各向異性半空間中淺埋孔洞對地表反平面運(yùn)動的影響

陳志剛

1） 中國廣州510632暨南大學(xué)力學(xué)與土木工程系 2） 中國廣州510632暨南大學(xué)重大工程災(zāi)害與控制教育部重點實驗室

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各向異性半空間中淺埋孔洞對地表反平面運(yùn)動的影響

1） 中國廣州510632暨南大學(xué)力學(xué)與土木工程系 2） 中國廣州510632暨南大學(xué)重大工程災(zāi)害與控制教育部重點實驗室

本文采用復(fù)變函數(shù)方法研究了穩(wěn)態(tài)水平剪切波（SH波）在各向異性彈性半空間中任意形狀孔洞上的散射及其對地面運(yùn)動的影響． 在變換空間中構(gòu)造出自動滿足各向異性半空間水平表面上應(yīng)力為零的散射波函數(shù)， 并根據(jù)孔洞表面應(yīng)力為零的邊界條件， 采用最小二乘法求解散射波函數(shù)的系數(shù)． 用介質(zhì)的各向異性性質(zhì)來模擬地質(zhì)條件， 給出了SH波作用下含圓孔、 橢圓孔和方孔的各向異性半空間表面位移幅值的數(shù)值結(jié)果， 并分析了介質(zhì)特性、 孔洞的形狀、 埋深、 入射波波數(shù)及入射角度等因素對地面運(yùn)動的影響規(guī)律． 數(shù)值結(jié)果表明： 介質(zhì)的各向異性對含有孔洞的半空間表面的地表位移具有顯著的影響； 沿一定角度的入射波在某一頻段內(nèi)所引起的地表位移幅值比各向同性介質(zhì)的可能要大, 且隨著孔洞埋深的增加， 地表位移的幅值逐漸減小.

各向異性半空間 SH波散射 孔洞 地面運(yùn)動 復(fù)變函數(shù)

Ji’nanUniversity,Guangzhou510632,China

引言

震害的調(diào)查和研究結(jié)果表明， 局部場地條件對地面運(yùn)動有顯著的影響（薄景山等, 2003； 景立平等， 2005）． 目前城市中修建了大量的地下結(jié)構(gòu)物（如地鐵、 隧道和管線等）， 當(dāng)?shù)卣鸩ㄅc其發(fā)生相互作用時， 會導(dǎo)致地面運(yùn)動局部的放大和空間變化的復(fù)雜性， 而這一現(xiàn)象的實質(zhì)就是波的散射問題． 了解孔洞和隧道等地下結(jié)構(gòu)物對彈性波的散射作用， 對進(jìn)行建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計和震害分析在工程上和理論上都具有重要意義．

求解彈性波在地下孔洞上的散射問題可采用解析方法和數(shù)值方法． 由于半空間中孔洞對彈性波散射的解析解答能夠合理地解釋地下結(jié)構(gòu)對地面運(yùn)動的影響， 因此這一問題的解析研究一直受到眾多研究者的關(guān)注（田林等， 2012； 張家明等， 2012）． 在半空間中孔洞對彈性波散射的解析求解方面， 國內(nèi)外研究者針對半空間介質(zhì)為各向同性的情況作了大量的研究工作． 例如： Lee和Trifunac（1979）研究了各向同性半空間中圓形隧道對SH波的散射問題； 劉殿魁和林宏（2003）、 Wang和Liu（2002）采用復(fù)變函數(shù)和多極坐標(biāo)法分別求解了半空間中圓孔和多圓孔對SH波的散射與地震動問題； Lee和Karl（1992）、 Davis等（2001）采用以大圓弧代替直邊界的辦法用傅里葉-貝塞爾級數(shù)展開法給出了半空間中圓形孔洞對SV波散射問題的解答； Liang等（2003）和梁建文等（2004）分別給出了SV波和P波作用下地下洞室群對地面運(yùn)動影響問題的級數(shù)解．

在地震工程中常用的數(shù)值方法有: 有限差分法、 有限元法和邊界元法. 由于邊界元法可以方便地處理半無限介質(zhì)中波的傳播問題， 因此對彈性波在地下孔洞或隧道等結(jié)構(gòu)物上散射問題的數(shù)值求解多采用這一方法． Manolis和Beskos（1988）用邊界元法求解了半平面圓形洞室受SV波作用的動力響應(yīng)； Luco和De Barros（1994）采用間接邊界積分方程求解了SH波、 P波、 SV波和瑞雷波作用下含圓孔的黏彈性半空間表面的位移； 梁建文和巴振寧（2012）利用間接邊界元法求解了層狀半空間中洞室對平面SH波的放大作用； 梁建文等（2012， 2013）運(yùn)用間接邊界元法研究了彈性層狀半空間中洞室對斜入射平面SH波的三維散射問題．

