常微分方程課程建設(shè)與教學(xué)改革

李文娟

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

1 常微分方程的發(fā)展及其重要意義

常微分方程是17世紀與微積分同時誕生的一門理論性極強且應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科之一.早期對常微分方程的研究以求通解為主要內(nèi)容，基本上是理論基礎(chǔ)的建立.之后，人們發(fā)現(xiàn)不是所有方程的通解都可以用積分的手段求出的.由此將人們在求通解的研究中解放出來，轉(zhuǎn)而開始了對常微分方程定解的深入研究，并取得了極大的成績.在對常微分方程有了比較深入且廣泛的研究之后，人們開始追逐常微分方程的解析理論.隨著對常微分方程的解析理論取得了成果，在對常微分方程解的研究的日趨成熟，微分方程進入了定性和穩(wěn)定理論研究階段，并逐漸地演變成為一門理論性極強的數(shù)學(xué)學(xué)科.微分方程有深刻而生動的實際背景，它從生產(chǎn)實踐與科學(xué)技術(shù)中產(chǎn)生，而又成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中分析問題與解決問題的一個強有力工具.常微分方程是數(shù)學(xué)的一個重要分支，是高校本科數(shù)學(xué)專業(yè)的一門基礎(chǔ)課程，是學(xué)習(xí)偏微分、數(shù)學(xué)模型、控制論的基礎(chǔ).近半個多世紀以來，隨著計算機技術(shù)的迅速發(fā)展，常微分方程的應(yīng)用不僅在工程技術(shù)、自然科學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用，而且以空前的廣度和深度向經(jīng)濟、管理、金融、生物、醫(yī)學(xué)、環(huán)境、地質(zhì)、人口、交通等新的領(lǐng)域滲透，已經(jīng)成為當代高新技術(shù)的重要組成部分.

2 赤峰學(xué)院常微分方程課程發(fā)展現(xiàn)狀

近幾十年來動力系統(tǒng)及非線性科學(xué)得到了迅猛發(fā)展,極大地促進了力學(xué)、物理學(xué)、生物、地理學(xué)、機械工程、通訊工程、電力工程和航空航天技術(shù)的發(fā)展.在新世紀里,我們需要造就一批在動力系統(tǒng)及非線性科學(xué)領(lǐng)域不斷開拓前行、能夠?qū)⑦@方面新理論新方法同工程實踐相結(jié)合的人才.這將是新世紀理科數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)的任務(wù).這對動力系統(tǒng)及非線性科學(xué)起奠基性作用的課程“常微分方程”提出了新的要求.遺憾的是在新形勢下對微分方程的教學(xué)改革略顯黯淡，基于赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)課程的教學(xué)實際和應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式，對微分方程教學(xué)進行了探索.近年來，本課程組在敖恩老師的帶領(lǐng)下不斷加強師資和教學(xué)條件的建設(shè)，努力搞好教學(xué)和教改工作，提高教學(xué)和科研水平.現(xiàn)在常微分方程課程已成為我院的“優(yōu)秀課程”.本課程組在敖恩老師的帶領(lǐng)下向“精品課程”的方向努力.

2.1 師資隊伍狀況

《常微分方程》課程組現(xiàn)有教師5名.副教授3名，講師2名，博士研究生1名，課程組長多次被評為優(yōu)秀教師.課程組成員能較好的運用計算機的各類軟件來輔助教學(xué).每名教師能開兩門以上的課程.課程組的成員在核心刊物發(fā)表多篇論文，其中多篇被EI、SCI、美國數(shù)學(xué)評論檢索.

2.2 教學(xué)條件

本課程組把全國統(tǒng)編的《常微分方程》教學(xué)大綱與本院的實際情況相結(jié)合形成自編的教學(xué)大綱.改編后的大綱既符合全國大綱的要求又能切合本校學(xué)生的實際情況.本課程組制定的教學(xué)計劃是根據(jù)不同的培養(yǎng)目標（蒙本、漢本、計算機專業(yè)）制定不同的教學(xué)計劃，并嚴格按照計劃執(zhí)行進度表，完成任務(wù).教學(xué)手段采取板書與多媒體輔助教學(xué).還有齊備的試題庫、課后題解庫、學(xué)習(xí)指導(dǎo)書等.

