二維3 態(tài)Potts 量子系統(tǒng)的保真度與序參量

李生好，伍小兵，黃崇富，范奇恒

(重慶工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，重慶400037)

1 引 言

近年來，保真度作為來自于量子信息與量子計(jì)算領(lǐng)域的基本概念，不但可以來刻畫量子系統(tǒng)的量子相變，而且還可以來描述量子系統(tǒng)的任何內(nèi)部序引起的任何類型的相變，這說明保真度開創(chuàng)了凝聚態(tài)物理學(xué)、量子信息與量子計(jì)算理論之間的一個(gè)重要的視角［1］. 量子相變包含著豐富的物理信息，怎樣抓住量子相變中最關(guān)鍵的物理信息是凝聚態(tài)物理研究領(lǐng)域的重點(diǎn)和難點(diǎn)，而保真度與序參量恰恰則提供了一個(gè)非常簡(jiǎn)潔的度量手段，來解決這個(gè)問題.

在數(shù)值模擬領(lǐng)域，近年來張量網(wǎng)絡(luò)算法取得了巨大的進(jìn)展. 所謂張量網(wǎng)絡(luò)算法，是指一系列張量乘積態(tài)表示的算法的統(tǒng)稱，包括一維的矩陣乘積態(tài)(iMPS)算法［2］，二維的糾纏投影對(duì)態(tài)(iPEPS)算法［3，4］，任意維的多尺度糾纏重整化(MERA)算 法［5，6］，Graded PEPS (gPEPS)算法［7，8］，以及準(zhǔn)一維——自旋梯子量子系統(tǒng)的算法［9］等. 通過將張量網(wǎng)絡(luò)算法與保真度相結(jié)合，能夠研究量子多體系統(tǒng)的量子相變和量子臨界現(xiàn)象.

最近，人們對(duì)于量子q 態(tài)Potts 模型比較感興趣［10，11］，其中q =2 時(shí)，即為著名的Ising 模型.對(duì)于一維量子q 態(tài)Potts 模型來說，當(dāng)q =2 與3時(shí)，該模型系統(tǒng)發(fā)生二級(jí)相變［12］;當(dāng)q ＞3 時(shí)發(fā)生一級(jí)相變. 而對(duì)于二維量子q 態(tài)Potts 模型來說，當(dāng)q=2 時(shí)，毫無疑問，此時(shí)即為Ising 模型，系統(tǒng)發(fā)生二級(jí)相變;那么當(dāng)q=3 時(shí)，即3 態(tài)Potts模型會(huì)發(fā)生一級(jí)相變或二級(jí)相變?下面，基于iPEPS 張量網(wǎng)絡(luò)算法，從基態(tài)保真度、約化保真度、普適序參量和局域序參量的角度，對(duì)二維量子3 態(tài)Potts 模型展開研究，該模型在對(duì)稱破缺相中存在三個(gè)簡(jiǎn)并的基態(tài).

2 理論模型和數(shù)值算法

現(xiàn)在考慮無限外加磁場(chǎng)二維正方格子量子3態(tài)Potts 模型的哈密頓量:

在無限大的二維正方格子平面上， ＜i，j ＞表示所有的最近鄰對(duì);i (j)是表示第i (j)個(gè)格點(diǎn);Mi

3 數(shù)值模擬結(jié)果

3.1 基態(tài)保真度

基態(tài)保真度是來自于量子信息與量子計(jì)算領(lǐng)域的一個(gè)基本概念，它能夠很好地描述任何一個(gè)量子多體關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的量子相變，而與這個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部序是傳統(tǒng)的對(duì)稱破缺序還是新穎的拓?fù)湫颍?3］無關(guān). 在量子信息與量子計(jì)算理論中，任何兩種態(tài)的重疊表示一種態(tài)向另一種態(tài)的變化［14，15］，可以用保真度描述這兩種態(tài)的相似程度［16，17］.

