基于伊辛模型的Fe0.5 Mn0.1 Al0.4合金磁化強度和磁熵變蒙特卡洛模擬

高清河，杜 安，劉錦超

(1.遼寧中醫(yī)藥大學信息工程學院，沈陽110847;2.東北大學理學院，沈陽110004;3.四川大學原子與分子物理研究所，成都610065)

1 引 言

近幾十年來，原子無序對磁性的作用和金屬間結晶化合物的臨界行為一直是人們爭論和研究的焦點. 作為無序體系的典型Fe0.5Mn0.1Al0.4合金具有很多的力學和磁學特性，使之在不銹鋼材料和半軟的磁性材料中有著廣泛的應用［1，2］，是理論模擬和實驗研究的熱點內(nèi)容之一.

在Fe0.5Mn0.1Al0.4合金中，由于Mn、Fe 和Al是任意地分布在體心立方(bcc)晶格中，形成了晶格中格點原子分布的無序;而且Fe-Fe 間是鐵磁相互作用，Mn-Fe，、Mn-Mn 間存在反鐵磁相互作用，導致了磁性粒子間存在相互競爭即阻挫;非磁性的Al 原子對磁性粒子起到稀釋作用，增加了粒子間交換積分無序性，對合金的磁性行為有很大的影響. 理論和實驗均證實了由于受到溫度、參雜元素濃度、晶格類型及元素分布情況的諸多影響，會形成鐵磁、反鐵磁、順磁、自旋玻璃和可再入自旋玻璃態(tài)［3，4］. 在實驗中，材料的制備是通過機械合金化，經(jīng)高溫處于電弧熔化狀態(tài)，以達到合金中原子的無序性，后經(jīng)淬火的方法，利用中子衍射、磁化、核磁共振和穆斯堡爾光譜測量等手段來研究合金的磁性隨溫度及外磁場的變化關系［5］.

為了解釋實驗結果提出很多理論方法:二項式分布的方法［6，7］、基于Bogoliubov 不等式的自由能變分方法［8-12］、平均場重整化群理論［13］以及蒙特卡洛方法［14-16］. 雖然這些理論方法很好地解釋了FeMnAl 合金的熱力學性質以及臨界行為，但是在模型的建立上這些理論方法僅僅考慮了磁性粒子間的最近鄰(nearest neighbour，NN)相互作用，卻沒有考慮粒子間次近鄰(next nearest neighbour，NNN)相互作用對體系的相變及熱力學性質的影響. 因此，本文針對典型的Fe0.5Mn0.1Al0.4合金，考慮了磁性粒子間的近鄰及次近鄰的交換相互作用，基于Ising 模型的單自旋反轉蒙特卡洛算法，詳細地研究了磁性粒子(Fe、Mn)在不同的溫度(尤其是相變溫度)處對平均磁化強度的貢獻以及平均磁化強度隨外加磁場的變化情況，深入分析了體系在相變溫度處磁熵變數(shù)值隨外加磁場的變化情況以及磁熵變在不同的外磁場下隨溫度的變化情況.

2 計算模型和計算方法

假設構成磁性系統(tǒng)的各個單體具有非常大的單軸磁各向異性，自旋σi在異化軸方向投影取值為±1，并令σi配置在晶格的格點上. 這樣，我們只需考慮這些自旋與其周圍其他自旋的交換作用，以及自旋與外場的相互作用. 基于上述思想建立的磁學系統(tǒng)相互作用模型即為伊辛模型. 該模型的系統(tǒng)哈密頓量可寫為［15］:

其中，第一項是最近鄰粒子間磁交換能，第二項是次近鄰粒子間磁交換能，第三項是塞曼能，H

上式中，p、x、q 分別表示Fe、Mn、Al 在合金中所占的比例，滿足p + x + q = 1. 由概率分布函數(shù)可知，F(xiàn)e – Fe 間鐵磁相互作用為J 的概率為p2，隨著Al 元素比例的增加會導致晶格常數(shù)近似正比例地變大，因此Fe – Fe 間的相互作用能為J(q)=12.846(1 -0.7q)(mev)［15，16］. Mn–Mn間反鐵磁相互作用為γJ 的概率為x2，F(xiàn)e–Mn 間反鐵磁相互作用為λJ 的概率2px(其中γ=5%，λ=3%)［14-16］，而Al–Al，Mn – Al，以及Fe –Al 間不存在相互作用，存在的概率為q(2 -q).

