansari等[13]則對(duì)彈性介質(zhì)中輸流單壁碳納米管在考慮熱效應(yīng)時(shí)的非線(xiàn)性振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究.實(shí)際上，不論是納米管還是大尺度管道，其內(nèi)部流體動(dòng)力源大多為脈動(dòng)形式，因此，絕對(duì)的定常內(nèi)流只是一種理想情況，而絕大多數(shù)管內(nèi)流態(tài)都是脈動(dòng)的[14].但目前尚未發(fā)現(xiàn)有對(duì)脈動(dòng)流作用下碳納米管的熱彈性參數(shù)振動(dòng)問(wèn)題開(kāi)展的研究.鑒于此，本文應(yīng)用非局部黏彈性歐拉梁模型研究彈性介質(zhì)(模擬周?chē)锝M織液、化學(xué)溶劑等環(huán)境介質(zhì))中輸送脈動(dòng)流的碳納米管在不同溫度環(huán)境中的熱彈性振動(dòng)問(wèn)題，重點(diǎn)分析熱效應(yīng)、非局部效應(yīng)及彈性介質(zhì)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)固有頻率、臨界流速和參數(shù)振動(dòng)穩(wěn)定性的影響.所得結(jié)論可為工程輸流納米機(jī)械的設(shè)計(jì)分析提供一定的理論基礎(chǔ).

1 運(yùn)動(dòng)微分方程

圖1所示為彈性介質(zhì)中兩端固定輸流碳納米管的力學(xué)模型.假定管道只發(fā)生橫向面內(nèi)振動(dòng)y(x,t)，管道軸線(xiàn)沿x軸，t為時(shí)間變量，K為彈性介質(zhì)參數(shù).則由非局部彈性和熱彈性理論，并根據(jù)管道和流體單元的力和力矩平衡，可以得到溫度環(huán)境中輸流碳納米管的橫向振動(dòng)微分方程為[11]

(1)

式中，c、E、I、L、m分別為管道的Kelvin-Voigt型黏彈性系數(shù)、楊氏模量、截面慣性矩、長(zhǎng)度、單位長(zhǎng)度的質(zhì)量；Nt為由熱效應(yīng)引起的軸向常力；e0a為表征納米尺度效應(yīng)的非局部參數(shù);M為管內(nèi)流體單位長(zhǎng)度的質(zhì)量；U為流速.若Nt=e0a=0，則方程(1)將退化為經(jīng)典的歐拉型方程.

根據(jù)熱彈性力學(xué)理論，軸向力Nt可表示為[11,15]

(2)

式中，v為管材泊松比，αx為管道軸向熱膨脹系數(shù)，ΔT為相對(duì)室溫的溫度變化量.

引入無(wú)量綱變量和參數(shù)

(3)

則方程(1)可轉(zhuǎn)化為如下無(wú)量綱形式

(4)

式中，()′和(·)分別表示?()/?ξ和?()/?τ.

圖1 彈性介質(zhì)中兩端固定輸流碳納米管模型

2 固有頻率和臨界流速

ηn(ξ，τ)=φn(ξ)eiωnτ

(5)

式中，ωn和φn分別為第n階固有頻率和相應(yīng)的振型函數(shù).本文研究小阻尼情況，即黏彈性系數(shù)α≤1.將式(5)代入方程(4)中可得

(6)

兩端固定的邊界條件為

φn(0)=φn(1)=0，φn′(0)=φn′(1)=0

(7)

方程(6)是個(gè)4階齊次常微分方程，設(shè)其解為

φn(ξ)=C1n(eid1nξ+C2neid2nξ+

C3neid3nξ+C4neid4nξ)

(8)

式中，djn(j=1,2,3,4)滿(mǎn)足下面的特征方程

(9)

將式(7)代入式(8)中可得到關(guān)于C1n～C4n的線(xiàn)性方程組

(10)

上式若存在非零解,則系數(shù)矩陣行列式為零，由此條件及式(8)～(10)即可解出ωn和φn.

