關(guān)于亞循環(huán)2群的LA猜想

白 頡, 張慧玲

(太原學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 太原 030001)

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白 頡*, 張慧玲

(太原學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 太原 030001)

LA猜想是有限p群中一個著名的猜想. 該文依據(jù)亞循環(huán)2群的分類,通過計算有循環(huán)極大子群、無循環(huán)極大子群的通常亞循環(huán)2群及例外亞循環(huán)2群的自同構(gòu)群的階,證明了亞循環(huán)2群滿足LA猜想,并圓滿地回答了亞循環(huán)p群滿足LA猜想這一問題.

p群; 亞循環(huán)2群; 自同構(gòu)群; 階; LA猜想

有限群的自同構(gòu)群是有限群中一類非常重要的群,許多學(xué)者致力于自同構(gòu)群階的研究,并取得了豐碩的成果. 文獻[1]計算了|G′|=p的自同構(gòu)群的階;文獻[2-10]給出了某些小階群的自同構(gòu)群的階;對一般的有限p群,G.Birkhoff和P.Hall于1933年在文獻[11]給出了其自同構(gòu)群階的最佳上界,但其下限至今仍未解決,即著名的LA猜想:設(shè)G是有限非循環(huán)p群,|G|=pn,n>2,則|G| |Aut(G). 早在1970年,Davitt 在文獻[12]中證明了亞循環(huán)p(p≠2)群滿足LA猜想,但對亞循環(huán)2群是否滿足這一猜想,一直懸而未決. 文獻[13]給出了亞循環(huán)2群的分類,借助于該分類,下面通過計算各類亞循環(huán)2群的自同構(gòu)群的階證明了LA猜想對該群是成立的, 從而圓滿回答了亞循環(huán)p群是否滿足LA猜想的問題.

本文沿用文獻[13]的術(shù)語,其它符號和術(shù)語都是標(biāo)準(zhǔn)的.

1 預(yù)備知識

定義稱G為亞循環(huán)群,如果G有循環(huán)正規(guī)子群N,使商群G/N也是循環(huán)群,即亞循環(huán)群為循環(huán)群被循環(huán)群的擴張.

引理1[13]設(shè)G為亞循環(huán)2群,若G無循環(huán)極大子群,則G有兩種類型:

(i)通常亞循環(huán)群:G=〈a,b|a2r+s+u=1,b2r+s+t=a2r+s,ab=a1+2r〉,其中,r,s,t,u是非負(fù)整數(shù),且r≥2,u≤r. 通常亞循環(huán)群可裂當(dāng)且僅當(dāng)stu=0.

(ii)例外亞循環(huán)群:G=〈a,b|a2r+s+v+t′+u=1,b2r+s+t=a2r+s+v+t′,ab=a-1+2r+v〉,其中,r,s,v,t,t′,u是非負(fù)整數(shù),滿足r≥2,t′≤r,u≤1,tt′=sv=tv=0,且若t′≥r-1,則u=0;例外亞循環(huán)群可裂當(dāng)且僅當(dāng)u=0.

引理2[14]設(shè)G是有限p群,G=〈a,b〉,φ∈Aut(G),其中,φ:a→bjai,b→bsar,則G=〈aφ,bφ〉?is-jr≡/ 0(modp).

引理3[15]設(shè)n是正整數(shù),n≥2,令U=U(2n)是環(huán)Z/2nZ的可逆元組成的乘法群,則

U=〈-1〉×〈1+2n〉(?G2×G2n-2)= {ε+i2m|ε=1或-1, 2≤m≤n,

1≤i<2n-m,且i是奇數(shù)},

又對m

引理4設(shè)G是群,a,b∈G,i,j,r,n為整數(shù).若ab=ar,則

(i) (ba)n=bna1+r+…+rn-1;

(ii)aibj=bjairj.

引理5設(shè)G是亞循環(huán)p群,|G′|=pn. 則

(i) 當(dāng)p≠2時,G是pn交換的;

(ii) 當(dāng)p=2時,G是2n+1交換的,但不是2n交換的.

證明 (i) 由文獻[15]中第167頁的引理6.2.4可得.