經(jīng)比較，Monte Carlo 步(MCS)為30000 時模擬效果較好，前5000 個Monte Carlo 步以弛豫系統(tǒng)使之達到熱平衡，之后再執(zhí)行25000 個Monte Carlo 步求其熱力學平均，而自旋粒子數(shù)的多少對熱力學性質無影響，相變溫度不隨合金的大小而發(fā)生改變. 因此，本文選擇了無序體系的Fe0.5Mn0.1Al0.4合金(bcc)邊界L=10，初始的伊辛構型是在2000 個格點中隨機選取1000 個格點為磁性粒子Fe(自旋方向朝上)，隨機選取200 個格點為磁性粒子Mn(自旋方向朝下)，隨機選取800 個格點為非磁性粒子Al(σi=0). 采取淬火的方法來研究體系的磁性及熱力學性質隨溫度(外磁場)的變化情況，本文模擬過程中涉及到的單粒子磁性及熱力學計算公式:

(1)平均磁化強度:

(2)平均熱容:

(3)平均磁化率:

(4)磁矩關于溫度的一階導數(shù):

(5)磁墑變:

其中，〈…〉表示熱力學平均，［…］表示組態(tài)平均，N 表示體系包含的粒子數(shù)，kB玻爾茲曼常數(shù).

3 計算結果與討論

3.1 次近鄰相互作用系數(shù)β 的確定

在無外加磁場的情況下，M?ssbauer 實驗得到Fe0.5Mn0.1Al0.4體系的居里溫度為300K［4，16］. 當僅考慮最近鄰粒子間相互作用時，體系的居里溫度為283K(如圖1、表1)，與實驗值相差很多. 因此本文在考慮體系粒子間最近鄰的基礎上也考慮了次近鄰相互作用，即RKKY(Ruderman - Kittel-Kasuya-Yosida)長程相互作用，引入了次近鄰相互作用系數(shù)β. 選擇了Prabodh Shukla 等人［17］在研究Fe1-xAlx合金的自旋玻璃態(tài)時給出的磁性粒子間次近鄰相互作用與最近鄰相關作用之間的關系:= βJij. 比較了次近鄰相互作用系數(shù)取不同數(shù)值時，F(xiàn)e0.5Mn0.1Al0.4體系中粒子的平均磁化強度和平均比熱隨溫度的變化情況，通過M?ssbauer 實驗所確定的相變溫度與模擬曲線對應的居里溫度相比較，確定次近鄰相互作用系數(shù)β的取值.

表1 次近鄰相互作用系數(shù)對居里溫度和凍結溫度的影響Table 1 Effect of next nearest neighbor interaction (NNN)coefficient on the Curie temperature and freezing temperature

3.2 單粒子平均磁化強度

3.2.1 單粒子平均磁化強度隨溫度及外加磁場的變化

溫度的升高增大了粒子的熱擾動，粒子的取向趨于無序，而外加磁場又促使磁性粒子的自旋方向趨向于外磁場方向，使粒子的自旋方向又趨于有序. 單粒子平均磁化強度隨溫度以及外磁場的變化如圖2 所示，在無外磁場時，磁化強度對溫度的一階導數(shù)隨溫度的變化曲線存在著兩個尖峰(極值)，說明磁化強度在這兩個溫度處出現(xiàn)了拐點，分別對應于凍結溫度和居里溫度，與圖1中的相變溫度相對應. 當存在外磁場時，磁化強度隨著溫度的增加在逐漸地減小，且隨著外加場強的增大，磁化強度隨著溫度的變化曲線趨于平緩，由溫度升高而導致的無序受到塞曼能的抑制.

