損傷失效率下Lomax分布在步進(jìn)試驗(yàn)下的統(tǒng)計(jì)分析

和 陽，王蓉華，徐曉嶺

(1.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200030; 2.上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與信息學(xué)院, 上海 200030)

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損傷失效率下Lomax分布在步進(jìn)試驗(yàn)下的統(tǒng)計(jì)分析

和 陽1，2，王蓉華1，徐曉嶺2

(1.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200030; 2.上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與信息學(xué)院, 上海 200030)

為了能夠在盡量短的時間內(nèi)得到產(chǎn)品的品質(zhì)信息，而且要保證這些信息是可靠的，采用加速壽命試驗(yàn)是一種合適的試驗(yàn)方法，通過研究在損傷失效率(TFR)模型下，Lomax分布在簡單步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)下的極大似然估計(jì)以及基于漸進(jìn)正態(tài)性的近似區(qū)間估計(jì)。通過Monte-Carlo模擬一批數(shù)據(jù)，經(jīng)過計(jì)算得到參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和近似區(qū)間估計(jì)都在真值附近，而且使用步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)縮短了試驗(yàn)時間，達(dá)到了預(yù)期的目標(biāo)。

Lomax分布；步進(jìn)應(yīng)力；損傷失效率模型；漸進(jìn)正態(tài)性；極大似然估計(jì)；Monte-Carlo模擬

Abd Ellah，A H在文獻(xiàn)[1]中將Lomax分布稱為第二型的Pareto分布，該分布包含了單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的失效率，在分析醫(yī)學(xué)、生物科學(xué)和工程科學(xué)等方面的壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中起著重要的作用。關(guān)于該分布的統(tǒng)計(jì)推斷理論引起很多統(tǒng)計(jì)學(xué)者的興趣。文獻(xiàn)[2]研究了熵?fù)p失下兩參數(shù)Lomax分布中尺度參數(shù)已知時形狀參數(shù)的Bayes估計(jì)，文獻(xiàn)[3]研究了對數(shù)熵?fù)p失下兩參數(shù)Lomax分布中形狀參數(shù)的Bayes估計(jì)，文獻(xiàn)[4]研究了NA樣本下兩參數(shù)Lomax分布中形狀參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)，文獻(xiàn)[5]研究了在不同損失函數(shù)下兩參數(shù)Lomax分布中尺度參數(shù)已知時形狀參數(shù)的Bayes估計(jì)，文獻(xiàn)[6]得出了Linex損失函數(shù)下兩參數(shù)Lomax分布中尺度參數(shù)已知時形狀參數(shù)的Bayes估計(jì)及多層Bayes估計(jì)，文獻(xiàn)[7]研究了在Linex損失函數(shù)下兩參數(shù)Lomax分布中形狀參數(shù)的E-Bayes估計(jì)，運(yùn)用MonteCarlo隨機(jī)模擬對各個估計(jì)值進(jìn)行比較，文獻(xiàn)[8]研究了兩參數(shù)Lomax分布次序統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)和漸進(jìn)分布，文獻(xiàn)[9]研究了兩參數(shù)Lomax分布中參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)，文獻(xiàn)[10]討論了CE模型下Lomax分布簡單步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)的極大似然估計(jì)以及參數(shù)的漸進(jìn)方差-協(xié)方差矩陣，給出了基于極大似然估計(jì)漸進(jìn)正態(tài)性的區(qū)間估計(jì)，通過似然比的方法獲得了參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。本文研究了全樣本下，在損傷失效率(TFR)模型下Lomax分布簡單步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)的極大似然估計(jì)和近似區(qū)間估計(jì)，討論了定數(shù)截尾樣本下，Lomax分布簡單步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)下參數(shù)的極大似然估計(jì)和近似區(qū)間估計(jì)。