3 教學(xué)方法與教學(xué)模式的改革

3.1 構(gòu)建模塊式的教學(xué)模式

本課程組現(xiàn)用教材共六章內(nèi)容.為照顧不同層次學(xué)生，確保教學(xué)質(zhì)量，在新大綱要求下，主講前四章對后兩章進行泛講.優(yōu)化組合章節(jié)內(nèi)容，各章節(jié)內(nèi)容中有方法相同的或相似的內(nèi)容，安排在一起，這樣可以提高教學(xué)效果，節(jié)省教學(xué)學(xué)時.例如第三章一階微分方程組與第四章n階線性微分方程許多定理和公式可以共用的.（因為n階線性微分方程是一階微分方程組的特例）.因此把教學(xué)內(nèi)容分成模塊易于教學(xué).基礎(chǔ)模塊:(模塊一:初等積分法、模塊二：基本定理、模塊三：一階微分方程組、模塊四：n階線性微分方程).拓展模塊(模塊五：定性簡介與穩(wěn)定性理論,模塊六:一階偏微分方程初步).基本模塊面向全體學(xué)生，拓展模塊面向?qū)Ρ菊n程特別感興趣的學(xué)生.

3.2 整合教材內(nèi)容

先進的基礎(chǔ)教材能夠使學(xué)生順利地進入其后的現(xiàn)代專業(yè)理論的學(xué)習(xí)而進行前沿性研究.教材的先進性還必須體現(xiàn)在它有很好的可讀性,要有清澈的理論,準確的語言,明晰的脈絡(luò),使全書顯得簡練、生動而明達,不感到冗繁而艱澀.合理選擇教科書和參考書是搞好教學(xué)改革比較關(guān)鍵的一環(huán).學(xué)生的創(chuàng)新意識首先是從主動查閱文獻開始.根據(jù)我院學(xué)生的實際情況,以東北師范大學(xué)編寫的《常微分方程》為教材,王高雄等編的《常微分方程》作為主要參考用書.本課程組認為,常微分方程課程以基礎(chǔ)模塊（模塊一:初等積分法.模塊二：基本定理.模塊三：一階微分方程組.模塊四：n階線性微分方程）為主要教學(xué)內(nèi)容.對一些證明難度較大的定理,例如解對初值的連續(xù)依賴性和可微性定理,只介紹條件結(jié)論,不作證明.這是因為對我校學(xué)生而言這些定理的證明在學(xué)習(xí)上有一定的難度,即使詳細講解,教學(xué)效果也不理想.拓展模塊(模塊五：定性簡介與穩(wěn)定性理論,模塊六:一階偏微分方程初步)面向一些對本課程特別感興趣的學(xué)生.

3.3 采用多樣化教學(xué)方式,利用啟發(fā)式師生互動教學(xué)

采用多樣化教學(xué)方式，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性是提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵.自常微分方程立項為校級優(yōu)秀課程以來，在教學(xué)方法上我們做了如下改革：板書與多媒體課件相結(jié)合.為體現(xiàn)該課程在理論方法與建模、計算機軟件相互滲透，提高學(xué)生知識的運用能力，在學(xué)習(xí)第一章第八節(jié)時，結(jié)合我院數(shù)學(xué)軟件Matlab的教學(xué)，在方程的求解與解的繪圖時設(shè)計了一些上機習(xí)題.這種改革，即可以應(yīng)用板書來解決數(shù)學(xué)推理時思維的“時滯現(xiàn)象”，也可應(yīng)用多媒體更好地展示圖形來研究解的性態(tài).選擇部分簡單的教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下備課、講課.由于我校是師范院校，將來會有一大批學(xué)生從事教學(xué)工作，所以他們的積極性會很高，反映良好.這樣還可以提高他們的積極性，開發(fā)他們的分析思維能力.可以使學(xué)生由被動接受向主動好學(xué)轉(zhuǎn)變.引導(dǎo)他們自己得出一些重要結(jié)論，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