圖1 次近鄰相互作用系數(shù)的確定(a)不同次近鄰相互作用系數(shù)對磁化強度的影響;(b)不同次近鄰相互作用系數(shù)對比熱的影響;(c)NNN (β=0.08)與NN 能量比較;(d)NNN(β=0.08)與NN 磁化率比較Fig. 1 Determination of next nearest neighbor interaction coefficient. (a)Temperature dependence of total magnetization per lattice site with next nearest neighbor (NNN )interaction;(b)Temperature dependence of the specific heat per lattice site with NNN interaction;(c)Comparison of energy per lattice site between nearest neighbor (NN)and NNN interaction;(d)Comparison of magnetic susceptibility per lattice site between NN and NNN interaction

3.2.2 磁性粒子對平均磁化強度的貢獻

圖2 單粒子平均磁化強度隨溫度以及外磁場的變化(a)磁化強度隨溫度的變化(H =0(a.u. );(b)隨溫度的變化(H=0(a.u.);(c)磁化強度隨溫度的變化(H=0.2，0.5，0.8(a.u.);(d) 隨溫度的變化(H=0.2，0.5，0.8(a.u.)Fig. 2 Temperature and external magnetic field dependence of total magnetization per lattice site (a)Temperature dependence of total magnetization per lattice site with H=0(a.u. );(b)Temperature dependence of per lattice site with H=0(a.u.);(c)Temperature dependence of total magnetization per lattice site with H=0.2，0.5，0.8(a.u.);(d)Temperature dependence of per lattice site with H =0.2，0.5，0.8(a.u.)

3.3 磁熵變

3.3.1 相變溫度處磁熵變

圖3 磁性粒子對平均磁化強度的貢獻(a)磁性粒子對磁化強度的貢獻(H =0(a.u. ));(b)磁性粒子對磁化強度的貢獻(H=0.2(a.u.));(c)磁性粒子在凍結溫度處對磁化強度的貢獻(d)磁性粒子在居里溫度處對磁化強度的貢獻Fig. 3 Contribution of magnetic particle to total magnetization per lattice site (a)Contribution of magnetic particle to total magnetization per lattice site with H=0(a.u.);(b)Contribution of magnetic particle to total magnetization per lattice site with H=0.2(a.u.);(c)Contribution of magnetic particle to total magnetization per lattice site on freezing temperature;(d)Contribution of magnetic particle to total magnetization per lattice site on Curie temperature

圖4 給出了當Hz分別等于0.2(a. u. )、0.5(a. u. )和0.8(a. u. )時，在相變溫度處的磁熵變及磁性粒子對磁熵變的貢獻. 由圖3. c 可知，在凍結溫度處磁性粒子Fe 的自旋方向取向始終保持不變，對應的磁墑變趨于零，體系的磁墑變情況實際上是由磁性粒子Mn 決定的. 當Hz= 0.2(a. u. )時，總的磁墑變?yōu)檎?，說明加入磁場后與未加磁場相比較，磁性粒子的無序性增加了，且當Hz=0.14(a. u. )時，磁墑變ΔS(0.1，0.14)取值是正的最大值，磁性粒子是最無序的狀態(tài)，Mn 粒子的平均磁化強度為0(a. u. )(圖3. c). 外磁場從0(a. u. )增加到0.14(a. u. )過程中，自旋取向向下的Mn 粒子是占多數(shù)的. 當外加磁場大于0.14(a. u. )時，自旋取向向上的Mn 粒子數(shù)逐漸增加，體系趨于有序，對應的磁墑變出現(xiàn)了負值. 當外加磁場大于0.5(a. u. )時，Mn 粒子的自旋取向完全實現(xiàn)了反轉，所有磁性粒子的取向一致，磁墑變不在隨外磁場的加大而發(fā)生變化如圖(4. b，4. c). 圖4. d 是在居里溫度處磁性粒子?m