(ii)任取x,y∈G,則由文獻[15]中命題2.1.8可得,

引理6設(shè)G為無循環(huán)極大子群的通常亞循環(huán)2群,即

G=〈x,y|x2n=1,y2m=x2k,xy=x1+2l〉,i,j為整數(shù),若2|i或2|j,則(yjxi)2n-l=yj2n-lxi2n-l.

證明令H=〈xi,yj〉,其中,i=2si′,j=2tj′,s和t至少有一個不為0,則H′=〈[xi,yj]〉.由于(1+2l)j≡1(mod 2l+t),故可設(shè)(1+2l)j=1+k2l+t, (k,2)=1,于是[xi,yj]=xki2l+t=xki′2l+s+t,故H′=2n-l-s-t,由引理5知H至少是2n-l交換的,故(yjxi)2n-l=yj2n-lxi2n-l.

2 亞循環(huán)2群的自同構(gòu)群階

本節(jié)將依次給出有循環(huán)極大子群、無循環(huán)極大子群的通常亞循環(huán)2群及例外亞循環(huán)2群的自同構(gòu)群的階,同時證明亞循環(huán)2群滿足LA猜想.

定理1設(shè)G是有循環(huán)極大子群的亞循環(huán)2群且G非循環(huán),則

(1) 若G?G2n-1×G2,則|Aut(G)|=2n;

(2) 若G?M2(n-1,1),n≥4,則|Aut(G)|=2n;

(3) 若G?Q2n,n≥3,則|Aut(G)|=24(n=3),|Aut(G)|=22n-3(n≠3);

(4) 若G?D2n,n≥3,則|Aut(G)|=22n-3;

(5) 若G?SD2n,n≥4,則|Aut(G)|=22n-4.

證明由文獻[15]中第二章定理2.2.10可知G為下列群之一:G2n-1×G2;M2(n-1,1),n≥4;Q2n,n≥3;D2n,n≥3;SD2n,n≥4. 簡單計算易知:若G?G2n-1×G2,則|Aut(G)|=2n;若G?M2(n-1,1),n≥4,則|Aut(G)|=2n;若G?Q2n,n≥3,則|Aut(G)|=24(n=3),|Aut(G)|=22n-3(n≠3);若G?D2n,n≥3,則|Aut(G)|=22n-3.

下證(5).

設(shè)G=〈a,b|a2n-1=1,b2=1,b-1ab=a-1+2n-2〉,n≥4,φ:a|→bjai,b|→bsar是G的變換,則φ∈Aut(G)?i,j,r,s滿足關(guān)系式:j=2,s=1,(i,2)=1,r為偶數(shù),1≤i,r≤2n-1.

事實上,若φ∈Aut(G),則〈bjai,bsar〉=G,1≤i,r≤2n-1,j,s=1或2,且bjai、bsar滿足與a、b相同的定義關(guān)系.首先斷言s=1,否則,由o(b)=2知:b→ar且r=2n-2.于是G=〈bjai,a2n-2〉,又由于a2n-2∈Z(G),故可得G為交換群,矛盾.再由(bar)2=barbar=ar2n-1=1得,r為偶數(shù).由于G中元素除〈a〉外,要么為2階元,要么為4階元,且n≥4,故j=2,(i,2)=1.反之,若i,j,r,s滿足上述關(guān)系式,由引理2知〈bjai,bsar〉=G,又bjai、bsar滿足與a、b相同的定義關(guān)系,故φ∈Aut(G).于是|Aut(G)|等于滿足上述關(guān)系式的i,j,r,s的各種可能的取法,即|Aut(G)|=22n-4.

定理2設(shè)G是無循環(huán)極大子群的通常亞循環(huán)2群且G非交換,即G=〈a,b|a2r+s+u=1,b2r+s+t=a2r+s,ab=a1+2r〉,其中，r≥2,u≤r.

(i) 若stu=0,則|Aut(G)|=24r+2s+t-1;

(ii) 若stu≠0,則|Aut(G)|=24r+2s+t.

證明設(shè)φ:a→bjai,b→bnam,對于(i)分下面(a)、(b)、(c)三種情況來論證:

(a) 若u=0,此時G=〈a,b|a2r+s=1,b2r+s+t=1,ab=a1+2r〉,下證φ可以擴充為G的自同構(gòu)的充要條件是i,j,m,n滿足關(guān)系式:(i,2)=1,j≡0(mod 2s+t),n≡1(mod 2s), 1≤i,m≤2r+s, 1≤j,n≤2r+s+t.

