3×n階蛛網(wǎng)等效電阻猜想的證明

湯 華譚志中

（1運(yùn)河高等師范學(xué)校，江蘇邳州 221300；2南通大學(xué)理學(xué)院，江蘇南通 226007）

3×n階蛛網(wǎng)等效電阻猜想的證明

湯 華1譚志中2

（1運(yùn)河高等師范學(xué)校，江蘇邳州 221300；2南通大學(xué)理學(xué)院，江蘇南通 226007）

本文應(yīng)用基爾霍夫節(jié)點(diǎn)電流定律和回路電壓定律，建立了3元矩陣方程模型，構(gòu)造了矩陣變換方法，經(jīng)過一系列嚴(yán)格的推導(dǎo)與計(jì)算，較好地證明了3×n階蛛網(wǎng)等效電阻猜想的正確性，同時(shí)給出了3×n階蛛網(wǎng)等效電阻公式．通過比較分析進(jìn)一步給出了3×n階蛛網(wǎng)在無限情形時(shí)的等效電阻公式，并且探討了3×n階蛛網(wǎng)等效電阻的單調(diào)性質(zhì)．

3×n階蛛網(wǎng)；猜想證明；基爾霍夫定律；等效電阻；矩陣方程模型

電阻網(wǎng)絡(luò)模型的建立與研究已有一百多年歷史［1］．1845年，德國物理學(xué)家基爾霍夫（1824—1887年）創(chuàng)立了節(jié)點(diǎn)電流定律和回路電壓定律，自此，人類開始了對電阻網(wǎng)絡(luò)模型的研究，并通過其解決許多抽象和復(fù)雜的科學(xué)問題［1－13］．目前，利用構(gòu)建電阻網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行模擬研究已成為解決一系列科學(xué)問題的基本方法［2－13］．對自然界中石墨烯網(wǎng)絡(luò)的研究、一些金屬化合物晶體或非金屬晶體結(jié)構(gòu)的研究、多鐵性磁電材料結(jié)構(gòu)的研究、富勒烯C60的結(jié)構(gòu)及納米碳管結(jié)構(gòu)的研究［4］，等等，都可能需要通過構(gòu)建電阻網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行模擬研究．而復(fù)雜電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻公式的獲得則是一個(gè)跨學(xué)科的科學(xué)難題，不僅需要電路理論知識(shí)，而且需要數(shù)學(xué)理論與方法的創(chuàng)新［2－13］．因此，電阻網(wǎng)絡(luò)模型的建立與研究不僅具有理論指導(dǎo)意義，而且具有很高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值．

在平面電阻網(wǎng)絡(luò)模型的研究中，根據(jù)不同的分類方法，可以將平面網(wǎng)絡(luò)分為平面矩形網(wǎng)絡(luò)［2－4］和平面多邊形網(wǎng)絡(luò)［4－8］，平面矩形網(wǎng)絡(luò)的研究已經(jīng)取得了不少成果，如文獻(xiàn)［1－4］、文獻(xiàn)［9－13］等的研究工作．一般平面多邊形網(wǎng)絡(luò)等效電阻的研究才剛剛開始．通常稱圖1為多邊形電阻網(wǎng)絡(luò)模型，文獻(xiàn)［6］第一次對任意多邊形電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻RAO（n）的公式實(shí)行了統(tǒng)一建構(gòu)，取得了新的進(jìn)展．隨著對電阻網(wǎng)絡(luò)研究的不斷深入，文獻(xiàn)［4］、文獻(xiàn)［8］給出了m×n階蛛網(wǎng)模型的定義．按照網(wǎng)格的數(shù)量來定義網(wǎng)絡(luò)的階數(shù)，通常稱圖1為最簡單的1×n階蛛網(wǎng)模型，而稱圖2的結(jié)構(gòu)為3×n階蛛網(wǎng)模型（又稱有心蛛網(wǎng)模型）．該結(jié)構(gòu)有3個(gè)相似的多邊形，多邊形的邊數(shù)為n，多邊形的角點(diǎn)與中心相連成蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)［8］在研究2×n階蛛網(wǎng)等效電阻普適公式時(shí)提出了一個(gè)任意m×n階蛛網(wǎng)模型的等效電阻猜想．