?T隨外加磁場的變化情況. 由圖3. d 可知，在居里溫度處隨著外加磁場由0(a. u. )增加到0.8(a. u. )，磁性粒子Fe 的自旋取向迅速由無序趨于有序，而Mn 的變化較為緩慢. 因此，粒子的平均磁墑變ΔS(2.8，0.8)主要是由磁性粒子Fe貢獻的，而粒子Mn 的貢獻較小，且隨著外加場強的增加，磁性粒子的有序程度在不斷的增加.

3.3.2 磁熵變隨溫度的變化

圖5 描繪了平均磁墑變在不同外磁場下隨溫度的變化情況，與圖4 中磁墑變ΔS(0.1，0.2)、ΔS(0.1，0.5)、ΔS(0.1，0.8)以及ΔS(2.8，0.8)在數(shù)值上相吻合. 由圖5、圖2. b 以及圖2. d可以看出，如果能得到外磁場在［0，Hz］范圍內(nèi)隨溫度變化曲線，把在不同磁場時隨溫度變化曲線進行連續(xù)疊加就得到了磁熵變ΔS(Hz)隨溫度的變化曲線. 因此，磁熵變極值的位置處也就是磁化強度出現(xiàn)突變或拐點的地方，也就是磁化強度隨溫度變化最快的地方，與體系的相變溫度相對應.

圖4 相變溫度處磁熵變(a)凍結溫度處磁熵變(Hz =0.2(a.u. ));(b)凍結溫度處磁熵變(Hz =0.5(a.u.));(c)凍結溫度處磁熵變(Hz =0.8(a.u.));(d)居里溫度處磁熵變(Hz =0.8(a.u.))Fig. 4 Magnetic entropy change on phase -transition temperature (a)magnetic entropy change on freezing temperature with Hz =0.2(a.u.);(b)magnetic entropy change on freezing temperature with Hz =0.5(a.u. );(c)Magnetic entropy change on freezing temperature with Hz =0.8(a.u. );(d)Magnetic entropy change on Curie temperature with Hz =0.8(a.u.)

圖5 磁熵變隨溫度的變化Fig. 5 Temperature dependence of magnetic entropy change

4 結 論

本文在研究Fe0.5Mn0.1Al0.4體系的磁化強度和磁熵變過程中，考慮了粒子間的最近鄰以及次近鄰相互作用，具體研究了單粒子平均磁化強度隨溫度及外加磁場的變化、磁性粒子對平均磁化強度的貢獻、隨外加磁場的變化情況和單粒子的平均磁熵變. 我們發(fā)現(xiàn)當考慮了次近鄰相互作用后，體系的平均能量要低一些，體系也就會相對穩(wěn)定;體系磁化強度以及磁熵變隨溫度的變化曲線證實了Fe0.5Mn0.1Al0.4合金相變的存在，其相變溫度與比熱曲線中的凍結溫度和居里溫度相對應，與M?ssbauer 實驗測得的居里溫度符合較好;在無外加磁場和溫度時，證實了Fe0.5Mn0.1Al0.4合金Mn 粒子受到周圍磁性粒子的阻挫作用，使得一部分Mn 粒子的自旋方向發(fā)生了反轉;在凍結溫度處，當外加磁場H =0.14(a. u. )時，Mn 粒子平均磁化強度為零，體系處于最無序的狀態(tài)，對應的磁熵變達到了正向最大值，當外加磁場大于0.5(a. u. )時，Mn 粒子的自旋取向完全實現(xiàn)了反轉，磁墑變不在隨外磁場的加大而發(fā)生變化. 此外，我們還發(fā)現(xiàn)磁性粒子Fe 和Mn 在不同的溫度區(qū)間對體系的磁化強度以及磁熵變貢獻不同，磁性粒子Mn 在低溫區(qū)對Fe0.5Mn0.1Al0.4體系磁化強度以及磁熵變起到了主要作用，而高溫區(qū)體系的磁化強度以及磁熵變是由磁性粒子Fe 貢獻的.