下面通過(guò)數(shù)值算例來(lái)分析溫度環(huán)境對(duì)輸流碳納米管固有頻率和臨界流速的影響.算例中的碳納米管采用以下幾何和物理參數(shù)[11,15]：納米管密度ρt=2.3 g/cm3，外半徑Ro=3.5 nm，壁厚h=0.34 nm，長(zhǎng)徑比L/(2Ro)=100，E=1 TPa，v=0.3，e0a=70 nm，內(nèi)流密度ρw=1 g/cm3，彈性介質(zhì)參數(shù)K=0.01 MPa.由Jiang等[16]的研究可知:納米管的熱膨脹系數(shù)在低溫環(huán)境(低于或等于室溫)中為負(fù)值，而在高溫環(huán)境(高于室溫)中為正值.本文低溫環(huán)境中取αx=-1.6×10-6K-1，高溫環(huán)境中取αx=1.1×10-6K-1[17].

圖2給出了高溫和低溫環(huán)境中，不同溫度變化量下系統(tǒng)第一階固有頻率ω1(最低共振頻率)隨流速的變化.圖中，當(dāng)u=0時(shí)，ω1為不同溫度變化量下空管的第一階固有頻率.而隨著流速的增大，固有頻率逐漸降低直至為零，此時(shí)系統(tǒng)將發(fā)生屈曲失穩(wěn)(管道屈曲變形)，而此時(shí)的流速即為臨界流速u(mài)cr.從圖2中可以看出：在不同的溫度環(huán)境中，納米管系統(tǒng)固有頻率和臨界流速的變化規(guī)律是截然不同的.在低溫環(huán)境中，考慮熱效應(yīng)時(shí)其固有頻率(對(duì)于一個(gè)給定的流速值)和臨界流速要比不考慮熱效應(yīng)(ΔT=0)時(shí)有所增大.而且，隨著溫度變化量的增加，固有頻率和臨界流速都會(huì)增大；而在高溫環(huán)境中，以上變化規(guī)律正好相反，尤其是在相同的溫度變化量下，高溫環(huán)境中的納米管臨界流速要比低溫環(huán)境中低，說(shuō)明系統(tǒng)在高溫環(huán)境中的屈曲穩(wěn)定性要比低溫環(huán)境中弱.輸流碳納米管的這種對(duì)周?chē)鷾囟拳h(huán)境的依賴(lài)性是其重要特性之一，應(yīng)引起研發(fā)和設(shè)計(jì)人員的重視.

圖2 兩種溫度環(huán)境中不同溫度變化量ΔT下輸流碳納米管第一階固有頻率ω1隨流速u(mài)的變化

3 脈動(dòng)內(nèi)流作用時(shí)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性

考慮脈動(dòng)內(nèi)流情況，設(shè)方程(4)中受擾流速為

u=u0[1+μcos(ωτ)]

(11)

式中，u0為平均流速，ω和μ分別為無(wú)量綱脈動(dòng)頻率和幅值(μ≤1).將式(11)代入方程(4)后用兩振型Galerkin展開(kāi)式

(12)

進(jìn)行離散化處理，式中，qi(τ)為廣義坐標(biāo)，Ψi(ξ)為兩端固定梁的振型函數(shù).則由振型的正交性并經(jīng)適當(dāng)變換后可得一階微分方程組

μB2qcos(ωτ)-αB3q

(13)

(14)

z2i-1=aicosβi,z2i=aisinβi,i=1,2

(15)

當(dāng)n1=1/2時(shí)，系統(tǒng)平均化方程為：

(16)

(17)

若系統(tǒng)不滿(mǎn)足上式條件，則將發(fā)生第一階主參數(shù)共振.

