概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中幾個(gè)易混淆概念的教學(xué)方法

肖海霞，胡政發(fā)，喻方元

（湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院　理學(xué)院，湖北　十堰　442002）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中幾個(gè)易混淆概念的教學(xué)方法

肖海霞，胡政發(fā)，喻方元

（湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院理學(xué)院，湖北十堰442002）

對(duì)基本概念的理解與掌握是學(xué)好概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的關(guān)鍵，特別是一些容易混淆的概念.本文指出了在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)中學(xué)生容易混淆的幾個(gè)概念，闡述了這些易混淆概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，探討了這些概念的教學(xué)方法.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；概念；區(qū)別；聯(lián)系；教學(xué)方法

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，概率統(tǒng)計(jì)的思想與方法在社會(huì)各個(gè)領(lǐng)域及人們的日常生活中都有著廣泛的應(yīng)用，它是理工科各專(zhuān)業(yè)的必修課，學(xué)好這門(mén)課程顯得非常重要.但該課程有概念多、公式多的特點(diǎn)，學(xué)習(xí)該課程時(shí)，學(xué)生普遍覺(jué)得難度大于其他數(shù)學(xué)課程.筆者結(jié)合自己幾年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勗谠撜n程的教學(xué)中學(xué)生易混淆的幾個(gè)概念，闡述它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并探討了這些概念的教學(xué)方法.

1　幾個(gè)易混淆的概念

基本概念的理解與掌握是學(xué)好一門(mén)課程的關(guān)鍵，尤其是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這種概念多的課程.據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生易混淆的概念主要有：（1）不可能事件與零概率事件；（2）隨機(jī)事件的互不相容與相互獨(dú)立；（3）條件概率、無(wú)條件概率與交事件的概率；（4）區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn).

2　教學(xué)方法的設(shè)計(jì)

對(duì)于以上易混淆的概念，在教學(xué)中，根據(jù)各概念的特點(diǎn)來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)方案，讓學(xué)生明白他們之間的區(qū)別與聯(lián)系，正確理解概念.

2.1從易混淆的原因入手

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，從學(xué)生的角度來(lái)分析問(wèn)題，找到易混淆的原因，然后“對(duì)癥下藥”.以不可能事件與零概率事件為例來(lái)說(shuō)明.

不可能事件的概率為零，反之，如果某個(gè)事件的概率為零，它卻不一定是不可能事件.根據(jù)是：在“連續(xù)型隨機(jī)變量”這部分內(nèi)容中，可以計(jì)算隨機(jī)變量X取得某點(diǎn)x0的概率為零，而隨機(jī)事件（X=x0）卻不一定是不可能事件.可是學(xué)生往往不理解，經(jīng)常產(chǎn)生這樣的疑問(wèn)：既然事件發(fā)生的可能性為零，為什么還可能發(fā)生呢？學(xué)生不理解的主要原因是對(duì)隨機(jī)事件的概率這個(gè)概念的定義與功能缺乏準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí).事件的概率是對(duì)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量描述，概率值大，就意味著事件發(fā)生的可能性大，反之，概率值小，就意味著事件發(fā)生的可能性小.在教學(xué)過(guò)程中，教師可利用概率的統(tǒng)計(jì)定義來(lái)解釋這一問(wèn)題.概率的統(tǒng)計(jì)定義是：在相同的條件下，重復(fù)做n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻數(shù)為m，頻率為，當(dāng)n很大時(shí)，在某一常數(shù)p附近擺動(dòng)，且一般來(lái)說(shuō)，n越大，擺動(dòng)的幅度越小，則數(shù)p稱(chēng)為事件A的概率.從這個(gè)定義，我們知道，隨著n的增大，頻率會(huì)穩(wěn)定于概率.對(duì)于概率為零的事件來(lái)說(shuō)，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，其頻率會(huì)在0附近擺動(dòng)，這種事件可分成兩類(lèi)：一類(lèi)是頻率恒為零的事件，頻率恒為零，說(shuō)明不管試驗(yàn)多少次，事件總是不會(huì)發(fā)生，這類(lèi)事件自然是不可能事件，另一類(lèi)是頻率有時(shí)為零，但不恒為零的事件，正是因?yàn)轭l率不恒為零，說(shuō)明在試驗(yàn)中，事件發(fā)生過(guò)，只不過(guò)發(fā)生的次數(shù)極少，這種事件是幾乎不發(fā)生，但又不是絕對(duì)不發(fā)生的事件.例如：測(cè)量某零件的尺寸，“測(cè)量誤差為0.05mm”就是概率為零的事件，測(cè)量誤差正好為0.05mm的情況雖然有，但是很少見(jiàn).一旦學(xué)生理解了這兩個(gè)概念，就不容易犯類(lèi)似于“因?yàn)镻（AB）=0，所以AB為不可能事件，從而A與B互不相容”的錯(cuò)誤.