事實上,若φ可以擴充為G的自同構(gòu),則〈bjai,bnam〉=G,1≤i,m≤2r+s,1≤j,n≤2r+s+t,且bjai、bnam滿足與a、b相同的定義關(guān)系.由引理2知in-jm≡/ 0(mod 2).由引理4知,

(bjar)bnam=bja-m(1+2r)j+i(1+2r)n+m,且(bjai)1+2r=bj(1+2r)ai[1+(1+2r)j+…+(1+2r)j2r].由引理1(i)知G可裂,于是有

故j≡0(mod 2s+t),從而(i,2)=(n,2)=1. 又由引理3 知,(1+2r)j≡1(mod 2r+s+t),故i(1+2r)n≡i(1+2r)(mod 2s+r),于是n≡1(mod 2s).

反之,若i,j,m,n滿足上述關(guān)系式,易證〈bjai,bnam〉=G,且bjai、bnam滿足與a、b相同的定義關(guān)系,從而φ可以擴充為G的自同構(gòu).

可見|Aut(G)|等于滿足上述關(guān)系式的i,j,m,n的各種可能的取法. 因i有2r+s-1種取法,j有2r種取法,m有2r+s種取法,n有2r+t種取法,故|Aut(G)|=24r+2s+t-1.

(b) 若u≠0,t=0,此時G=〈a,b|a2r+s+u=1,b2r+s=a2r+s,ab=a1+2r〉. 令ba2u-2r-1-1為新b,可將G轉(zhuǎn)化為〈a,b|a2r+s+u=1,b2r+s=1,ab=a1+2r〉. 下證φ可以擴充為G的自同構(gòu)的充要條件是i,j,m,n滿足關(guān)系式:

(i,2)=1,j≡0(mod 2s),

m≡o(mod 2u),n≡1(mod 2s+u),

其中，1≤i,m≤2r+s+u,1≤j,n≤2r+s.

事實上,若φ可以擴充為G的自同構(gòu),則〈bjai,bnam〉=G,1≤i,m≤2r+s+u,1≤j,n≤2r+s,且bjai、bnam滿足與a、b相同的定義關(guān)系.由引理2知,in-jm≡/ 0(mod 2).由o(bnam)=2r+s知,m必為偶數(shù)(若否,則o(bnam)=2r+s+u). 于是由引理6知,m≡0(mod 2u). 由引理4知,

(bjai)bnam=bja-m(1+2r)j+i(1+2r)n+m,且(bjai)1+2r=bj(1+2r)ai[1+(1+2r)j+…+(1+2r)j2r]. 由引理1(i)知G可裂,于是有

故j≡0(mod 2s),從而(i,2)=(n,2)=1.又由引理3知,(1+2r)j≡1(mod 2r+s),故i(1+2r)n≡i(1+2r)+ik2r+s(mod 2r+s+u),其中，k∈Ζ,于是n≡1(mod 2s+u).

反之,若i,j,m,n滿足上述關(guān)系式,易證〈bjai,bnam〉=G,且bjai、bnam滿足與a、b相同的定義關(guān)系,從而φ可以擴充為G的自同構(gòu).

可見|Aut(G)|等于滿足上述關(guān)系式的i,j,m,n的各種可能的取法. 因i有2r+s+u-1種取法,j有2r種取法,m有2r+s種取法,n有2r-u種取法,故|Aut(G)|=24r+2s-1.

(c) 若u≠0,t≠0,s=0,此時G=〈a,b|a2r+u=1,b2r+t=a2r,ab=a1+2r〉. 令b為新的a,ab-2t為新b,可將G轉(zhuǎn)化為〈a,b|a2r+t+u=1,b2r=1,ab=a1+2r+t〉.下證φ可以擴充為G的自同構(gòu)的充要條件是i,j,m,n滿足關(guān)系式:

(i,2)=1,m≡0(mod 2t+u),

n≡1(mod 2u), 1≤i,m≤2r+t+u, 1≤j,n≤2r.

