含有控制時滯的多輸入離散系統(tǒng)的變結構控制*

鄧 臻,陳紅燕，高存臣

(1.青島工學院基礎教育學院,山東 青島 266300;2.中國海洋大學數學科學學院,山東 青島 266100)

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含有控制時滯的多輸入離散系統(tǒng)的變結構控制*

鄧 臻1,陳紅燕1，高存臣2

(1.青島工學院基礎教育學院,山東 青島 266300;2.中國海洋大學數學科學學院,山東 青島 266100)

給出了多輸入離散系統(tǒng)的基于時變衰減冪次趨近律的滑模變結構控制方法，并通過時滯變換將結果推廣到含有控制時滯的情形。首先選取具有適當增益矩陣的線性切換函數以保證系統(tǒng)在切換面上的理想準滑模運動方程的極點可任意配置。其次基于時變衰減冪次趨近律設計了準滑?？刂破?，該控制器能夠保證兩類離散系統(tǒng)的運動軌跡在有限時間內到達準滑模帶，然后要么直接轉入理想準滑模，要么在準滑模帶中以指數冪速率快速趨于理想準滑模，并使系統(tǒng)的運動軌跡能夠漸近趨于狀態(tài)空間的原點，而不再是原點附近某鄰域中出現(xiàn)穩(wěn)定抖振。最后的仿真結果進一步表明了這種方法的有效性。

離散系統(tǒng)；變結構控制；多輸入；時滯；抖振

時滯的存在使離散系統(tǒng)的分析與綜合問題變得更加復雜和困難，時滯往往是系統(tǒng)不穩(wěn)定和性能變差的根源[10-11]。相應地，時滯離散系統(tǒng)的變結構控制也是現(xiàn)實需要解決的難題。雖然可以通過擴維技術將時滯離散系統(tǒng)轉化為無時滯系統(tǒng)，但對時滯較大和/或維數較高的系統(tǒng)，擴維后其系統(tǒng)維數將按幾何規(guī)律增加，而且對測量和/或控制時滯的離散系統(tǒng)，擴維后狀態(tài)反饋控制律一般是物理不可實現(xiàn)的[12-14]。

本文首先將時變衰減冪次趨近律推廣到了多輸入離散系統(tǒng)，然后進一步研究了含有控制時滯的多輸入離散系統(tǒng)的變結構控制問題。首先，可適當選取增益矩陣使系統(tǒng)在線性切換面上的理想準滑模運動方程可任意配置極點，其次，設計的時變衰減冪次趨近律能夠保證兩類離散系統(tǒng)的運動軌跡在有限時間內到達系統(tǒng)的準滑模帶，并以指數冪次趨于切換面，從而最終趨于原點，而不再是原點附近的小的抖振。仿真結果表明了本文方法的有效性和優(yōu)越性。

1 多輸入離散系統(tǒng)

考慮多輸入離散系統(tǒng)

(1)

其中:x(k)∈Rn；u(k)∈Rm分別是狀態(tài)向量和控制輸入向量，常數矩陣A∈Rn×n，B∈Rn×m。假設矩陣B列滿秩，且(AB)完全可控。

不失一般性，假設

(2)

其中:B1∈R(n-m)×m;B2∈Rm×m，則可選取可逆線性變換將系統(tǒng)(1)化為簡約形式[3]，故不妨假設系統(tǒng)(1)已經是如下簡約型

(3)

其中:x1(k)∈Rn-m；x2(k)∈Rm。

取線性切換函數

s(k)=Cx(k)=C1x1(k)+C2x2(k)

(4)

其中：C1∈Rm×(n-m)；C2∈Rm×m為待定增益矩陣，且det(C2)≠0。

從s(k)=0中解出x2(k)代入式(3)即得理想準滑模的運動方程

(5)