設(shè)某產(chǎn)品的壽命T服從Lomax分布，其分布函數(shù)與密度函數(shù)分別為

其中:β為尺度參數(shù)，λ為形狀參數(shù)。

1 損傷失效率模型和漸進(jìn)正態(tài)性

文獻(xiàn)[11]提出了損傷失效率(TFR)模型，考慮簡單步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)。在這類試驗(yàn)中，n個產(chǎn)品首先在應(yīng)力S1下進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)持續(xù)到τ1時刻，將試驗(yàn)應(yīng)力水平提高到S2，在時刻τ1之前未失效的產(chǎn)品將在應(yīng)力S2下繼續(xù)進(jìn)行試驗(yàn)，直到全部產(chǎn)品失效，試驗(yàn)停止。假定應(yīng)力變化的結(jié)果是導(dǎo)致開始時失效率函數(shù)λ1(t)乘上與變化點(diǎn)τ1有關(guān)的一個未知因子α(α>1)。記步進(jìn)應(yīng)力壽命時間t*的失效率函數(shù)為γ*(t)，所提議的損傷失效率(TFR)模型為

γ*

因子α與S1和S2有關(guān)，而且有可能和時間變點(diǎn)τ1也有關(guān)。

定理[12]:假設(shè)Θ為開區(qū)間，概率密度函數(shù)f(x;θ),θ∈Θ滿足

1) 在參數(shù)真值θ0的領(lǐng)域內(nèi)，?lnf/?θ,?2lnf/?θ2,?3lnf/?θ3對所有t都存在；

2) 在參數(shù)真值θ0的領(lǐng)域內(nèi)，|?3lnf/?3|≤H(t)，且EH(t)<∞；

3) 在參數(shù)真值θ0處，

2 損傷失效率下Lomax分布在步進(jìn)壽命試驗(yàn)下的統(tǒng)計(jì)分析(全樣本情況)

考慮TFR模型下簡單步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)。在這類試驗(yàn)中，n個產(chǎn)品首先在應(yīng)力S1下進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)持續(xù)到τ1時刻后(其間共有r個產(chǎn)品失效，次序失效時間記為t(1),t(2),…,t(r))，將試驗(yàn)應(yīng)力水平提高到S2，在時刻τ1之前未失效的產(chǎn)品將在應(yīng)力S2下繼續(xù)進(jìn)行試驗(yàn)，直到全部產(chǎn)品失效，試驗(yàn)停止(其次序失效時間記為t(r+1),t(r+2),…,t(n))。

此時，失效率函數(shù)為

γ*

殘存函數(shù)為

密度函數(shù)為

f*

似然函數(shù)為

對數(shù)似然函數(shù)為

lnL(α,λ,β)=lnC++nlnλ+nλlnβ+(n-r)lnα+

λ(α-1)(n-r)ln(τ1+β)-

分別求lnL(α,λ,β)對α、λ、β的偏導(dǎo)數(shù)：

λ=n/(-nlnβ-(n-r)(α-1)ln(τ1+β)+

分別求lnL對α、β、λ的二階偏導(dǎo)數(shù)：

由此可得fisher信息陣為

取置信度為1～δ，則δ的置信區(qū)間為

同理，β的置信區(qū)間為：

λ的置信區(qū)間為：

3 損傷失效率下Lomax分布在步進(jìn)壽命試驗(yàn)下的統(tǒng)計(jì)分析(定數(shù)截尾)

考慮TFR模型下定數(shù)截尾簡單步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)。在這類試驗(yàn)中，n個產(chǎn)品首先在應(yīng)力S1下進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)持續(xù)到τ1時刻后(其間共有r1個產(chǎn)品失效，次序失效時間記為：t(1),t(2),…,t(r1))，將試驗(yàn)應(yīng)力水平提高到S2，在時刻τ1之前未失效的產(chǎn)品將在應(yīng)力S2下繼續(xù)進(jìn)行試驗(yàn)，直到第r個產(chǎn)品失效，試驗(yàn)停止(其次序失效時間記為：t(r1+1),t(r1+2),…,t(r))。

似然函數(shù)為：

對數(shù)似然函數(shù)為：

分別求lnL(α,β,λ)對α、λ、β的偏導(dǎo)數(shù)：

分別求lnL對α、β、λ的二階偏導(dǎo)數(shù)：

由此可得fisher信息陣為

取置信度為1-δ，則δ的置信區(qū)間為

同理，β的置信區(qū)間為

λ的置信區(qū)間為

4 Monte-Carlo算例分析

例1：取樣本容量n=20，參數(shù)真值取為β=0.5，α=1.5，λ=1，τ1=1，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生20 個步進(jìn)應(yīng)力下的隨機(jī)數(shù)如下：

