磁場中三維各向異性諧振子哈密頓量的對角化

李鳳敏

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

磁場中三維各向異性諧振子哈密頓量的對角化

李鳳敏

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

當(dāng)三維各向異性諧振子處在一個(gè)任意方向的磁場中后，諧振子之間出現(xiàn)耦合．這些耦合諧振子的海森伯運(yùn)動(dòng)方程能夠?qū)懗深愃朴谘Χㄖ@方程的形式．通過一定的變換可以使海森伯運(yùn)動(dòng)方程解耦合，利用這些結(jié)果也可以使哈密頓量對角化，進(jìn)而得到系統(tǒng)的能量本征值和體系的本征態(tài)．同時(shí)給出了坐標(biāo)和動(dòng)量的矩陣元以及量子漲落．

量子力學(xué)；諧振子；磁場；海森伯運(yùn)動(dòng)方程

在量子力學(xué)中，求解薛定諤方程時(shí)往往需要將哈密頓量對角化．例如對于耦合諧振子體系，許多文獻(xiàn)中就進(jìn)行了相關(guān)的研究［1－6］．在這些研究中，直接運(yùn)用一些變換使哈密頓量對角化．但是對于復(fù)雜的耦合情況，尋找變換的形式有時(shí)比較困難．哈密頓量的對角化意味著運(yùn)動(dòng)方程的對角化．因此，我們也可以從量子力學(xué)的海森伯運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，研究體系的對角化問題．先將耦合的運(yùn)動(dòng)方程解耦合，然后再對哈密頓量對角化．與直接對哈密頓量進(jìn)行數(shù)學(xué)變換使之對角化的方法相比，這種手段會(huì)更加突出處理問題的物理圖像，并且手段也會(huì)變得比較普適．諧振子勢在許多方面都有重要的應(yīng)用，例如低溫下的玻色愛因斯坦凝聚［7，8］，分子振動(dòng)［9］，量子光學(xué)［10］等．除了諧振子之外，帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)也是十分重要和基本的問題．帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生霍爾效應(yīng)，以及量子霍爾效應(yīng)［11］．本文討論磁場中的三維各向異性帶電諧振子．磁場的存在可以使諧振子之間產(chǎn)生耦合，形成耦合體系．

1 磁場中的三維各向異性諧振子

考慮磁場中3個(gè)質(zhì)量相同，頻率不同，各向異性帶電諧振子量子系統(tǒng)．其哈密頓量表達(dá)式為

式中，A＝（A1，A2，A3）＝B0×r／2；r＝（x1，x2，x3）是磁場的矢勢；B0是均勻磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度；q是粒子所帶的電荷；m，ωj（j＝1，2，3）分別是諧振子的質(zhì)量和頻率．這里p1，p2，p3是正則動(dòng)量算符．坐標(biāo)算符與正則動(dòng)量算符之間的對易關(guān)系為（j，k＝1，2，3）：［xj，xk］＝0，［pj，pk］＝0，［xj，pk］＝ihδjk．為簡化計(jì)算，引入符號(hào)P1＝p1－qA1，P2＝p2－qA2，P3＝p3－qA3，得到的對易關(guān)系

由于各量P1，P2，P3之間非對易，由此看出磁場的存在形成非對易空間．當(dāng)勢能不顯含時(shí)間，由海森伯運(yùn)動(dòng)方程［12］dF／dt＝［F，H］／（ih），可得

顯然海森伯運(yùn)動(dòng)方程可以寫成矩陣形式．引入符號(hào)：y1＝mω1x1，y2＝mω2x2，y3＝mω3x3，矩陣的具體形式如下

可以看出該方程與薛定諤方程形式類似，其中矩陣

不難看出A為厄密矩陣，即滿足A?＝A．設(shè)A的本征值方程為：Aχ＝λχ．本征值λ滿足：，其中I為單位矩陣．根據(jù)線性代數(shù)理論，通過解下列行列式即可求得本征值λ的數(shù)值，

經(jīng)過一定的運(yùn)算，得到本征值滿足的方程

當(dāng)磁場不存在，即B0＝0時(shí)，可得本征值λ1＝－λ2＝ω1，λ3＝－λ4＝ω2，λ5＝－λ6＝ω3，即系統(tǒng)退化為3個(gè)自由諧振子．而當(dāng)ω1＝ω2＝ω3＝0時(shí)，由方程（7）可得λ＝±qB0／m，此即為帶電粒子在磁場中的回旋頻率．