對(duì)于以外加磁場(chǎng)為控制參量的二維正方格子量子3 態(tài)Potts 模型，運(yùn)用iPEPS 算法來進(jìn)行數(shù)值模擬，能夠得到量子系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù). 對(duì)于系統(tǒng)的兩個(gè)不同的控制參量λ1 和λ2，分別對(duì)應(yīng)的基態(tài)波函數(shù)為| Ψ(λ1)＞和| Ψ(λ2)＞，定義這兩個(gè)基態(tài)波函數(shù)的系統(tǒng)基態(tài)保真度為F(λ1，λ2)= | ＜Ψ(λ2)| | Ψ(λ1)＞| . 當(dāng)二維量子系統(tǒng)為有限的N 個(gè)格點(diǎn)時(shí)，那么平均單點(diǎn)基態(tài)保真度d(λ1，λ2)與系統(tǒng)基態(tài)保真度F(λ1，λ2)的關(guān)系為d(λ1，λ2)= F(λ1，λ2)1/N，也就可以得到Ind(λ1，λ2)=InF(λ1，λ2)/N.

運(yùn)用iPEPS 算法，數(shù)值模擬無限二維量子3態(tài)Potts 模型時(shí)，只需每次任意選取初態(tài)就能得到三種不同對(duì)稱性的基態(tài)波函數(shù)，就能有效地計(jì)算基態(tài)保真度，也由此可以得到基態(tài)保真度在二維平面上的分叉. 如果選擇在Z3群對(duì)稱區(qū)的外加磁場(chǎng)λ2 的波函數(shù)| Ψ(λ2)＞作為參考態(tài)，此時(shí)單點(diǎn)基態(tài)保真度d(λ1，λ2)是不能區(qū)分在Z3對(duì)稱性破缺區(qū)的外加磁場(chǎng)λ1 的三個(gè)簡(jiǎn)并基態(tài)的. 如果選擇在Z3群對(duì)稱破缺區(qū)的外加磁場(chǎng)λ2 的波函數(shù)| Ψ(λ2)＞作為參考態(tài)，此時(shí)單點(diǎn)基態(tài)保真度d(λ1，λ2)就能區(qū)分在Z3對(duì)稱性破缺區(qū)的外加磁場(chǎng)λ1 的三個(gè)簡(jiǎn)并基態(tài)的，其中分叉的上支是一個(gè)簡(jiǎn)并基態(tài)，分叉的下支是兩個(gè)簡(jiǎn)并基態(tài)的重合.圖1 畫出外加磁場(chǎng)的二維量子3 態(tài)Potts 模型的單點(diǎn)基態(tài)保真度d(λ1，λ2)的分叉. 這里選擇在Z3群對(duì)稱破缺區(qū)的外加磁場(chǎng)λ2 =2.1 時(shí)的基態(tài)波函數(shù)| Ψ(λ2)＞作為參考態(tài)，單點(diǎn)基態(tài)保真度d(λ1，λ2)通過分叉，是可以區(qū)分三個(gè)簡(jiǎn)并基態(tài)的，分叉點(diǎn)就是相變點(diǎn)［18］λc≈2.61，在分叉點(diǎn)處基態(tài)保真度不連續(xù)，因而這是一個(gè)一級(jí)相變點(diǎn).

這里，系統(tǒng)相變點(diǎn)λc以分叉點(diǎn)［19］的形式表現(xiàn)出來的. 單點(diǎn)基態(tài)保真度分叉使人們探測(cè)系統(tǒng)的相變點(diǎn)時(shí)，不需要對(duì)系統(tǒng)的控制參量進(jìn)行求微分那樣復(fù)雜，其優(yōu)勢(shì)在于是普適的，是與模型無關(guān)的，因而更具有實(shí)際意義.

圖1 二維量子3 態(tài)Potts 模型單點(diǎn)基態(tài)保真度Fig.1 The ground -state fidelity per lattice site for quantum 3 - state Potts model in two spatial dimensions