猜想：對于任意m×n階蛛形網(wǎng)絡(luò)，設(shè)多邊形邊上的單元電阻為r，半徑上的單元電阻為r0，則m×n階蛛網(wǎng)的等效電阻公式為

其中，m＝1，2，…，n＝0，1，2，…，并且

其中，h＝r／r0，coth（x）是雙曲余切函數(shù)．

式（1）不僅形式優(yōu)美與對稱，而且是由（2k－1）π／（2m＋1）的三角函數(shù)表示的規(guī)律，是一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象．本文擬初步證明猜想公式（1）在m＝3情形時(shí)的正確性，證明過程如下．

1 矩陣方程模型與電流規(guī)律

在圖2所示的3×n階電阻蛛網(wǎng)模型中，存在3個(gè)相似的多邊形，設(shè)多邊形的邊數(shù)為n（n＝2，3，4，…），相應(yīng)的角點(diǎn)數(shù)也為n．設(shè)3個(gè)多邊形的所有邊上的單元電阻值均為r，半徑AkBk之間、BkCk之間和半徑CkO之間的單元電阻值均為r0，研究計(jì)算Ak與O兩節(jié)點(diǎn)間的等效電阻公式．為研究方便，記圖2中的多邊形的點(diǎn)頂為Ak（沿順時(shí)針k＝1，2，3，…，n）和邊上電阻為rk（k＝1，2，3，…，n）．

根據(jù)網(wǎng)絡(luò)分析方法，設(shè)在電阻網(wǎng)絡(luò)中通入恒定電流I，電流從A1輸入至O輸出．為便于研究，將圖2的電阻網(wǎng)絡(luò)重新表示成圖3所示的含有電流參數(shù)及其方向的子電阻網(wǎng)絡(luò)模型．記AkAk＋1之間、BkBk＋1之間、CkCk＋1之間的電阻r上通過的電流分別為Iak、Ibk、Ick（1≤k≤n），半徑AkBk之間、BkCk之間、CkO之間的電阻r0上通過的電流分別為Ik、I′k、I″k（1≤k≤n）．

在圖3中，應(yīng)用基爾霍夫節(jié)點(diǎn)電流定律和回路電壓定律可以得到一個(gè)三元矩陣方程模型［4］：

其中，r／r0＝h．如何求解矩陣方程（4）是解決問題的關(guān)鍵，若采用消元法，將使問題變得更加復(fù)雜．本文構(gòu)造了矩陣變換方法，通過重新構(gòu)建新的矩陣方程模型，給出了巧妙的間接求解方法．將式（4）左乘一個(gè)三階待定矩陣A得

設(shè)待定矩陣A為

使得存在下列恒等式

將式（7）的左端和右端按照矩陣乘法展開，并且根據(jù)式（7）的矩陣左右對應(yīng)項(xiàng)相等得到

其中，p1，p2，p3，q1，q2，q3，t1，t2，t3分別是關(guān)于p，q，t的方程的根（三次方程的根）．由式（8）～式（10）消元得到

根據(jù)文獻(xiàn)［4］構(gòu)造的倍冪方法，解一元三次方程式（11）得

所以由式（8）～式（12）解得

由此可以將矩陣方程式（4）轉(zhuǎn)化成新的矩陣方程

其中約定

由矩陣方程式（16）得矩陣差分方程的特征方程

設(shè)關(guān)于x，y，z的方程的兩組根分別為λ1，λ－1，λ2，λ－2，λ3，λ－3，解方程式（17）得到

其中，i＝1，2，3，式（18）即為方程（17）的三組特征根．

根據(jù)文獻(xiàn)［4］、文獻(xiàn)［9］建立的解二階差分方程的方法，解差分方程式（15）得到

其中，k＝1，2，3，…，k≤n＋1．式（19）即為3×n階電阻網(wǎng)絡(luò)中的電流在任意網(wǎng)絡(luò)元電阻上的分布規(guī)律．

2 邊界電流的通用規(guī)律

當(dāng)電流從A1輸入至O輸出時(shí)，邊界電流關(guān)系如圖4所示．由圖4應(yīng)用基爾霍夫節(jié)點(diǎn)電流定律和回路電壓定律可得到關(guān)于邊界電流的矩陣方程模型［4］