2.2應(yīng)用身邊的實(shí)例來(lái)區(qū)分概念

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系最緊密的數(shù)學(xué)學(xué)科，在教學(xué)中，從概念的直觀背景入手，精心選擇一些跟我們生活密切相關(guān)而又有趣的實(shí)例來(lái)講解基本概念，不僅能讓學(xué)生很快地掌握概念而且能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性.

條件概率是概率論中一個(gè)非常重要的概念，是教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn).學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中容易將它與無(wú)條件概率、交事件的概率相混淆.設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，P（AB）指的是A，B都發(fā)生的概率，是交事件的概率.P（A|B）是在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，是條件概率.而無(wú)條件概率P（A）指的是在沒(méi)有任何已知信息的前提下考慮事件A的概率.在教學(xué)中，可通過(guò)抽獎(jiǎng)這個(gè)生活中常見(jiàn)的實(shí)例引入概念.10張獎(jiǎng)券里有兩張是中獎(jiǎng)券，現(xiàn)有10人依次隨機(jī)從中抽取一張獎(jiǎng)券，問(wèn)第二人中獎(jiǎng)的概率是多少？然后又提問(wèn)：已知第一人中獎(jiǎng)，此時(shí)第二人中獎(jiǎng)的概率又是多少？從這個(gè)實(shí)例中引入條件概率的定義，讓給學(xué)生初步了解條件概率與無(wú)條件概率的區(qū)別，然后再設(shè)計(jì)如下例題來(lái)鞏固概念：

例某班100名學(xué)生中有男生80人，女生20人，該班來(lái)自北京的學(xué)生有20人，其中男生12人，女生8人，從這100名學(xué)生中任意抽取一名，試寫(xiě)出P（A），P（B），P（AB），P（AB），P（B|A）.

解設(shè)事件A表示抽到的學(xué)生是男生，事件B表示抽到的學(xué)生是來(lái)自北京的.易知總的基本事件的個(gè)數(shù)是100，事件A所包含的基本事件數(shù)是80，事件AB是指抽到的是來(lái)自北京的男生，它所包含的基本事件的個(gè)數(shù)是12，所以P（A）=0.8，P（AB）=0.12，而P（A|B）=0.6，這是因?yàn)樵谑录﨎已經(jīng)發(fā)生的條件下，樣本空間發(fā)生了變化，樣本空間變小了，此時(shí)總的基本事件數(shù)縮減為20，即為B所包含的基本事件數(shù)，而在此條件下，事件A所包含的基本事件數(shù)僅為12.類(lèi)似可得，P（B）=0.2，P（B|A）=0.15.

通過(guò)這個(gè)例子，不僅可讓學(xué)生容易理解它們之間的區(qū)別，而且容易從中驗(yàn)證乘法公式：若P（B）＞0，則P（AB）=P（A|B）P（B）；若P（A）＞0，則P（AB）=P（B|A）P（A）.為接下來(lái)的乘法公式教學(xué)做鋪墊.

2.3通過(guò)做實(shí)驗(yàn)來(lái)區(qū)分概念

抽象的概念理解起來(lái)比較難，但俗話說(shuō)：眼見(jiàn)為實(shí).通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方式來(lái)區(qū)分概念，不僅可以讓學(xué)生加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，還可以鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力.