事實上,若φ可以擴充為G的自同構(gòu),則〈bjai,bnam〉=G,1≤i,m≤2r+t+u,1≤j,n≤2r,且bjai、bnam滿足與a、b相同的定義關(guān)系.由引理2,in-jm≡/ 0(mod 2).由o(bnam)=2r知,m必為偶數(shù)(若否,則o(bnam)=2r+t+u). 于是由引理6知,m≡0(mod 2t+u),進而(i,2)=(n,2)=1. 由引理4知,

(bjai)bnam=bja-m(1+2r+t)j+i(1+2r+t)n+m,

(bjai)1+2r=bjai(1+2r+t)，

由引理1(i)知G可裂,于是有-m(1+2r+t)j+i(1+2r+t)n+m≡i(1+2r+t)(mod 2r+t+u). 由于m≡0(mod 2t+u),故i(1+2r+t)n≡i(1+2r+t)(mod 2r+t+u),解得n≡1(mod 2u).

反之,若i,j,m,n滿足上述關(guān)系式,易證〈bjai,bnam〉=G,且bjai、bnam滿足與a、b相同的定義關(guān)系,從而φ可以擴充為G的自同構(gòu)，故|Aut(G)|等于滿足上述關(guān)系式的i,j,m,n的各種可能的取法.因i有2r+s+u-1種取法,j有2r種取法,m有2r種取法,n有2r-u種取法,故|Aut(G)|=24r+t-1.

對于(ii),下證φ可以擴充為G的自同構(gòu)的充要條件是i,j,m,n滿足關(guān)系式:

i≡j′2s-n-m2t(mod 2u),j≡0(mod 2s+t),

n≡1(mod 2s+u),1≤i,m≤2r+s+u,

1≤j,n≤2r+s+t.

事實上,若φ可以擴充為G的自同構(gòu),則

〈bjai,bnam〉=G,1≤i,m≤2r+s+u,

1≤j,n≤2r+s+t,

且bjai、bnam滿足與a、b相同的定義關(guān)系.由引理2知in-jm≡/0(mod 2).由引理4知,

(bjai)bnam=bja-m(1+2r)j+i(1+2r)n+m,(bjai)1+2r=bj(1+2r)ai[1+(1+2r)j+…+(1+2r)j2r].由于b2r+s+t=a2s+t,令j(1+2r)=x+k2r+s+t,其中，k∈Ζ,則

于是j≡0(mod 2s+t),從而(i,2)=(n,2)=1.又由引理3知,(1+2r)j≡1(mod 2r+s+t),令(1+2r)j=1+k′2r+s+t,1+(1+2r)j+…+(1+2r)j2r=(1+2r)+l2r+s+t,其中，k′,l∈Ζ,則-mk′2r+s+t+i(1+2r)n≡k2r+s+i(1+2r)+il2r+s+t(mod 2r+s+u),于是n≡1(mod 2s+u).再由(bnam)2r+s+t=(bjai)2r+s得

i≡j′2s-n-m2t)(mod 2u),其中，j=j′2s+t.

反之,若i,j,m,n滿足上述關(guān)系式,易證〈bjai,bnam〉=G,且bjai、bnam滿足與a、b相同的定義關(guān)系,從而φ可以擴充為G的自同構(gòu).

可見|Aut(G)|等于滿足上述關(guān)系式的i,j,m,n的各種可能的取法. 因i有2r+s種取法,j有2r種取法,m有2r+t+u種取法,n有2r+t-u種取法,故|Aut(G)|=24r+2s-u.

定理3設(shè)G為無循環(huán)極大子群的例外亞循環(huán)2群,即

G=〈a,b|a2n=1,b2m=a2k,ab=a-1+2l〉,

其中，m,n≥2,k≥n-1,2≤l≤n,m≥n-l.

(1) 若k=n,m>n-l,n>l,則|Aut(G)|=2m+n+l;

(2) 若k=n,m>n-l,n=l,則|Aut(G)|=2m+n+l-1;

(3) 若k=n,m=n-l,則|Aut(G)|=2m+n+l-1;

(4) 若k=n-1,m>n-l,n>l+1,則|Aut(G)|=2m+n+l;

(5) 若k=n-1,m>n-l,n=l+1,則|Aut(G)|=2m+n+l-1;

(6) 若k=n-1,m>n-l,n=l,則|Aut(G)|=2m+n+l-2;

(7) 若k=n-1,m=n-l,則|Aut(G)|=2m+n+l-1.