其中，h＝r／r0．

對式（20）進(jìn)行矩陣變換，將式（20）左乘一個(gè)式（6）的已知矩陣A，得到

這里使用了ti＝λi＋λ－i（i＝1，2，3）．

根據(jù)圖2、4的電路結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，由于多邊形的頂點(diǎn)數(shù)為n，所以根據(jù)對稱性與循環(huán)性分析，必然有In＋1＝I1，I′n＋1＝I′1，I″n＋1＝I″1，所以令式（19）中k＝n＋1得到

將式（21）代入式（22）化簡解得

式（23）即為3×n階蛛形網(wǎng)絡(luò)的邊界電流的通用公式．

3 等效電阻RAO（）n的通用公式

顯然，要計(jì)算等效電阻RAO（）n就必須計(jì)算出初始電流值．根據(jù)式（16）得到

據(jù)此通過對式（25）中的逆矩陣計(jì)算能夠得到（應(yīng)用文獻(xiàn)［10］中建立的理論）

式（26）由式（25）、式（11）及qi＝－1，p1＋p2＋p3＝1，＝5得到．

將式（23）、式（26）代入式（24）得

根據(jù)雙曲余切函數(shù)的定義，由于λi·λ－i＝1，所以能夠得到

所以式（27）可以重新寫成

式（27）或式（29）即為A，O兩節(jié)點(diǎn)間的等效電阻RAO（）n的通項(xiàng)表達(dá)式．該式對一切自然數(shù)n＝3，4，5，…均成立．此即證明了猜想公式（1）在m＝3時(shí)成立．

通過使用研究與計(jì)算機(jī)模擬研究，還可得到如下數(shù)據(jù)

根據(jù)這些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)h＝r／r0固定時(shí)，隨著階數(shù)n的增大等效電阻隨之減??；當(dāng)階數(shù)n固定時(shí)，隨著h＝r／r0的增大等效電阻隨之增大．

以上這些數(shù)據(jù)驗(yàn)證了理論值與實(shí)驗(yàn)結(jié)論的完全一致．

4 具體討論與比較

4.1 無窮蛛形網(wǎng)絡(luò)的等效電阻

當(dāng)n→∞時(shí)，定義圖2為無窮3×n階蛛網(wǎng)模型．其無窮蛛網(wǎng)的等效電阻可以由式（27）或式（29）取極限獲得．因?yàn)椋?，所以＝1（i＝1，2，3），所以由式n（29）取極限獲得

由以上結(jié)論可以看出，無窮3×n階蛛網(wǎng)模型的等效電阻為有限常數(shù)，與特征方程（17）的根有關(guān)．

4.2 等效電阻RAO（）n的單調(diào)性質(zhì)

其中，2≤n≤∞，RAO（2）由式（24）或?qū)嶋H電路計(jì)算得到，RAO（∞）由式（30）給出．

當(dāng)h＝r／r0＝1時(shí)，RAO（∞）＝0．73666r，依據(jù)公式（29）用計(jì)算機(jī)繪制的RAO（n）隨n的遞變關(guān)系，如圖5所示．從圖5可以看出，當(dāng)取n＞ 20時(shí)，發(fā)現(xiàn)RAO（n）→RAO（∞）≈0．7367r．所以當(dāng)取n＞20時(shí)，可以近似地取RAO（∞）＝0．7367r．

