勻強磁場與簡諧勢阱中的低維荷電自旋-1 玻色氣體

李玉山

(菏澤學(xué)院物理系，菏澤274015)

1 引 言

玻色氣體由于在一定的條件下能夠展現(xiàn)出超導(dǎo)、超流、玻色–愛因斯坦凝聚(BEC)等奇特現(xiàn)象而成為凝聚態(tài)物理研究的熱點之一. 在各種類型的勢阱及外場約束下，玻色氣體所表現(xiàn)出的相變特征和磁學(xué)性質(zhì)更是人們關(guān)注的重點. 前人的研究大多集中于單純勢阱約束的玻色氣體［1-3］、磁場中的荷電自旋-1 玻色氣體［4，5］、磁場和勢阱中不考慮自旋-磁場作用的玻色氣體［6-8］等方面，關(guān)于自旋-磁場作用究竟會如何影響磁場和勢阱中玻色系統(tǒng)的相變和磁性質(zhì)的研究很少見到報道. 電荷自由度和自旋自由度都將會對磁場和勢阱中的荷電玻色氣體相變和磁性產(chǎn)生重要影響，電荷自由度將導(dǎo)致朗道抗磁性，自旋自由度則會引起泡利順磁性，兩種作用的相互競爭下系統(tǒng)將會呈現(xiàn)怎樣的性質(zhì)是我們本文關(guān)注的重點.

近年來，人們對超導(dǎo)體層狀結(jié)構(gòu)及磁性薄膜材料的關(guān)注，激發(fā)了人們對于低維玻色系統(tǒng)的興趣，因此研究低維系統(tǒng)對于開發(fā)新材料和器件也有著重要的物理意義［9-13］. 本文選取的研究模型為勻強磁場和簡諧勢阱約束的二維自旋-1 理想荷電玻色氣體，研究的重點為電荷-磁場和自旋-磁場作用的競爭對BEC 相變和磁性質(zhì)的影響.研究方法為截斷求和法和半經(jīng)典近似相結(jié)合，并將所得結(jié)果與磁場和簡諧勢阱中不考慮自旋-磁場作用的玻色系統(tǒng)進行比較.

2 物理模型及解析推導(dǎo)

將質(zhì)量為m，電量為q，自旋為1 的理想玻色系統(tǒng)，置于各向同性簡諧勢阱和z 軸方向的勻強磁場中. 該模型所對應(yīng)的單粒子哈密頓和能譜可表示為

式中，ω0和ωL分別代表勢阱頻率和Larmor 頻率，ωs= μsB/? 為自旋引起的角頻率.·為內(nèi)稟磁矩=(mc)與外磁場→B 的相互作用能，→S為自旋算符. ^lz是角動量在z 軸方向的投影，→A 是磁場→B 對應(yīng)的矢量勢. 量子數(shù)n = 0，1，2，...;ml= 0，±1，±2，... ;ms= -1，0，1.

當系統(tǒng)熱能量遠大于能級間隔時，也可采用半經(jīng)典近似研究該模型，將分立能譜看成連續(xù)譜，對量子數(shù)的求和用對量子數(shù)的連續(xù)積分來代替，此時激發(fā)態(tài)粒子數(shù)可化簡為

臨界溫度之下，凝聚在基態(tài)的粒子所占的比例為

代表玻色分布函數(shù). 半經(jīng)典近似下，

3 結(jié)果及討論

首先對截斷近似法做可靠性分析，進而給出求和量子數(shù)取何值時，截斷項數(shù)能夠達到系統(tǒng)要求. 為計算和表述方便，用nmax來統(tǒng)一代替式(4)和(8)中的求和量子數(shù)n 和ml的最大值，即定義n ∈［0，nmax］，ml∈［- nmax，nmax］. 假定系統(tǒng)的總粒子數(shù)N 為1000，圖1 給出了BEC 臨界溫度隨nmax倒數(shù)的變化. 當1/nmax≤0.005 ，即nmax≥200 時，開始收斂，g 越大，需要更大的nmax才能收斂. 為保證計算結(jié)果可靠，本文以下的計算選定nmax= 1000 ，并引入符號TSA 和SCA 分別表示截斷求和法和半經(jīng)典近似結(jié)果.

圖4 給出了基態(tài)粒子凝聚比例隨溫度的變化關(guān)系，相同磁場不同自旋g 因子的粒子遵循了基本相同的規(guī)律，由插圖可以看出，這種變化規(guī)律也不因磁場的不同而發(fā)生較大的改變.

圖7 給出的自旋g 因子臨界值gc隨溫度和磁場的變化表明半經(jīng)典近似依然不可靠. 截斷近似結(jié)果表明，固定溫度下，gc隨磁場增大而增大，弱磁場區(qū)域，gc隨磁場變化比較劇烈，隨著磁場的增強，增加的趨勢變緩慢，最終趨于固定值.固定磁場下，gc隨溫度升高而緩慢下降，但下降的趨勢非常小.