大部分巖土介質(zhì)的物理力學(xué)性能均呈現(xiàn)出各向異性特征， 采用各向異性彈性半空間中孔洞模型能夠更合理地描述實際地下結(jié)構(gòu)物對地震波的傳播和散射特性的影響， 獲得更為可靠的地面運(yùn)動影響的評價數(shù)據(jù)． 各向異性與各向同性介質(zhì)中波的傳播特性有著顯著的不同， 這將會對地下孔洞或隧道等結(jié)構(gòu)物引起的散射波產(chǎn)生影響. 各向異性介質(zhì)中孔洞對地面運(yùn)動產(chǎn)生的影響， 目前還缺乏足夠的認(rèn)識． 由于各向異性介質(zhì)中波動方程的復(fù)雜性， 已有的關(guān)于彈性波在半空間中孔洞上的散射對地震動影響的解析研究大都針對各向同性介質(zhì)的情況， 陳志剛（2012）研究了各向異性半空間中圓孔對SH波的散射所引起的圓孔附近的動應(yīng)力集中問題． 本文將進(jìn)一步研究各向異性半空間中非圓形柱狀孔洞對平面SH波的散射問題， 主要考察介質(zhì)的各向異性特性和孔洞的形狀對地面運(yùn)動的影響．

1 數(shù)學(xué)模型

本文所研究問題的數(shù)學(xué)模型如圖1所示． 在各向異性彈性半空間中含有一個截面是任意形狀的柱狀孔洞， 其邊界用S表示． 設(shè)該孔洞中心的軸線平行于彈性主方向z軸， 直角坐標(biāo)系xoy位于柱狀孔洞的橫截面內(nèi)， 與z軸垂直， 坐標(biāo)原點o在孔洞橫截面的中心上． 以水平表面為x1軸方向， 建立直角坐標(biāo)系x1o1y1， 坐標(biāo)原點o1位于孔洞中心點o的正上方， 兩直角坐標(biāo)系統(tǒng)的坐標(biāo)原點之間的距離為h， 即孔洞的埋深．

圖1 SH波入射各向異性半空間中孔洞示意圖

各向異性彈性介質(zhì)中沿xoy平面入射和傳播的平面SH波的控制方程在復(fù)平面z上可表示為（劉殿魁， 1988）

（1）

對于圖1所示的SH波散射問題， 引入映射函數(shù)z=ω（ζ）， 再引入坐標(biāo)變換

（2）

（3）

考慮穩(wěn)態(tài)的平面SH波，w（i）在xoy平面內(nèi)， 與x軸成αi角度入射, 其在水平表面o1x1時將產(chǎn)生反射的SH波w（r）． 在省略時間因子e-iωt的情況下（以下散射波也相同）， 入射波w（i）和反射波w（r）在映射平面ζ上可以分別表示為

（4）

（5）

引入映射函數(shù)z=ω（ζ）和變換式（2）后， 在極坐標(biāo)系中應(yīng)力和位移關(guān)系的表達(dá)式分別為

{[（c55-c44+i2c45）（1-iγ）+（c44+c55）

（6）

（7）

2 分析求解

對于各向異性彈性半空間中孔洞在SH波作用下引起的散射波， 在復(fù)平面z上為

（8）

將散射波函數(shù)式（8）代入式（7）求解散射波引起的應(yīng)力. 當(dāng)θ=0或π時， 該應(yīng)力為零， 說明孔洞引起的散射波在半空間表面上產(chǎn)生的應(yīng)力為零， 可根據(jù)孔洞的邊界條件直接求得式（8）所表示的散射波函數(shù)的系數(shù)An．

在含有孔洞的各向異性彈性半空間中， 由SH波產(chǎn)生的總波場w（t）可表示為

w（t）=w（i）+w（r）+w（s）,

（9）

式中，w（s）為入射波w（i）和反射波w（r）在半空間中孔洞上所產(chǎn)生的散射波， 其形式如式（8）所示， 能夠自動滿足邊界x1軸上應(yīng)力為零的條件．