由于(AB)完全可控，故(A11A12)完全可控[3]，可以選擇適當的增益矩陣C=[C1C2]使理想準滑模具有任意配置的極點集。下面還需要設計滑?？刂破?，一方面保證系統(tǒng)(1)對任意的初始狀態(tài)其解序列能在有限時間內到達準滑模帶，另一方面保證準滑模帶(或切換帶)的寬度足夠小，且使非理想準滑模穩(wěn)定。為下文需要，在此引入2個引理。

引理1[9]對于文獻[8]提出的衰減冪次趨近律

(6)

其中：00；0

(2)任意給定初始值s(0)≠0，有

(3)sgn(s(k+1))=sgn(s(k))當且僅當

引理2[9]對于單輸入離散系統(tǒng)，文獻[9]提出了時變衰減冪次趨近律

(7)

其中：0

由引理1和2知，衰減冪次趨近律(6)并不能保證切換函數s(k)趨于切換面，其極限狀態(tài)是出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)抖振，穩(wěn)態(tài)抖振的范圍是[-Δ,Δ]，其中Δ=[εT/(2-qT)]1/1-a，而時變衰減冪次趨近律(7)則保證了抖振的振幅Δ以指數冪次趨于零。

針對多輸入離散系統(tǒng)(1)與(4)，提出如下的時變衰減冪次趨近律

(8)

或如下分量形式

(9)

其中常數T是采樣周期，0

q=diag(q1,q1,…,qm),

ε=diag(ε1,ε1,…,εm),

將時變衰減冪次趨近律(8)代入系統(tǒng)(1)或(3)，可得如下2種形式的滑模變結構控制器(兩者等價)

(10)

或

(11)

將控制律(11)代回系統(tǒng)(3)即得滑模趨近過程的運動差分方程

(12)

注意該方程在切換面S0:s(k)=0是沒有定義的。實際上，切換帶內的非理想準滑模運動控制方程也是(12)，但必須要求方程的定義范圍是切換帶

(13)

或彼此的交集區(qū)域。

由于方程(12)并不直觀，取可逆線性變換

(14)

則運動方程(12)可化成如下形式[3]

(15)

這正是所期待的結果形式。

對于運動差分方程(15)，由引理2知，狀態(tài)s(k)將于有限時間內到達切換帶，并以指數冪次趨于切換面S0。而若取s(k)=0，則式(15)中的第一式即為理想準滑模的運動方程，它具有任意配置的極點集。因此，易得如下結論。

引理3 多輸入離散系統(tǒng)(1)在線性切換函數(4)和時變衰減冪次趨近律(8)作用下，系統(tǒng)狀態(tài)將于有限時間內到達準滑模帶，并在其內以指數冪次趨于切換面(也即理想準滑模)。如果理想準滑模具有任意配置的極點集，那么系統(tǒng)狀態(tài)將最終收斂于原點，從而消除了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)抖振。

注1 由于文獻[1-3]中的離散指數趨近律和文獻[8]的衰減冪次趨近律，s(k)都存在穩(wěn)態(tài)抖振，因此其設計的滑?？刂破髦荒鼙ＷC系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定到原點附近某鄰域Ω0內的小穩(wěn)態(tài)抖振而非原點本身，其中鄰域大小是

(16)

注2 可取a(k)=1-e-pk(p>0)或a(k)=1-1/k，顯然前者要優(yōu)于后者，當然也可以選取其他形式。

2 含控制時滯的多輸入離散系統(tǒng)

考慮多輸入多控制時滯離散系統(tǒng)

(17)

(18)

下面設計系統(tǒng)(17)的準滑模變結構控制器。

首先作如下時滯變換

(19)

則系統(tǒng)(17)的第一式變?yōu)?/p>

y1(k+1)=

(20)

然后分別引入第q步時滯變換

yq(k)=

(21)

一系列變換推導后得

(22)

仍取線性滑動模切換函數

s(k)=Cym(k)

(23)

(24)