兩個(gè)事件A，B互不相容指的是A，B不同時(shí)發(fā)生，即AB=?，兩個(gè)事件A，B相互獨(dú)立指的是A，B中任一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另外一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響，即P（AB）=P（A）P（B）.學(xué)生在學(xué)習(xí)中，往往對(duì)他們之間的關(guān)系不清楚，容易將這兩個(gè)概念混淆，事實(shí)上，相互獨(dú)立是從概率的角度來(lái)說(shuō)的，強(qiáng)調(diào)B發(fā)生與否對(duì)事件A發(fā)生的概率沒(méi)影響，而互不相容是事件本身的關(guān)系，不存在同時(shí)屬于這兩個(gè)事件的樣本點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)兩事件不能同時(shí)發(fā)生.這是兩個(gè)不同屬性的概念，他們之間沒(méi)有必然的聯(lián)系.但學(xué)生往往會(huì)用已建立起來(lái)的互不相容概念來(lái)理解相互獨(dú)立，錯(cuò)誤地認(rèn)為相互獨(dú)立的兩事件是不可能同時(shí)發(fā)生的，因而是互不相容的.為了使學(xué)生不混淆，在教學(xué)中可以舉例如下：

有一個(gè)質(zhì)量均勻的正四面體，其第一面涂紅色，第二面涂白色，第三面涂藍(lán)色，第四面同時(shí)涂有紅，白，藍(lán)三色，以H，B分別記拋一次此四面體，朝下那一面出現(xiàn)紅色，白色的事件，則易知

P（H）=P（B）=0.5，P（H|B）=P（B|H）=0.5，P（HB）=0.25，

所以，P（B）=P（B|H），P（H）=P（H|B），這說(shuō)明：事件H，B相互獨(dú)立，但是事件H，B可以同時(shí)發(fā)生，即HB≠?.

為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解這兩個(gè)概念.可布置課后作業(yè)，讓學(xué)生自己去做一個(gè)這樣四面體來(lái)做實(shí)驗(yàn)，記錄事件H與B發(fā)生的頻率，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)充分大時(shí)，利用頻率穩(wěn)定于概率來(lái)驗(yàn)證結(jié)論.

2.4注重講解概念之間的區(qū)別

統(tǒng)計(jì)推斷的基本問(wèn)題是參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn).學(xué)生在學(xué)完參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)問(wèn)題中有很多相似之處.比如：都要選用統(tǒng)計(jì)量，都要用到分位數(shù)等等，但又弄不明白他們之間的區(qū)別和聯(lián)系，以及他們各自的適用范圍和使用條件.事實(shí)上，它們都是基于樣本信息來(lái)推斷總體的性質(zhì)，但他們之間又有區(qū)別.在教學(xué)中，教師要強(qiáng)調(diào)以下兩點(diǎn)：第一，它們的目的不同，參數(shù)的區(qū)間估計(jì)解決的是根據(jù)樣本估計(jì)未知參數(shù)的范圍問(wèn)題，參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)則是根據(jù)樣本判斷假設(shè)是否該接受還是拒絕的問(wèn)題.第二，兩者對(duì)總體的了解程度不同，進(jìn)行區(qū)間估計(jì)之前不了解未知參數(shù)的有關(guān)信息，而假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)未知參數(shù)的信息有所了解，但做出某種判斷無(wú)確切把握.在實(shí)際應(yīng)用中，假如我們對(duì)未知參數(shù)有很多的了解，或掌握了一些非樣本信息，這時(shí)，采用假設(shè)檢驗(yàn)的方法合適，如果我們對(duì)未知參數(shù)除了樣本信息之外無(wú)其它信息，則宜采用區(qū)間估計(jì).

3　總結(jié)

學(xué)生對(duì)基本概念，特別是一些易混淆概念的理解和掌握的程度直接決定了學(xué)生對(duì)該門(mén)課程的掌握程度.在教學(xué)過(guò)程中，教師巧妙設(shè)計(jì)各種教學(xué)手段及時(shí)講解課程中容易混淆的概念，不僅使學(xué)生容易理解和掌握各個(gè)概念，而且可以讓枯燥的概念學(xué)習(xí)變得有趣、豐富課堂教學(xué).

〔1〕沈恒范.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2011.

〔2〕朱秀娟.概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題150題［M］.長(zhǎng)沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1982.

〔3〕申蘭珍.對(duì)為什么概率為0的事件不一定是不可能事件的解釋?zhuān)跩］.唐山高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，1999，12（4）.

〔4〕袁力，盛愛(ài)輝.區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的相關(guān)性及其應(yīng)用［J］.鄖陽(yáng)師范高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2007，27（6）.

〔5〕叢玉華，殷爍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題課教學(xué)的探索與實(shí)踐［J］.通化師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2013（2）：53.

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