各向異性半空間中孔洞表面上滿足應(yīng)力為零的邊界條件， 在復(fù)平面z上表示為

（10）

將式（4）、 （5）和（8）分別代入式（6）， 求得相應(yīng)的應(yīng)力， 則邊界條件式（10）可表示為

（11）

其中，

用最小二乘法求解式（8）中的散射波系數(shù)An：

（12）

對散射波函數(shù)取有限項， 根據(jù)邊界條件式（11）可得到一組超定線性方程組， 由式（12）可求解該方程組， 求得未知系數(shù)An， 項數(shù)n的選取受求解精度的控制．

3 計算結(jié)果

本文的計算結(jié)果給出了各向異性半空間中圓孔、 橢圓孔和方孔在SH波作用下的地表位移． 在式（9）的計算中， 需代入映射函數(shù)ω（ζ）的具體形式（陳志剛， 2007）． 為了綜合考慮地表位移與孔洞的幾何特征和入射波頻率的關(guān)系， 采用無量綱化的地表位移幅值和入射波頻率． 水平地表面上的無量綱位移幅值wd為

（13）

無量綱頻率η定義為

（14）

式中： a為孔洞的幾何特征尺寸， 在本文中分別表示圓孔的半徑、 橢圓孔的長半軸和正方形孔邊長的一半； λ為入射波波長．

圖2給出了各向同性、 正交各向異性和各向異性半空間中淺埋圓孔在不同頻率的SH波作用下， 圓孔上方的地表位移幅值wd的變化曲線． 圖中， β1=c45/c55， β2=c44/c55, α0為

圖2 介質(zhì)參數(shù)變化對淺埋圓孔附近地表位移幅值的影響

入射角． 在埋深h與圓孔半徑a比值為1.5的情況下， 由于孔洞的存在， 半空間地表位移會發(fā)生很大的變化， 且當(dāng)入射波頻率較高時， 這種影響會更加顯著． 在SH波垂直入射時， 各向同性介質(zhì)與正交各向異性介質(zhì)的地表位移是對稱的， 而各向異性介質(zhì)（c45≠0）的地表位移則不再對稱． 同時， 介質(zhì)的各向異性性質(zhì)對地表位移會產(chǎn)生明顯的影響. 當(dāng)β2=0.5時, 其水平方向的剪切模量與豎向的剪切模量相差一倍， 當(dāng)SH波垂直入射， 且頻率較低時（η=0.1）（圖2a）， 圓孔正上方的地表位移比無孔時要大， 與各向同性介質(zhì)情況相比， 各向異性介質(zhì)中在孔洞正上方點的地表位移要低些； 當(dāng)β2=1.5時， 各向異性半空間中圓孔上方地表位移比各向同性介質(zhì)中的要高些． 當(dāng)頻率較低（η=0.1）的SH波沿水平方向入射， β2=0.5時, 圓孔上方地表位移比各向同性介質(zhì)的要大； 當(dāng)β2=1.5時， 圓孔上方地表位移比各向同性介質(zhì)的要?。?這說明各向異性介質(zhì)的特性對地表位移的影響與入射波方向密切相關(guān)． 但隨著入射波頻率的增加， 當(dāng)SH波垂直入射時， 無論介質(zhì)性質(zhì)如何， 圓孔正上方地表位移的幅值都明顯降低， 而圓孔兩側(cè)地表位移則發(fā)生劇烈變化． 與無孔半空間相比， 此時地表位移幅值明顯增大． 介質(zhì)的各向異性對地表位移幅值的影響與入射波的頻率相關(guān)． 從圖2c可以看出， 當(dāng)SH波垂直入射時， 各向異性介質(zhì)中圓孔兩側(cè)上方的地表位移幅值與各向同性介質(zhì)相比有明顯提高， 地表位移最大的幅值wd=2.93， 是各向同性介質(zhì)的1.12倍． 當(dāng)頻率η=2.0時， 介質(zhì)的各向異性對地表位移的影響不明顯．

當(dāng)SH波沿水平或傾斜方向入射時， 從圖2的地表位移的幅值曲線可以看出： 在迎波面一側(cè)位移的幅值曲線波動很大， 而且隨著入射波頻率的增加， 地表位移的這種波動變化更加顯著； 而在圓孔的背波面一側(cè)地表位移的幅值則明顯低于迎波面一側(cè)， 且圓孔后面各點地表位移幅值變化的震蕩性顯著降低. 說明孔洞的存在對這一區(qū)域起到了屏蔽作用， 但這種屏蔽作用隨著入射波頻率的增加會有所減弱． 介質(zhì)的各向異性對地表位移會產(chǎn)生較大的影響， 當(dāng)SH波沿水平方向入射， β2=0.5時， 在低頻段（η=0.1）的地表位移wd=3.06， 與各向同性介質(zhì)相比， 地表位移的幅值提高了12%； 當(dāng)η=1.0時， 地表位移wd=4.54， 與各向同性介質(zhì)相比， 地表位移的幅值提高了17%； 當(dāng)η=2.0時， 介質(zhì)的各向異性對地表位移的影響不顯著（圖2d）．

