利用不同類型的積分不等式計算相同定積分的精確值（38）

李平樂 楊秀芹 李春暉

（1.婁底職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程系教務(wù)處，湖南婁底 417000；2.焦作師范高等?？茖W(xué)校，河南焦作 454000）

李平樂1楊秀芹2李春暉1

（1.婁底職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程系教務(wù)處，湖南婁底 417000；2.焦作師范高等專科學(xué)校，河南焦作 454000）

研究了一個新的積分不等式及它的應(yīng)用，它具有傳統(tǒng)積分近似計算不具備的特點(diǎn)，那就是該法精度高。介紹了用新的積分不等式求解定積分dx的近似值，當(dāng)積分上限X遠(yuǎn)離下限B時，不等式的不等程度增大，反之，當(dāng)X趨近于B時，其不等程度趨于0，也就是說積分區(qū)間分得愈細(xì)，其積分誤差愈小。這樣，借助于計算機(jī)運(yùn)算，幾乎能將積分的近似值很容易地轉(zhuǎn)換成精確值，無論是什么樣的工程設(shè)計計算，計算機(jī)都能把它算得又快又準(zhǔn)確，同時近似計算的精度得到了大幅度提高，開創(chuàng)了工程設(shè)計計算的新時代。

定理：同類；異類積分不等式的廣泛應(yīng)用；分解積分區(qū)間；精度

本文運(yùn)用文獻(xiàn)中同類不等式的不等程度小于異類不等式的不等程度的性質(zhì)再次驗(yàn)證了提高定積分近似計算精度的普遍性。當(dāng)工程設(shè)計精度要求不高時，利用計算器手工計算即可，當(dāng)精度要求很高時，可先將積分區(qū)間細(xì)分并建立計算的數(shù)學(xué)模型，然后再對數(shù)學(xué)模型編程，利用計算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計算，這樣就把在理論上稱之為求近似值的問題實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)換為求精確值，同時整理形成了該類函數(shù)的近似計算公式，為計算機(jī)編程提供了1個重要的數(shù)學(xué)模型。

1.主要結(jié)果

當(dāng)角X在第一，三象限

可以證明（1），（2）式。略

由文獻(xiàn)[1]-[22]的性質(zhì)以及文獻(xiàn)[13]中同類不等式的不等程度小于異類不等式的不等程度的性質(zhì)得（3）式

為使讀者加深對文獻(xiàn)[1]-[22]性質(zhì)的認(rèn)識，再對（3）式做小范圍說明

由文獻(xiàn)[1]-[22]性質(zhì)得

為書寫簡便，令（4）式第1項(xiàng)分母為【A】，第二項(xiàng)分母為【B】，第3項(xiàng)分母為，第4項(xiàng)分母為，這樣（5）式可寫成：

證明（6）式大于零，因?yàn)椋?）式分母大于零，只需證明（6）式分子大于零，將（6）式分子整理成3個不等式

證（10）式大于零，先將（10）式整理成兩個不等式。

設(shè)：[A]2〉[B]2sinx（11）

將（11）式，（12）式左邊，右邊分別相加。得：

證（13）式大于零，先將（13）式左邊整理成兩個不等式。設(shè)：

將（14）式，（15）式左邊，右邊分別相加。得：

證（17）式大于零，再將（17）式左邊整理成兩個不等式。設(shè)：

將（18）式，（19）式左邊，右邊分別相加。得：

證（21）式大于零，因?yàn)椋?1）式分母大于零，只需證明（21）式分子大于零。

將（21）式分子整理成三個不等式。設(shè)：

將（22）式，（23）式，（24）式左邊，右邊分別相加。得：

證（25）式大于零，再將（25）式整理成兩個不等式。設(shè)：

所以（28）式成立，因此可見（20）式成立，（4）式也成立。

（3）式小范圍補(bǔ)充說明完畢。

2.計算實(shí)例

若將（1）式積分區(qū)間進(jìn)一步分細(xì)，積分精度更高，略。

若將（2）式積分區(qū)間進(jìn)一步分細(xì)，積分精度更高，略。

3.結(jié)語

利用文獻(xiàn)【1】-【22】中的定理1和定理2（積分不等式，同類不等式的不等程度小于異類不等式的不等程度的性質(zhì)），可很方便地將積分的近似計算轉(zhuǎn)化為實(shí)質(zhì)上的精確計算。本文所闡述的利用這些定理和性質(zhì)求定積分 的近似值（實(shí)質(zhì)上的精確值）又是一個典型范例。進(jìn)一步說明文獻(xiàn)【1】-【22】中的定理和性質(zhì)在積分近似計算領(lǐng)域的普遍性。

（責(zé)任編輯 張蓓）

O17

A

1008-7257（2015）03-0061-03

2015-02-22

李平樂（1955-），男，湖南漣源人，婁底職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程系高級講師。