仍選取上節(jié)數(shù)值算例中的碳納米管來(lái)分析其在脈動(dòng)內(nèi)流作用時(shí)的參數(shù)振動(dòng)穩(wěn)定性，其黏彈性系數(shù)和管內(nèi)平均流速分別取為：c=2.5×10-10s，U=240 m/s.圖3給出了不同溫度環(huán)境中由式(17)確定的ω-μ平面上第一階主參數(shù)共振邊界曲線(xiàn)隨溫度變化量的變化.其中曲線(xiàn)內(nèi)部為發(fā)生參數(shù)共振區(qū)域，外部為穩(wěn)定區(qū)域.由圖3可見(jiàn):不同溫度環(huán)境中溫度變化對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域的影響是截然不同的.首先，在高溫環(huán)境中，相比不考慮熱效應(yīng)(ΔT=0 K)的情況，考慮熱效應(yīng)時(shí)管道共振區(qū)域向低頻方向移動(dòng)，表明共振頻率降低，而且共振區(qū)域的面積明顯增大，說(shuō)明納米管發(fā)生參數(shù)共振的頻率范圍增大，也即穩(wěn)定性降低；而在低溫環(huán)境中剛好相反，考慮熱效應(yīng)時(shí)不僅共振頻率升高，而且系統(tǒng)穩(wěn)定性也比不考慮熱效應(yīng)時(shí)更高.其次，相比低溫環(huán)境，高溫環(huán)境中相同參數(shù)下(如：ΔT=10 K或20 K)納米管的共振頻率更低，共振區(qū)域面積也更大，說(shuō)明納米管在高溫環(huán)境中的穩(wěn)定性要比低溫環(huán)境中弱.此外，隨著溫度變化量ΔT的增加，在高溫環(huán)境中，共振頻率逐漸降低，而且共振區(qū)域也逐漸增大，說(shuō)明管道穩(wěn)定性降低；而在低溫環(huán)境中，不僅共振頻率升高，而且共振區(qū)域也減小，說(shuō)明管道穩(wěn)定性增強(qiáng).可見(jiàn)，周?chē)鷾囟拳h(huán)境以及溫度變化都對(duì)輸流碳納米管的參數(shù)共振穩(wěn)定性有很重要的影響.

圖3 兩種溫度環(huán)境中輸流碳納米管穩(wěn)定性區(qū)域隨溫度變化量ΔT的變化

圖4分析了不同溫度環(huán)境中納米管穩(wěn)定性區(qū)域隨非局部參數(shù)的變化(ΔT=20 K).圖4中除了再次反映出相同參數(shù)下納米管在高溫環(huán)境中的穩(wěn)定性要比低溫環(huán)境中弱外，還可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)論在哪種溫度環(huán)境中，增大非局部參數(shù)值都會(huì)降低共振頻率，還會(huì)增大共振區(qū)域，使管道穩(wěn)定性降低.但是相比之下，改變相同的非局部參數(shù)值在高溫環(huán)境中對(duì)管道穩(wěn)定性的影響程度遠(yuǎn)大于在低溫環(huán)境中.圖5則分析了不同溫度環(huán)境中納米管穩(wěn)定性區(qū)域隨彈性介質(zhì)參數(shù)的變化(ΔT=20 K).由圖5可見(jiàn):不論在哪種溫度環(huán)境中，減小介質(zhì)參數(shù)都會(huì)降低管道共振頻率，同時(shí)增大共振區(qū)域，降低納米管穩(wěn)定性，但是改變相同的介質(zhì)參數(shù)值在高溫環(huán)境中對(duì)管道穩(wěn)定性的影響程度遠(yuǎn)大于在低溫環(huán)境中.圖4和圖5的結(jié)論表明:系統(tǒng)參數(shù)對(duì)管道穩(wěn)定性的影響程度也會(huì)隨著溫度環(huán)境的改變而發(fā)生變化，諸如非局部效應(yīng)和彈性介質(zhì)等，在高溫環(huán)境中對(duì)納米管穩(wěn)定性的影響會(huì)比在低溫環(huán)境中更明顯.這也再次體現(xiàn)了輸流碳納米管參數(shù)共振穩(wěn)定性對(duì)周?chē)鷾囟拳h(huán)境的依賴(lài)性.