圖3給出了入射SH波頻率在η=0.1-2.0之間、 埋深h與圓孔半徑a之比為1.5、 波垂直或水平入射時， 含圓孔的正交各向異性（β1=0, β2=0.5）半空間地表位移的幅值曲線． 可以看出， 地表位移幅值的大小與入射波頻率密切相關(guān)， 在一定頻段內(nèi)孔洞對地表位移的影響比較明顯， 而在另一頻段則對地表位移的影響會減弱． 應(yīng)充分考慮各種因素的影響．

圖3 含圓孔正交各向異性半空間表面位移隨頻率的變化

圖4給出了SH波入射不同埋深圓孔時， 正交各向異性（β1=0, β2=0.5）半空間表面上的位移幅值曲線． 可以看出， 無論SH波是水平入射還是垂直入射， 地表位移的幅值隨孔洞埋深的增加總體上是減弱的， 但究竟孔洞埋深多少時可以不考慮其作用， 還需考慮多種因素來確定． 比較不同頻率與埋深下地表位移幅值的變化曲線可以看出， 當(dāng)波高頻入射時， 地表位移幅值衰減得慢． 由圖4a可以看出， 在不同埋深情況下， 當(dāng)SH波以不同波數(shù)沿水平方向入射時， 地表位移幅值均表現(xiàn)出在迎波面的一側(cè)變化劇烈， 而在孔后面地表位移變化則比較平緩． 在相同波數(shù)和埋深情況下， 與各向同性介質(zhì)半空間中的圓孔情況相比（劉殿魁, 林宏, 2003）， 地表位移幅值有了顯著的提高（圖4a）． 在SH波垂直入射下， 當(dāng)h/a>12時， 隨著孔洞埋深的增加， 地表位移幅值已變化不大（圖4b）. 但當(dāng)入射波頻率較高時， 隨著孔洞埋深的增加， 孔洞的影響則消除得很慢． 而當(dāng)波沿水平方向入射時， 孔洞對地表位移幅值影響的消除要比垂直入射時的還要更慢些．

圖4 正交各向異性半空間圓孔埋深對地表位移幅值的影響

圖5給出了當(dāng)半空間中埋深與橢圓長軸之比為1.5時， 不同頻率SH波作用下， 淺埋橢圓孔上方地表位移幅值的變化曲線． 圖中將各向同性（β1=0, β2=1.0）、 正交各向異性（β1=0, β2≠1.0）和各向異性（β1≠0, β2≠1.0）的情況作了對比． 與圖2中相同埋深和介質(zhì)參數(shù)下淺埋圓孔情況相比， 當(dāng)SH波的入射方向垂直于橢圓的長軸時， 波的散射作用所引起橢圓孔上方地表位移的變化更為劇烈； 而當(dāng)SH波水平入射時， 這時入射波沿x軸方向傳播， 與橢圓長軸方向一致， 淺埋橢圓孔所引起的地表位移要比圓孔時的小一些． 數(shù)值結(jié)果表明， 地表位移幅值大小與孔洞形狀、 入射波方向、 入射波頻率和介質(zhì)各向異性等因素密切相關(guān)． 與淺埋圓孔情況類似， 在某一參數(shù)組合下， 各向異性半空間中的橢圓孔能夠在地表面局部引起較高的位移． 在介質(zhì)參數(shù)β1=0.2、 β2=0.5情況下， 當(dāng)SH波以頻率η=0.5傾斜入射時， 橢圓孔上方的地表位移wd=3.02， 與相同情況下各向同性介質(zhì)中橢圓孔相比， 其地表位移的幅值提高了29%．

圖5 介質(zhì)參數(shù)變化對淺埋橢圓孔附近地表位移幅值的影響

圖6給出了當(dāng)埋深與方孔邊長一半之比為1.5時， 在不同頻率SH波作用下， 淺埋方孔上方地表位移幅值的變化曲線． 可以看出， 地表位移隨介質(zhì)參數(shù)、 入射波頻率和入射方向的變化規(guī)律與淺埋圓孔和淺埋橢圓孔的情況相似， 但由于孔洞形狀引起的散射效應(yīng)不同， 各向異性半空間中淺埋方孔能引起更大的地表位移． 在介質(zhì)參數(shù)為β1=0.2、 β2=0.5情況下， 當(dāng)SH波以頻率η=0.5傾斜入射時， 方孔上方的地表位移wd=3.67， 與相同情況下各向同性介質(zhì)中方孔相比， 其地表位移幅值提高了36%．