在應(yīng)力1(S1=2)下的失效時間為

0.045 8 0.046 1 0.082 5 0.085 3 0.097 3

0.166 9 0.269 7 0.279 0 0.389 5 0.458 8

0.566 7 0.651 8 0.711 8 0.889 6

在應(yīng)力2(S2=4)下的失效時間為

1.049 3 1.264 9 1.613 0 1.692 3 2.971 7 12.494 4

利用牛頓迭代法可得到參數(shù)的極大似然估計(jì)：

由上面的結(jié)論，得到fisher信息陣為

取置信度為95%，從而得到參數(shù)α的區(qū)間估計(jì)為 (-1.159 5, 4.159 5)，參數(shù)β的區(qū)間估計(jì)為 (-0.799 7, 1.799 7)，參數(shù)λ的區(qū)間估計(jì)為 (-0.784 4, 2.784 4)。

例2：定數(shù)截尾下，使用上例中的數(shù)據(jù)，r1=14，取r=19。

利用迭代方法可得到參數(shù)的極大似然估計(jì)為

由上面的結(jié)論，得到fisher信息陣為

取置信度為95%，從而得到參數(shù)α的區(qū)間估計(jì)為 (-0.035 7, 3.035 7)，參數(shù)β的區(qū)間估計(jì)為 (-0.485 6, 1.485 6)，參數(shù)λ的區(qū)間估計(jì)為 (-0.073 9, 2.073 9)。

5 結(jié)論

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展,人們需要在盡可能短的時間內(nèi)知道產(chǎn)品的品質(zhì)信息。本文討論了在損傷失效率(TFR)模型下，Lomax分布在簡單步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)下的參數(shù)極大似然估計(jì)以及基于漸進(jìn)正態(tài)性的近似區(qū)間估計(jì)，并用Monte-Carlo法模擬數(shù)據(jù)，計(jì)算了參數(shù)的極大似然估計(jì)和近似區(qū)間估計(jì)。得到如下結(jié)論：步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)確實(shí)可以縮短試驗(yàn)時間；在步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)下得到的參數(shù)估計(jì)依舊很準(zhǔn)確；基于漸進(jìn)正態(tài)性的近似區(qū)間估計(jì)能夠很好的包含極大似然估計(jì)。

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(責(zé)任編輯 唐定國)

The Failure Mode of Step Stress Accelerated Life Testing for Lomax Distribution Based on Tampered Failure Rate Model

HE Yang1，2, WANG Ronghua1, XU Xiaoling2

(1.Mathematics and Science College，Shanghai Normal University, Shanghai 200030, China;2.School of Statistics and Information, Shanghai University of International Business and Economics, Shanghai 200030, China)

This paper uses the step stress accelerated life testing for Lomax distribution to reduce the testing time and make sure of the accuracy of the data. Based on tampered failure rate(TFR) model, this paper discusses the failure mode of step stress accelerated life testing for Lomax distribution based on complete sample and type I censoring sample respectively, and discusses the maximum likelihood estimation of parameter and approximate interval estimation based on asymptotic normality. In the end, this paper produces samples by the Monte-Carlo method, and calculates the maximum likelihood estimations and approximate interval estimations of parameters under different situation by Newton iteration method.

Lomax distribution; step stress; tampered failure rate model; asymptotic normality; maximum likelihood estimation; Monte-Carlo simulation

10.11809/scbgxb2017.07.038

2017-03-10；

2017-04-10

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11671264)

和陽(1991—)，男，碩士研究生，主要從事可靠性統(tǒng)計(jì)研究。

format:HE Yang, WANG Ronghua, XU Xiaoling.The Failure Mode of Step Stress Accelerated Life Testing for Lomax Distribution Based on Tampered Failure Rate Model[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(7):176-179.

O213.2

A

2096-2304(2017)07-0176-04

本文引用格式：和陽，王蓉華，徐曉嶺.損傷失效率下Lomax分布在步進(jìn)試驗(yàn)下的統(tǒng)計(jì)分析[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2017(7):176-179.