綜上可知，輸流碳納米管所處的溫度環(huán)境對(duì)其穩(wěn)定性有重要的影響.而綜合前面的分析可知，高溫環(huán)境對(duì)納米管的穩(wěn)定性是相當(dāng)不利的.這是輸流碳納米管一個(gè)很重要的特性.

圖4 兩種溫度環(huán)境中輸流碳納米管穩(wěn)定性區(qū)域隨非局部參數(shù)e0a的變化

圖5 兩種溫度環(huán)境中輸流碳納米管穩(wěn)定性區(qū)域隨彈性介質(zhì)參數(shù)K的變化

4 結(jié) 論

應(yīng)用非局部黏彈性歐拉梁模型研究了不同溫度環(huán)境中輸流碳納米管的熱彈性振動(dòng)和穩(wěn)定性問(wèn)題.通過(guò)文中分析，可得到以下結(jié)論：

(1) 不同的溫度環(huán)境和溫度變化對(duì)納米管的熱彈性振動(dòng)和穩(wěn)定性有很大影響.

(2) 在高溫環(huán)境中，納米管系統(tǒng)的固有頻率和屈曲失穩(wěn)臨界流速不僅比無(wú)熱效應(yīng)時(shí)和低溫環(huán)境中都要低(屈曲穩(wěn)定性低)，而且其值還會(huì)隨著溫度變化量的增加而降低，而在低溫環(huán)境中這些變化規(guī)律正好相反.

(3) 納米管在高溫環(huán)境中的參數(shù)振動(dòng)穩(wěn)定性要比低溫環(huán)境中弱；提高溫度變化量，在低溫環(huán)境中可以增強(qiáng)系統(tǒng)穩(wěn)定性，而在高溫環(huán)境中卻會(huì)降低系統(tǒng)穩(wěn)定性；增大非局部參數(shù)和減小彈性介質(zhì)參數(shù)都會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但在高溫環(huán)境中這種影響會(huì)更明顯.

總之，高溫環(huán)境對(duì)輸流碳納米管的振動(dòng)穩(wěn)定性是很不利的.因此，在進(jìn)行輸流納米機(jī)械的設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)著重考慮實(shí)際工況的溫度條件，盡量避免長(zhǎng)時(shí)間高溫工作，以保證納米管安全、穩(wěn)定地工作，延長(zhǎng)納米管的壽命.

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Thermoelastic Vibration of a Fluid-conveying Carbon Nanotube Embedded in Elastic Mediums

LIANG Feng， TIAN Jian， JIN Ying， BAO Ri-dong

(Shenyang University of Chemical Technology, Shenyang 110142, China)

In this paper,a nonlocal viscoelastic Euler-Bernoulli beam model is developed to investigate the thermoelastic vibration and stability of a fluid-conveying carbon nanotube(CNT)embedded in elastic mediums under different temperature environments.The governing equation with small scale and thermal effect terms is solved by the complex mode and the averaging methods and the natural frequency,critical flow velocity and analytical expression of the parametric resonance boundary are obtained.The influences of nonlocal,thermal effects and the elastic mediums on the stability of the system are discussed.The results obtained show that the natural frequency,critical flow velocity and parametric resonance stability of the CNT at high temperatures(higher than room temperature)are all lower than those at low temperatures(lower than or equal to room temperature),and the temperature change,nonlocal effect and elastic mediums have different impacts on the CNT at different temperatures.

fluid-conveying carbon nanotube; thermoelastic vibration; temperature environment; nonlocal effect; elastic medium

2015-01-28

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51275315)；遼寧省教育廳科學(xué)研究一般項(xiàng)目(L2013160)

梁峰(1979-)，男，遼寧撫順人，講師，博士，主要從事非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)研究.

2095-2198(2015)03-0257-06

10.3969/j.issn.2095-2198.2015.03.015

O326

A