圖6 介質(zhì)參數(shù)變化對淺埋方孔附近地表位移幅值的影響

4 討論與結(jié)論

本文采用復(fù)變函數(shù)方法構(gòu)造了SH波作用下各向異性彈性半空間中孔洞的散射波函數(shù)， 該散射波在各向異性半空間表面上引起的應(yīng)力為零， 得到了含有孔洞的各向異性半空間表面位移的解析解， 并分析了半空間中存在孔洞時， 介質(zhì)特性、 埋深和入射波數(shù)等因素對地表位移幅值的影響， 得到如下結(jié)論：

1） 在含有孔洞的各向異性半空間中， 沿某一方向的入射波有可能引起地表位移幅值顯著增大的現(xiàn)象， 而地表位移變化的幅度與介質(zhì)的各向異性強(qiáng)度和方向有很大關(guān)系， 同時還受到入射波方向、 頻率和孔洞形狀的影響．

2） 半空間中孔洞對地表位移有顯著影響， 在各向異性介質(zhì)中這種影響有時比各向同性介質(zhì)要大得多. 隨著孔洞埋深的增加， 孔洞的影響逐漸減弱， 但在較高頻率的SH波作用下， 地表位移的幅值隨孔洞埋深的增大而緩慢地減?。?/p>

3） 當(dāng)孔洞埋深較淺時， 孔洞引起的散射波對地表位移影響很大， 在孔洞上面一定范圍內(nèi)地表位移會出現(xiàn)急劇增加的現(xiàn)象， 因此在地下結(jié)構(gòu)物或有埋藏物的上方修建建筑物時， 要充分考慮其對場地地面運(yùn)動的影響．

研究各向異性介質(zhì)中波在地下結(jié)構(gòu)上的散射問題在地震工程中具有重要意義. 本文研究的是這一問題中最簡單的模型， 給出了介質(zhì)的各向異性對地面運(yùn)動影響的初步解釋. 進(jìn)一步的研究有待于各向異性半空間中孔洞對P波和SV波散射的求解， 以及各向異性介質(zhì)中的彈性波在地下孔洞上三維散射問題的解答．

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Effect of shallow buried cavity on anti-plane motion of ground surface in anisotropic half-space

1）DepartmentofMechanicsandCivilEngineering,Ji’nanUniversity,Guangzhou510632,China

2）KeyLaboratoryofDisasterForecastandControlinEngineering,MinistryofEducation,

The scattering of steady-state horizontal shear wave （SH-wave） by arbitrary cavity in anisotropic half-space is investigated together with its effect on ground motion by using the complex variable function method. The scattered wave function stratifying the condition of the stress free on the horizontal surface of anisotropic-half space automatically is constructed in the transformed space. Based on the zero-stress boundary condition of the cavity surface, the coefficient of scattered wave function is solved by means of the least squares method. By simulating the geological condition of the media anisotropy, the ground surface displacement amplitudes of anisotropic half-space with circular cavity, elliptical cavity and quadrate cavity are illustrated numerically. The effect of ground motion on the media property, the cavity shape, buried depth, the wave number and incident angle of incident wave are analyzed. Numerical result shows the media anisotropy has great effects on the ground surface displacement of half-space with a cavity. The ground surface displacement amplitude caused by incident wave with a certain angle may be much greater than that of the isotropic media in a certain frequency range, and decreases with the increase of the cavity depth.

anisotropic half-space; scattering of SH wave; cavity; ground motion; complex variable function

10.11939/jass.2015.04.008.

教育部重點實驗室項目“重大工程災(zāi)害與控制”和廣東省高等學(xué)校科研型重點實驗室項目“工程結(jié)構(gòu)故障診斷”共同資助.

2014-08-11收到初稿， 2015-01-24決定采用修改稿.

e-mail: czgjnu@163.com

4.008

P315.9

A

陳志剛. 2015. 各向異性半空間中淺埋孔洞對地表反平面運(yùn)動的影響. 地震學(xué)報, 37（4）: 617--628.

Chen Z G. 2015. Effect of shallow buried cavity on anti-plane motion of ground surface in anisotropic half-space.ActaSeismologicaSinica, 37（4）: 617--628.

doi:10.11939/jass.2015.04.008.