令β＝λ2，方程（7）能夠?qū)懗?/p>

其中，常量a，b，c的取值分別為

由代數(shù)知識(shí)可知其解［13］為

其中，j＝1，2，3．根據(jù)式（7）、式（9）得到矩陣A的6個(gè)本征值為：．下面分別求出對應(yīng)于λj，j＝1，2，3，4，5，6的本征矢．設(shè)矩陣A的本征矢為：＝（A1j，A2j，A3j，A4j，A5j，A6j）．將χj代入本征值方程Aχj＝λjχj，得到各系數(shù)之間的關(guān)系

解上述聯(lián)立方程組（11）可得

矩陣Λ是對角化的形式，Λ的矩陣元是矩陣A的本征值．將該式代入方程（4），可以使運(yùn)動(dòng)方程解耦合．應(yīng)用式（14），海森伯運(yùn)動(dòng)方程（4）成為如下形式

各算符a?j，aj之間已經(jīng)沒有耦合，換句話說原來的海森伯運(yùn)動(dòng)方程已經(jīng)解耦合．經(jīng)過一定的運(yùn)算，哈密頓量H可以寫成

其中，量子數(shù)nj取值為：nj＝0，1，2，3，…．算符a＋j，aj作用在相關(guān)本征態(tài)上的結(jié)果為

計(jì)入時(shí)間演化因子后，體系的本征態(tài)為

其中能量本征值為

接下來，利用得到的本征態(tài)計(jì)算坐標(biāo)和動(dòng)量的矩陣元，并且討論相應(yīng)的經(jīng)典近似．

2 坐標(biāo)和動(dòng)量的矩陣元及經(jīng)典近似

在討論量子與經(jīng)典的對應(yīng)問題時(shí)，常用到玻爾對應(yīng)原理及海森伯對應(yīng)原理．玻爾對應(yīng)原理指出，當(dāng)量子數(shù)很大時(shí)，量子體系的行為過渡到經(jīng)典體系的情況．而海森伯對應(yīng)原理則指出，在大量子數(shù)極限下，量子力學(xué)的矩陣元是經(jīng)典物理量的傅里葉展開系數(shù)．換句話說，物理量可能矩陣元之和給出經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程的解，即如果定義一個(gè)量那么該量在經(jīng)典近似下應(yīng)當(dāng)給出經(jīng)典解．式中，F(xiàn)是物理量所對應(yīng)的厄米算符．下面應(yīng)用海森伯對應(yīng)原理討論磁場中的三維各向異性諧振子的坐標(biāo)和動(dòng)量的矩陣元及量子經(jīng)典對應(yīng)關(guān)系，同時(shí)計(jì)算坐標(biāo)和動(dòng)量的量子漲落．

對方程（14）兩邊左乘矩陣S可得如下結(jié)果：

由此容易得到

下面計(jì)算坐標(biāo)算符y1和動(dòng)量算符P1的可能矩陣元之和

由于y1（t）和P1（t）是厄米算符，所以有ak1＝a＊k2，ak3＝a＊k4，ak5＝a＊k6，k＝1，2，3，…，6．利用此關(guān)系，式（26）可以簡寫為

顯然當(dāng)n1，n2，n3→∞時(shí)，坐標(biāo)y1和動(dòng)量算符P1可能的矩陣元之和變成如下形式

同樣可以得出當(dāng)n1，n2，n3→∞時(shí)，y2，y3和P2，P3可能的矩陣元之和的表達(dá)式．從式（27）、式（28）可以看出，當(dāng)量子數(shù)n有限時(shí)，坐標(biāo)和動(dòng)量的矩陣元均為復(fù)數(shù)．但是，當(dāng)n→∞時(shí)，二者都變成實(shí)數(shù)，即體系從量子態(tài)過渡到經(jīng)典諧振子系統(tǒng)．經(jīng)過一定的運(yùn)算可以驗(yàn)證，經(jīng)典近似的結(jié)果滿足經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程．

對于本征態(tài)式（22），相關(guān)物理量的量子漲落為

作為特例，當(dāng)磁場不存在時(shí)，即B0＝0，由方程（11）及可求得當(dāng)λ1＝ω1時(shí)，＝（2n1＋1）／2，同樣可以算出其他兩個(gè)坐標(biāo)和動(dòng)量的漲落．由此看出當(dāng)外磁場不存在時(shí)，諧振子之間的耦合消失．