圖1 BEC 臨界溫度 隨1/nmax 的變化( = 0.5 ，N = 1000 )Fig.1 The BEC critical temperature versus the inverse truncated order for = 0.5 and N = 1000

圖2 隨(a)磁場 和(b)自旋g 因子的變化規(guī)律Fig.2 Plots are the BEC critical temperature as a function of (a)magnetic field and (b)spin g-factor

圖3 隨粒子數(shù)N 的變化(= 0.5 )Fig.3 The BEC critical temperature versus the number of particles for= 0.5

圖4 基態(tài)粒子凝聚比例隨溫度的變化，橫軸約化溫度為各自的BEC 臨界溫度. 插圖為不同磁場時的TSA 值Fig.4 Condensate fraction of ground states versus the temperature. The temperature is scaled by their respective BEC critical temperature. Inset:TSA results for different magnetic field

圖5 磁場 = 0.5 時，磁化強度隨溫度的變化Fig.5 The magnetization versus temperature for magnetic field = 0.5

圖6 磁化強度 隨自旋g 因子的變化:(a)固定磁場 = 0.5 ，(b)固定溫度 = 5Fig.6 The magnetization versus the spin g-factor for (a)fixed magnetic field =0.5 and (b)fixed temperature = 5

圖7 自旋因子臨界值gc 隨(a)磁場和(b)溫度的變化Fig.7 The critical value of spin factor gc versus (a)magnetic field and (b)temperature

4 結(jié) 論

通過對磁場和勢阱中二維自旋-1 理想荷電玻色氣體的研究，給出低維玻色系統(tǒng)的相變特征和磁性質(zhì). 自旋-磁場作用能夠增強BEC 臨界溫度，而電荷-磁場作用會降低BEC 臨界溫度，二者的競爭將導(dǎo)致BEC 臨界溫度隨磁場先略微上升后緩慢下降. 自旋效應(yīng)并不明顯改變BEC 臨界溫度隨粒子數(shù)的變化及基態(tài)粒子凝聚隨溫度的變化.引入自旋g 因子來描述系統(tǒng)的順磁性效應(yīng)，隨著g 的增加，磁化強度呈現(xiàn)抗磁性到順磁性的轉(zhuǎn)變.gc受溫度影響較小，但隨外磁場的增大而增大，最終趨于某一固定值.

［1］ Bagnato V，Prichard D E，Kleppner D. Bose - Einstein condensation in an external potential［J］. Phys.Rev. A，1987，35:4354.

［2］ Bagnato V，Kleppner D. Bose-Einstein condensation in low-dimensional traps［J］. Phys. Rev. A，1991，44:7439.

［3］ Yan Z. Bose -Einstein condensation of a trapped gas in n dimensions ［J］. Phys. Rev. A，1999，59:4657.

［4］ Jian X L，Qin J H，Gu Q. Diamagnetism versus paramagnetism in charged spin - 1 Bose gases ［J］. J.Phys.:Condens. Matter，2011，23:026003.

［5］ Qin J H，Jian X L，Gu Q. Magnetic properties of charged - 1 Bose gases with ferromagnetic coupling［J］. J. Phys.: Condens. Matter，2012，24:366007.

［6］ EI-Badry A M. Temperature dependence for the synthetic magnetization of a rotating Bose gas in harmonic trap［J］. Turk. J. Phys.，2013，37:30.

［7］ Fan J H，Gu Q，Guo W. Thermodynamics of charged ideal Bose gases in a trap under a magnetic field［J］.Chin. Phys. Lett.，2011，28:060306.

［8］ Li Y S. Numerical method to charged Bose gases under harmonic trap and magnetic field ［J］. J. At. Mol.Phys.，2014，31(5):821 (in Chinese)［李玉山.Numerical method to charged Bose gases under harmonic trap and magnetic field［J］. 原子與分子物理學(xué)報，2014，31(5):821］

［9］ Bayindir M，Tanatar B. Bose -Einstein condensation in a two-dimensional，trapped，interacting gas［J］.Phys. Rev. A，1998，58:3134.

［10］ van Zyl B P，Hutchinson D A W. Charged two -dimensional quantum gas in a uniform magnetic field at finite temperature ［J］. Phys. Rev. B，2004，69:024520.

［11］ Patrick S，Brandon P v Z. Thermodynamic properties of a harmonically trapped，two - dimensional charged quantum gas in a magnetic field ［J］. J. Phys. A:Mathematical and Theoretical，2008，41:135305.

［12］ Tung S，Lamporesi G，Lobser D，et al. Observation of the presuperfluid regime in a two - dimensional Bose gas［J］. Phys. Rev. Lett.，2010，105:230408.

［13］ Merloti K，Dubessy R，Longchambon L，et al. A two-dimensional quantum gas in a magnetic trap ［J］.New J. Phys.，2013，15:033007.