證明 設(shè)φ:a→bjai,b→bsar是一映射,下面依次計算它們的自同構(gòu)群的階.

對于(1)，(2),此時G=〈a,b|a2n=1,b2m=a2k,ab=a-1+2l〉.下證當(dāng)n>l時,φ∈Aut(G)?i,j,r,s滿足關(guān)系式:(i,2)=1,j≡0(mod 2m-1),s≡1(mod 2n-l),1≤i,r≤2n,1≤j,s≤2m.當(dāng)n=l時,φ∈Aut(G)?i,j,r,s滿足關(guān)系式:(i,2)=1,j≡0(mod 2m-1), (s,2)=1,1≤i,r≤2n,1≤j,s≤2m.

事實上,若φ∈Aut(G),則〈bjai,bsar〉=G,1≤i,r≤2n,1≤j,s≤2m,且bjai、bsar滿足與a、b相同的定義關(guān)系.由引理2知is-jr≡/ 0(mod 2).由引理4知,(bjai)bsar=bja-r(-1+2l)j+i(-1+2l)s+r,且(bjai)-1+2l=bj(-1+2l)ai[1+(-1+2l)j+…+(-1+2l)j(2l-2)].由引理1(ii)知G可裂,于是有

故j≡0(mod 2m-1),從而(i,2)=(s,2)=1.又由引理3知,(-1+2l)j≡1(mod 2m+l-1),由于m>n-l,故(-1+2l)j≡1(mod 2n),進而可得i(-1+2l)s≡i(-1+2l)(mod 2n),于是當(dāng)n>l時,s≡1(mod 2n-l);當(dāng)n=l時,(s,2)=1.

反之,若i,j,r,s滿足上述關(guān)系式,易證〈bjai,bsar〉=G,且bjai、bsar滿足與a、b相同的定義關(guān)系,從而φ∈Aut(G).

可見|Aut(G)|等于滿足上述關(guān)系式的i,j,r,s的各種可能的取法,即當(dāng)n>l時,|Aut(G)|=2m+n+l;當(dāng)n=l時,|Aut(G)|=2m+n+l-1.

對于(3),下證φ∈Aut(G)?i,j,r,s滿足關(guān)系式:(i,2)=1,j≡0(mod 2m-1),r≡0(mod 2)s≡1(mod 2n-l), 1≤i,r≤2n,1≤j,s≤2m.

事實上,若φ∈Aut(G),則〈bjai,bsar〉=G,1≤i,r≤2n,1≤j,s≤2m,且bjai、bsar滿足與a、b相同的定義關(guān)系.由引理2知is-jr≡/0(mod 2).由引理4知,(bjai)bsar=bja-r(1+2l)j+i(-1+2l)s+r,且(bjai)-1+2l=bj(-1+2l)ai[1+(-1+2l)j+…+(-1+2l)j(2l-2)].由引理1(ii)知G可裂,于是有

故j≡0(mod 2m-1),從而(i,2)=(s,2)=1.又由引理3知,(-1+2l)j≡1(mod 2m+l-1),由于m=n-l,故(-1+2l)j≡1(mod 2n-1).又由o(bsar)=2m知,r必為偶數(shù).于是上式可轉(zhuǎn)化為i(-1+2l)s≡i(-1+2l)+ik2n-1(mod 2n),解得s≡1(mod 2n-l).

反之,若i,j,r,s滿足上述關(guān)系式,易證〈bjai,bsar〉=G,且bjai、bsar滿足與a、b相同的定義關(guān)系,從而φ∈Aut(G).

可見|Aut(G)|等于滿足上述關(guān)系式的i,j,r,s的各種可能的取法,即當(dāng)m=n-l時,|Aut(G)|=2m+n+l-1.

對于(4)，(5)，(6),此時G=〈a,b|a2n=1,b2m=a2n-1,ab=a-1+2l〉.下證

當(dāng)n-1=l時,φ∈Aut(G)?i,j,r,s滿足關(guān)系式:

(i,2)=1,j=2m,s≡1(mod 2),1≤i,r≤2n,1≤j,s≤2m.