5 結(jié)語

本文根據(jù)嚴(yán)格的理論計(jì)算，證明了3×n階電阻蛛網(wǎng)在有限情形和無窮情形時(shí)的等效電阻公式，并且發(fā)現(xiàn)其等效電阻隨階數(shù)n的增大而遞減．式（1）、式（30）不僅形式優(yōu)美與對稱，而且是由（2k－1）π／（2m＋1）的三角函數(shù)表示的規(guī)律，是一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象．本文以m＝3為例初步證明了猜想公式（1）的正確性，但要完全證明該猜想還需要解決一些相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，這是未來進(jìn)一步研究的課題．

［1］ Kirchhoff G．über die Aufl?sung der Gleichungen，auf welche man bei der untersuchung der linearen verteilung galvanischer Str?me geführt wird．Annalen für der Physik und der Chemie．1847：497－508．

［2］ 譚志中，羅達(dá)峰．4×n階網(wǎng)絡(luò)的2個(gè)等效電阻公式［J］．南通大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，10（3）：87－94．

［3］ 湯華，譚志中．n階網(wǎng)絡(luò)任意節(jié)點(diǎn)的等效電阻研究［J］．大學(xué)物理，2012，31（11）：18－22．

［4］ 譚志中．電阻網(wǎng)絡(luò)模型［M］．西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2011：6－126．

［5］ 李建新，劉栓江．規(guī)則聯(lián)接的多邊形電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻研究［J］．大學(xué)物理，2008，27（11）：24－26．

［6］ 譚志中，陸建?。噙呅坞娮杈W(wǎng)絡(luò)等效電阻的統(tǒng)一建構(gòu)［J］．河北師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，35（2）：140－144．

［7］ 譚志中．加強(qiáng)型多邊形電阻或電容網(wǎng)絡(luò)的等效值研究［J］．大學(xué)物理，2011，30（12）：29－32．

［8］ 譚志中．2×n階蛛網(wǎng)模型的等效電阻公式及兩個(gè)猜想［J］．大學(xué)物理，2013，32（4）：16－27．［9］ 譚志中．二階方陣N次冪的普適公式與應(yīng)用［J］．南通大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，11（1）：50－58．

［10］ 譚志中．關(guān)聯(lián)電阻網(wǎng)絡(luò)的一些三角恒等式［J］．南通大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，12（1）：87－94．

［11］ Wu F Y．Theory of resistor networks：the two－point resistance［J］．J．Phys．A：Math．Gen．37（2004）6653－6673．

［12］ Gabelli J，F(xiàn)ève G，Berroir J－M，et al．Violation of Kirchhoff's laws for a coherent RC circuit［J］．Science 2006：499－502．

［13］ Osterberg P M，Inan A S．Impedance between adjacent nodes of infinite uniform D－dimensional resistive lattices［J］．American Journal of Physics 2004：972－973．

THE PROOF OF THE SUSPECT OF 3×n ORDER COBWEB EQUIVALENT RESISTANCE

Tang Hua1Tan Zhizhong2

（1Yunhe Normal College，Pizhou，Jiangsu 221300；2School of Science，Nantong University，Nantong，Jiangsu 226007）

Based on the application of Kirchhoff’s current law of nodes and the voltage of circuit，a three－degree matrix equation model was established，and the method of matrix transformation was constructed．Through a series of strict deduction and calculation，the suspect of 3×n order cobweb equivalent resistance was proved well in this paper．Meanwhile，the equivalent resistance formula of 3×norder cobweb was given．Then the equivalent resistance formula of 3×norder cobweb in infinite condition was given through further comparative analysis，and the monotone property of 3×norder cobweb equivalent resistance was discussed．

3×norder cobweb；proof of suspect；Kirchhoff’s law；equivalent resistance；ma－trix equation model

2014－02－14

江蘇省“青藍(lán)工程”資助．

湯華，女，副教授，主要從事理論物理研究與物理教學(xué)研究工作．tanghuaz＠126．com