3 結(jié)語

對于任意方向磁場中的三維各向異性諧振子，得到了對角化的哈密頓量形式以及體系的能級(jí)和本征態(tài)．磁場的存在使得3個(gè)諧振子耦合了起來．求解耦合諧振子的薛定諤方程時(shí)，很多做法是直接將哈密頓量對角化．為了突出物理圖像，本文從運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)對哈密頓量對角化．耦合諧振子的海森伯運(yùn)動(dòng)方程能夠?qū)懗深愃朴谘Χㄖ@方程的形式．然后采取一定的變換使海森伯運(yùn)動(dòng)方程解耦合，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)哈密頓量的對角化，最后得到薛定諤方程的解．文章同時(shí)對體系的量子和經(jīng)典對應(yīng)問題進(jìn)行了討論．在經(jīng)典近似情況下，量子力學(xué)的矩陣元給出經(jīng)典解．

［1］ 凌瑞良，馮金福．質(zhì)量與頻率均含時(shí)的耦合諧振子的嚴(yán)格波函數(shù)［J］．物理學(xué)報(bào)，2010，59（2）：759－764．

［2］ 徐世民．三模坐標(biāo)動(dòng)量耦合量子諧振子哈密頓量對角化的新方法［J］．大學(xué)物理，2008，27（3）：11－13．

［3］ 徐秀緯，任廷琦，劉姝延．多維耦合受迫量子諧振子的普遍解［J］．物理學(xué)報(bào)，2006，55（2）：535－538．

［4］ 雷嘯霖．關(guān)于二次型哈密頓量的對角化定理［J］．低溫物理，1983，5（3）：264－266．

［5］ 凌瑞良，馮金福，胡云．含時(shí)二維雙耦合各向異性諧振子的嚴(yán)格波函數(shù)［J］．物理學(xué)報(bào)，2010，59（2）：759－764．

［6］ 逯懷新，王曉芹．n模二次型哈密頓量對角化的一種簡單方法［J］．大學(xué)物理，2000，19（11）：7－9．

［7］ 閆珂柱，譚維翰．簡諧勢阱中具有吸引相互作用原子體系的玻色－愛因斯坦凝聚［J］．物理學(xué)報(bào)，2000，49（10）：1909－1911．

［8］ 宋宇，劉占偉，鐘寅，等．諧振勢阱中有限粒子玻色－愛因斯坦凝聚的數(shù)值計(jì)算［J］．蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，44（6）：131－134．

［9］ 吳國楨．分子振動(dòng)光譜學(xué)原理與研究［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2001．

［10］ 彭石安，郭光燦．光子湮沒算符高冪的本征態(tài)及其性質(zhì)［J］．物理學(xué)報(bào)，1990，19（1）：51－59．

［11］ 張禮．近代物理學(xué)進(jìn)展［M］．北京：清華大學(xué)出版社，1997．

［12］ 曾謹(jǐn)嚴(yán)．量子力學(xué)卷二［M］．3版．北京：科學(xué)出版社，2000．

［13］ Zait R A．Nonclassical statistical properties of a three－level atom interacting with a single－mode field in a Kerr medium with intensity dependent coupling［J］．Phys．Lett．A，2003，319（5）：461－474．

DIAGONALIZATION OF THE HAMILTONIAN FOR THREE DIMENSIONAL ANISOTROPIC HARMONIC OSCILLATOR IN A MAGNETIC FIELD

Li Fengmin

（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222）

When the three dimensional（3D）anisotropic harmonic oscillators are exposed to a magnetic field，coupling appears among the harmonic oscillators．The Heisenberg equations of motion for these coupled oscillators can be written as the form similar to Shr?dinger equation．Through certain transformations，these Heisenberg equations of motion can be decoupled，and the Hamiltonian can be diagonalized by using these results．Furthermore，the energy eigenvalues and eigenstates of the system are obtained．Meanwhile，the matrix elements of the coordinate and momentum are given．The quantum fluctuations are also calculated．

quantum mechanics；harmonic oscillator；magnetic field；Heisenberg equation of motion

2014－10－10

天津市科委資助項(xiàng)目（11JCYBJC26900）．

李鳳敏，女，教授，主要從事物理教學(xué)．leemsy＠sina．com