當(dāng)n=l時,φ∈Aut(G)?i,j,r,s滿足關(guān)系式:

(i,2)=1,j=2m,s≡1(mod 2),1≤i,r≤2n,1≤j,s≤2m.

當(dāng)n-l>l時,φ∈Aut(G)?i,j,r,s滿足關(guān)系式:

(i,2)=1,j≡0(mod 2m-1),s≡1(mod 2n-l) 1≤i,r≤2n,1≤j,s≤2m.

事實上,若φ∈Aut(G),則〈bjai,bsar〉=G,1≤i,r≤2n,1≤j,s≤2m,且bjai、bsar滿足與a、b相同的定義關(guān)系.由引理2知is-jr≡/ 0(mod 2).由引理4知,(bjai)bsar=bja-r(-1+2l)j+i(-1+2l)s+r,且(bjai)-1+2l=bj(-1+2l)ai[1+(-1+2l)j+…+(-1+2l)j(2l-2)].由于b2m=a2n-1,令j(-1+2l)=x+k2m,其中，k∈Ζ,則

于是j≡0(mod 2m-1),從而(i,2)=(s,2)=1.又(-1+2l)j≡1(mod 2m+l-1),由于m>n-l,故(-1+2l)j≡1(mod 2n),進而i(-1+2l)s≡i(-1+2l)+ik2n-1(mod 2n),于是有

又當(dāng)s≡1(mod 2)時,可得k為偶數(shù),進而j=2m.

反之,若i,j,r,s滿足上述關(guān)系式,易證〈bjai,bsar〉=G,且bjai、bsar滿足與a、b相同的定義關(guān)系,從而φ∈Aut(G).故

對于(7),下證φ∈Aut(G)?i,j,r,s滿足關(guān)系式:

(i,2)=1,j≡0(mod 2m-1),r≡0(mod 2),s≡1(mod 2n-l), 1≤i,r≤2n,1≤j,s≤2m.

事實上,若φ∈Aut(G),則〈bjai,bsar〉=G,1≤i,r≤2n,1≤j,s≤2m,且bjai、bsar滿足與a、b相同的定義關(guān)系.由引理2知is-jr≡/ 0(mod 2). 由引理4知,(bjai)bsar=bja-r(-1+2l)j+i(-1+2l)s+r,且(bjai)-1+2l=bj(-1+2l)ai[1+(-1+2l)j+…+(-1+2l)j(2l-2)].由于b2m=a2n-1,令j(-1+2l)=x+k2m,其中，k∈Ζ,則

于是j≡0(mod 2m-1),從而(i,2)=(s,2)=1.又由 (bsar)2m=(bjai)2n-1知,r必為偶數(shù).于是i(-1+2l)s≡k2n-1+i(-1+2l)+ik′2n-1(mod 2n),其中，k′∈Ζ,解得s≡1(mod 2n-l).

反之,若i,j,r,s滿足上述關(guān)系式,易證〈bjai,bsar〉=G,且bjai、bsar滿足與a、b相同的定義關(guān)系,從而φ∈Aut(G).故|Aut(G)|等于滿足上述關(guān)系式的i,j,r,s的各種可能的取法,即當(dāng)m=n-l時,|Aut(G)|=2m+n+l-1.

綜上可知,亞循環(huán)2群的自同構(gòu)群的階已計算完畢,比較群G的階與自同構(gòu)群的Aut(G)的階可知|G|||Aut(G)|,因此有下面的定理4.

定理4設(shè)群G是亞循環(huán)2群,則群G滿足LA猜想.

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The LA-conjecture of metacyclic 2-groups

BAI Jie, ZHANG Huiling

(Department of Mathematics, Taiyuan University, Taiyuan 030001)

LA-conjecture is famous in finitep-groups. In this paper, according to the classification of metacyclic 2-groups, the orders of automorphism groups of metacyclic 2-groups are calculated including the ordinary and exceptional metacyclic 2-group of cyclic and non-cyclic maximal subgroup. Moreover, the LA-conjecture is proved to be true for metacyclic 2-groups.

p-group; metacyclic 2-groups; automorphism group; order; LA-conjecture

2015-03-18.

國家自然科學(xué)青年基金項目(11101251).

1000-1190(2015)06-0822-05

O152

A

*E-mail: baijiemao@163.com.