3.2 約化保真度

這里分別計(jì)算了無限外加磁場(chǎng)二維正方格子3 態(tài)Potts 模型的單點(diǎn)和兩點(diǎn)約化保真度. 圖2 中選取了破缺Z3群對(duì)稱的λ2=2.1 處的ρλ2作為參考態(tài)，畫出了無限外加磁場(chǎng)二維正方格子3 態(tài)Potts 模型的單點(diǎn)(紅色三角形表示)與兩點(diǎn)(藍(lán)色空心圓表示)約化保真度F(ρλ1，ρλ2). 很容易看出，單點(diǎn)與兩點(diǎn)約化保真度能夠從三個(gè)簡(jiǎn)并基態(tài)波函數(shù)中，區(qū)分任意兩個(gè)約化密度矩陣所描述的混合態(tài)，其中分叉的上支是一個(gè)簡(jiǎn)并基態(tài)，分叉的下支是兩個(gè)簡(jiǎn)并基態(tài)的重合. 單點(diǎn)與兩點(diǎn)約化保真度中的分叉點(diǎn)是一致的，而分叉點(diǎn)就是相變點(diǎn)λc≈2.61. 當(dāng)控制參量外加磁場(chǎng)λ1逐漸增大越過相變點(diǎn)λc時(shí)，基態(tài)簡(jiǎn)并情況會(huì)突然變化，從而表現(xiàn)出系統(tǒng)正經(jīng)歷著一個(gè)量子相變. 也很容易得到，分叉點(diǎn)就是相變點(diǎn)，并且在分叉點(diǎn)處約化保真度不連續(xù)，說明這是一個(gè)一級(jí)相變點(diǎn).

圖2 二維量子3 態(tài)Potts 模型的單點(diǎn)和兩點(diǎn)約化保真度的分叉Fig.2 The ground - state one - and two - site reduced fidelity for quantum 3 -state Potts model in two spatial dimensions

3.3 普適序參量

對(duì)于一個(gè)有著對(duì)稱群Z3的外加磁場(chǎng)的二維正方格子量子3 態(tài)Potts 系統(tǒng)，在經(jīng)歷一個(gè)一級(jí)量子相變點(diǎn)中有一個(gè)普適序參量［21］. 所謂普適序參量，是一個(gè)基態(tài)波函數(shù)| Ψ ＞與這個(gè)基態(tài)波函數(shù)的對(duì)稱變換g | Ψ ＞之間的距離的某種單點(diǎn)保真度. 普適序參量對(duì)于二級(jí)相變是連續(xù)的，而對(duì)于一級(jí)相變是不連續(xù)的和跳躍的. 考慮在二維正方格子量子3 態(tài)Potts 模型系統(tǒng)的任何一個(gè)基態(tài)波函數(shù)| Ψ ＞，對(duì)于對(duì)稱算符z3群中的非零對(duì)稱算符g∈{I，ω，ω2}，其中w = exp (i2π/3)，對(duì)于這個(gè)基態(tài)波函數(shù)| Ψ ＞的對(duì)稱變換g | Ψ ＞，有單點(diǎn)保真度fg(λ) | 〈Ψ| g| Ψ〉.

圖3 畫出的是外加磁場(chǎng)λ 為控制參量的無限二維正方格子量子3 態(tài)Potts 模型的的普適序參量Ig(λ). 隨著外加磁場(chǎng)λ 的增大，在λc處，普適序參量Ig(λ)從非零的變?yōu)榱悖貏e是外加磁場(chǎng)λ 變化跨過相變點(diǎn)λc≈2.61 時(shí)，普適序參量Ig(λ)是不連續(xù)的，顯示出系統(tǒng)在相變點(diǎn)處經(jīng)歷了一個(gè)一級(jí)量子相變.

圖3 二維量子3 態(tài)Potts 模型的普適序參量Fig.3 The universal order parameter for quantum 3 -state Potts model in two spatial dimensions

3.4 局域序參量

局域序參量可以用來區(qū)分系統(tǒng)的兩個(gè)基態(tài)波函數(shù)的狀態(tài). 一般來說，當(dāng)系統(tǒng)經(jīng)歷量子相變時(shí)，其沒有發(fā)生對(duì)稱性自發(fā)破缺的這一相的局域序參量一般為零;而發(fā)生了對(duì)稱性自發(fā)破缺的這一相的局域序參量一般不為零. 對(duì)于不同的系統(tǒng)，局域序參量的結(jié)構(gòu)和含義會(huì)有所不同，局域序參量既可以是標(biāo)量或矢量，也可以是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，局域序參量還可能是多分量的. 這里，對(duì)于二維Potts 模型就具有多分量的復(fù)數(shù)局域序參量.