類似的方法可以得到如下定理。

定理 多輸入離散系統(tǒng)(17)在線性切換函數(23)和時變衰減冪次趨近律(8)作用下，系統(tǒng)狀態(tài)將于有限時間內到達準滑動模態(tài)帶，并在其內以指數冪次趨于切換面(也即理想準滑模)。如果理想準滑模具有任意配置的極點集，那么系統(tǒng)狀態(tài)將最終收斂于原點，從而消除了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)抖振。

3 仿真實例

考慮如下多輸入離散系統(tǒng)狀態(tài)方程

x(k+1)=Ax(k)+B1u(k-2)

(25)

引入時滯變換(19)式，則方程(25)變成

(26)

圖1(a) 本文方法的狀態(tài)軌線

圖1(b) 文獻[8]方法的狀態(tài)軌線

圖1(c) 文獻[2]方法的狀態(tài)軌線

圖2(a) 本文方法的切換函數

圖2(b) 文獻[8]方法的切換函數

圖2(c) 文獻[2]方法的切換函數

由圖1～2可以看出，文獻[2]和[8]兩種方法都存在穩(wěn)態(tài)抖振。根據給定的算例參數可知，文獻[2]方法下切換帶s(k)的穩(wěn)態(tài)抖振的范圍是[-0.5 0.5]，文獻[8]方法下切換帶s(k)的穩(wěn)態(tài)抖振的范圍是[-0.25 0.25]，文獻[8]改進了文獻[2]的趨近律，使穩(wěn)態(tài)抖振有所減小，但并沒有消除穩(wěn)態(tài)抖振。而本文方法下并不存在穩(wěn)態(tài)抖振，抖振快速衰減并最終趨于零。因此，仿真結果表明本文方法是優(yōu)越的。

4 結語

本文基于時變衰減冪次趨近律，研究了多輸入離散系統(tǒng)的變結構控制策略，通過時滯變換，將結果進一步推廣到了含有控制時滯的情形。時變衰減冪次趨近律導出的滑?？刂破髂軌虮ＷC系統(tǒng)狀態(tài)最終收斂到原點，而不再是原點鄰域中的某個穩(wěn)態(tài)抖振。仿真結果表明了本文方法是有效的。本文方法還可以進一步推廣到其他形式的離散系統(tǒng)，如離散廣義系統(tǒng)等，具體結果尚待進一步研究。

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責任編輯 陳呈超

Variable Structure Control for Multi-Input Discrete Systems with Time-Delay in Control

DENG Zhen1, CHEN Hong-Yan1, GAO Cun-Chen2

(1. School of General Education, Qingdao University of Technology, Qingdao 266300, China; 2. College of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

The design method of variable structure control for multi-input discrete systems based on the time-varying attenuating power reaching law is proposed. This method is also extended to discrete systems with time-delay in control by a time-delay sate transform. Firstly, the gain matrix of linear switching function is chosen properly in order to assure that the poles of ideal quasi-sliding mode equation in quasi-switching manifold can be designed arbitrarily. Secondly, the quasi-sliding mode controller based on the time-varying attenuating power reaching law can ensure that the state trajectory of multi-input discrete systems with/without time-delay in control reaches a small neighborhood of quasi-switching manifold, and then the trajectory either arrives at the quasi-switching manifold in a next step or converges to the quasi-switching manifold quickly in a power exponential rate, the system state trajectory is guaranteed to converge into the origin of state space, not a stable chatting any more. Fainally a numerical simulation results demonstrate the proposed method is feasible and effective.

discrete system; variable structure control; multi-input; time-delay; chattering

國家自然科學基金項目(60974025)；青島工學院2014年董事長基金項目(2014JY002)資助

2013-06-20；

2014-10-10

鄧 臻(1977-)，女，講師。E-mail: dzh_52@163.com

TP273

A

1672-5174(2015)04-130-05

10.16441/j.cnki.hdxb.20130269