3.4 教學(xué)科研相結(jié)合,學(xué)術(shù)前瞻

課程組既注重教學(xué)大綱的要求又注重與本學(xué)科相關(guān)的科研方向的結(jié)合,使學(xué)生通過這門課程的學(xué)習(xí)對學(xué)科的前沿知識有一定的了解.在教學(xué)的最后環(huán)節(jié)用少量的課時和學(xué)術(shù)講座把第五章定性和穩(wěn)定性理論簡介及第六章一階偏微分方程初步介紹給學(xué)生,使學(xué)生學(xué)到的知識具有學(xué)術(shù)前瞻性,留給學(xué)生一些探索與發(fā)展的空間.讓課程的結(jié)束成為他們深入鉆研的開始,吸引他們繼續(xù)在這一領(lǐng)域前行.也為他們將來的考研或?qū)W術(shù)研究打好基礎(chǔ).

3.5 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識數(shù)學(xué)建模是一種途徑

隨著全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽不斷受到社會關(guān)注，常微分作為基礎(chǔ)課程得到更廣泛的應(yīng)用.講課時選取一些小的微分方程模型，如單擺方程、生態(tài)學(xué)中的生物種群模型等穿插在教學(xué)中，讓學(xué)生從實際問題出發(fā)，建立微分方程，運用微分方程的知識解方程，并對發(fā)生的現(xiàn)象作出解釋.例如在講變量分離法時，可以讓學(xué)生運用所學(xué)的微分方程建立馬爾薩斯人口模型，并用變量分離法求解該模型，利用所得結(jié)果對人口的發(fā)展做一個預(yù)期的推測.還有物體的冷卻問題:桌上一杯滾燙的水，什么時間后可以喝.類似這樣一些簡單的方程模型可以解決一些實際問題.引導(dǎo)學(xué)生建立各式各樣的數(shù)學(xué)模型,并提出求解的思想和方法,獲得具體問題的解,再反過來解釋這些問題.這樣不僅使學(xué)生感受到微分方程的魅力，還有助于提高學(xué)生解決實際問題的能力和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

3.6 考核方式的改革

多數(shù)高校的考核方式如下：綜合成績=平時成績30%+期末成績70%或綜合成績=平時成績40%+期末成績60%.平時成績包括課堂表現(xiàn)、遲到、早退、曠課、作業(yè)等.為了使學(xué)生平時就努力學(xué)習(xí),不臨考前突擊應(yīng)付考試,為了使考試能更加科學(xué)的反應(yīng)學(xué)生的真實能力，為了使學(xué)生能更好的融會貫通所學(xué)的知識，需要在平時教學(xué)中做好階段性測試，注意學(xué)生平時作業(yè)的表現(xiàn).本課程組的考核方式如下：綜合成績=平時成績30%+期中成績35%+期末成績35%.平時成績包括遲到、早退、曠課、課堂表現(xiàn)、課外作業(yè).(如學(xué)生遲到、早退、曠課、課堂表現(xiàn)不佳、課外作業(yè)不按時完成,則扣分.)這種考核方式的優(yōu)勢在實踐中已初見端倪.

4 結(jié)束語

隨著動力系統(tǒng)和非線性科學(xué)的迅猛發(fā)展，本人在教學(xué)的過程中體會到作為一名教師應(yīng)與時俱進，不斷提升自身的教學(xué)素養(yǎng).針對本課程特點，轉(zhuǎn)變陳舊的教學(xué)觀念，用發(fā)展的眼光革新教學(xué)內(nèi)容與方法.不但教學(xué)生會學(xué)，還培養(yǎng)學(xué)生會用、會教的能力.

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〔3〕周玉興,蔣心學(xué),韋新.《常微分方程》課程教學(xué)改革的探討.

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