系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù)的PEPS 張量網(wǎng)絡(luò)表示可以有效提取某一個(gè)局域序參量. 一旦確定了系統(tǒng)的相變點(diǎn)λc，根據(jù)不同區(qū)域的λ ＞λc與λ ＜λc的兩個(gè)基態(tài)波函數(shù)，就可以分別得到兩個(gè)不同的單點(diǎn)約化密度矩陣ρ. 可以看到，3 態(tài)Potts 模型在λ＞λc與λ ＜λc的這兩個(gè)區(qū)域中的單點(diǎn)約化密度矩陣ρ 展現(xiàn)出不同的非零項(xiàng)的結(jié)構(gòu). 在外加磁場(chǎng)λ＞λc的區(qū)域，自發(fā)磁化強(qiáng)度＜＞或＜＞為零;而在外加磁場(chǎng)λ ＜λc的區(qū)域，自發(fā)磁化強(qiáng)度＜＞或＜＞不為零，此時(shí)， ＜＞ =＜＞，但＜＞或＜＞可能為復(fù)數(shù). 這意味著外加磁場(chǎng)二維量子3 態(tài)Potts 模型存在著一個(gè)局域序參量Sx= ＜＞或Sx= ＜＞，來刻畫在外加磁場(chǎng)變化下量子3 態(tài)Potts 模型有著一級(jí)相變. 對(duì)于二維量子3 態(tài)Potts 模型，在運(yùn)用iPEPS 算法進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，只需選取任意初態(tài)就很容易得到三個(gè)簡(jiǎn)并的基態(tài)，從而可以得到自發(fā)磁化強(qiáng)度 (局域序參量)Sx有 | Sx| ，ω| Sx| 與| Sx| 的三個(gè)取值，其中ω = exp(i2π/3)，即系統(tǒng)局域序參量有3 個(gè)，其中2 個(gè)為復(fù)數(shù). 對(duì)于外加磁場(chǎng)λ 小于相變點(diǎn)，自發(fā)磁化是一個(gè)非零值，一旦外加磁場(chǎng)λ 大于相變點(diǎn)λc，自發(fā)磁化將跳躍為零. 在圖4 中，畫出了不同外加磁場(chǎng)λ 下三個(gè)簡(jiǎn)并基態(tài)的自發(fā)磁化強(qiáng)度(局域序參量)的實(shí)部Re (Sx)與虛部Im (Sx)的三維圖，都說明了在相變點(diǎn)λc≈2.61 處均會(huì)發(fā)生一個(gè)不連續(xù)的跳躍，這里是一個(gè)一級(jí)相變點(diǎn).

圖4 二維量子3 態(tài)Potts 模型的自發(fā)磁化強(qiáng)度(局域序參量)的實(shí)部與虛部Fig.4 The real and imaginary part of the magnetization for quantum 3 -state Potts model in two spatial dimensions

4 結(jié) 論

本文主要基于二維量子系統(tǒng)的iPEPS［3，4］算法，從單點(diǎn)基態(tài)保真度、約化保真度、普適序參量和局域序參量的角度，來研究二維正方格子量子3 態(tài)Potts 模型的量子相變和量子臨界現(xiàn)象，均得出系統(tǒng)發(fā)生一級(jí)相變，而對(duì)于二維量子2 態(tài)Potts 模型，也就是Ising 模型來說，系統(tǒng)發(fā)生二級(jí)相變. 也提供了一個(gè)思路，基于包含iPEPS 算法在內(nèi)的張量網(wǎng)絡(luò)算法，從單點(diǎn)基態(tài)保真度、約化保真度、普適序參量和局域序參量方面，可能運(yùn)用在不同維數(shù)的量子多體系統(tǒng)，來探測(cè)系統(tǒng)任何類型的量子相變.在研究過程中，發(fā)現(xiàn)算法的精度和效率還有待繼續(xù)提高，例如使用二維量子系統(tǒng)的iPEPS 算法對(duì)二維量子q 態(tài)Potts 模型進(jìn)行數(shù)值模擬，當(dāng)q＞3 時(shí)，普通臺(tái)式計(jì)算機(jī)將無法進(jìn)行計(jì)算模擬或模擬速度非常緩慢. 還有算法模擬的有限截?cái)嗑S數(shù)也受限于目前計(jì)算機(jī)的能力. 下一步從系統(tǒng)的量子相變和量子臨界現(xiàn)象的理解入手，需要進(jìn)一步優(yōu)化和發(fā)展包括iPEPS 在內(nèi)的張量網(wǎng)絡(luò)算法，來提高計(jì)算機(jī)模擬的精度和效率.