［1］ Kayak G L.Fe-Mn-Al precipitation-hardening austenitic alloys ［J］. Met Sci. Heat Treat.，1969，11(2):95.

［2］ Tarigan K.Local ordering study of nanostructure FeMnAl alloys［J］. IEEE Trans. Magn.，2009，45(6):2492.

［3］ Pe?a Lara D，Diosa J E，Lozano C A. Blume-Capel spin-glass model for Fe -Mn -Al alloys［J］.Phys.Rev. E，2013，87(3):032108.

［4］ Restrepo J，Pérez Alcázar G A. Magnetic properties of disordered Fe0.9-xMn0.1Alxalloys ［J］. J. Appl.Phys.，2000，87(10):7425.

［5］ Mohan T V S M，Bansal C. M?ssbauer effect in atomic ordered and disordered Fe0.75-xMnxAl0.25alloys［J］.Phys. Stat. Sol. (b)，1996，193:167.

［6］ Pérez Alcázar G A ，Plascak J A，Galv?o da Silva E.Magnetic properties of Fe-Mn-Al alloys in the disordered phase［J］. Phys. Rev. B，1988，38:2816.

［7］ Restrepo J，Pérez Alcázar G A.Interpretation based on a binomial method of the hyperfine field distributions of disordered:Fe0.9-xMn0.1Alxalloys ［J］. J.Magn.Magn. Mater.，2000，213(1):135.

［8］ Rosales Rivera A，Pérez Alcázar G A，Plascak J A.Diluted and random-bond Ising model:Application to the Fe-Mn-Al alloys［J］. Phys. Rev. B，1990，41(7):4774.

［9］ Osorio A，Aguirre Contreras W R，Zamora Ligia E，et al. Thermodynamic properties of antiferromagnetic ternary systems using a random - site Ising model［J］.Phys. Rev. B，2003，68(2):024420.

［10］ Restrepo J，Pérez Alcázar G A.Magnetic properties of Fe0.9-xMn0.1Alxdisordered alloys:Theory［J］. Phys.Rev. B，2000，61(9):5880.

［11］ Velásquez E A，Duque L F，Mazo-Zuluaga J，et al.Magnetic properties across intergranular region of disordered FeMnAl alloys:Theory［J］. Physica B，2007，398(2):364.

［12］ Vela'squez E A，Mazo-Zuluaga J，Restrepo J，et al.Pseudocritical behavior of ferromagnetic pure and random diluted nanoparticles with competing interactions :Variational and Monte Carlo approaches［J］. Phys.Rev. B，2011，83(18):184432.

［13］ Pe?a Lara D，Plascak J A. Mean field renormalization group for Ising models with S≥1［J］. Mod. Phys.Lett. B，1996，10(22):1067.

［14］ Restrepo J，Greneche J M. Magnetic properties and critical behavior of random FeMnAl alloys:An Ising Monte Carlo study［J］. Phys. Rev. B，2005，71(6):064406.

［15］ Restrepo J，Arnache O.Hysteretic behavior of Fe0.9-qMn0.1Alqdisordered alloys:a Monte Carlo study［J］.Physica B，2002，320(1 -4):244.

［16］ Restrepo J，Arnache O，Landau D P.Monte Carlo study of the magnetic properties of Fe0.9-qMn0.1Alqdisordered alloys［J］. Physica B，2002，320(1-4):239.

［17］ Prabodh S，Michael W. Spin -glass behavior in iron-aluminum alloys:A microscopic model［J］. Phys.Rev. B，1980，21(1):159.