［1］ Tommaso R，Paola V，Andrea F，et al. Studying quantum spin systems through entanglement estimators ［J］.Phys. Rev. Lett.，2004，93:167203.

［2］ Vidal G. Classical simulation of infinite-size quantum lattice systems in one spatial dimension ［J］. Phys. Rev.Lett.，2007，98:070201.

［3］ Jordan J，Orus R，Vidal G，et al.Classical simulation of infinite-size quantum lattice systems in two spatial dimensions ［J］. Phys. Rev. Lett.，2008，101:250602.

［4］ Li B，Li S H，Zhou H Q.Quantum phase transitions in a two - dimensional quantum XYX model:Ground -state fidelity and entanglement ［J］. Phys. Rev. E，2009，79:060101(R).

［5］ Vidal G. Entanglement renormalization［J］. Phys.Rev.Lett.，2007，99:220405.

［6］ Evenbly G，Vidal G. Algorithms for entanglement renormalization［J］. Phys. Rev. B，2009，79:144108.

［7］ Shi Q Q，Li S H，Zhao J H，et al. Graded projected entangled-pair state representations and an algorithm for translationally invariant strongly correlated electronic systems on infinite - size lattices in two spatial dimensions［J］. arXiv:0907.5520.

［8］ Li S H，Shi Q Q，Zhou H Q. Ground-state phase diagram of the two-dimensional t-J model［J］. arXiv:1001.3343.

［9］ Li S H，Shi Q Q，Su Y H，et al. Tensor network states and ground - state fidelity for quantum spin ladders［J］.Phys.Rev.B，2012，86:064401.

［10］ Potts R B. Some generalized order -disorder transformations［J］. Proc. Cambridge Philos. Soc.，1952.48:106.

［11］ Wu F Y. The Potts model［J］. Rev. Mod. Phys.，1982，54:235.

［12］ Dai Y W，Hu B Q，Zhao J H，et al. Ground-state fidelity and entanglement entropy for the quantum threestate Potts model in one spatial dimension ［J］. J.Phys. A:Math. Theor.，2010，43:372001.

［13］ Zhou H Q，Barjaktarevic J P. Fidelity and quantum phase transitions ［J］. J. Phys. A:Math. Theor.，2008，41:412001.

［14］ Alberti P M. Stochastic linear maps and transition probability［J］. Lett. Math. Phys.，1983，7:25.

［15］ Wootters W K. Statistical distance and Hilbert space［J］. Phys. Rev.D，1981，23:357.

［16］ Jozsa R. A new proof of the quantum noiseless coding theorem［J］. J. Mod. Opt.，1994，4l:2315.

［17］ Schumacher B. Quantum coding［J］. Phys. Rev. A，1995，51:2738.

［18］ Zhao J H，Wang H L，Li B，et al. Spontaneous symmetry breaking and bifurcations in ground-state fidelity for quantum lattice systems ［J］. Phys. Rev. E，2010，82:061127.

［19］ Crawford J D. Introduction to bifurcation theory［J］.

Rev. Mod. Phys.，1991，63:991.

［20］ Liu J H，Shi Q Q，Zhao J H，et al. Quantum phase transitions and bifurcations:reduced fidelity as a phase transition indicator for quantum lattice many - body systems［J］. J. Phys. A:Math. Theor.，2011，44:495302.

［21］ Liu J H，Shi Q Q，Wang H L，et al. Universal construction of order parameters for translation -invariant quantum lattice systems with symmetry-breaking order［J］. Phys. Rev. E，2012，86:020102.