弗賴登塔爾的數(shù)學教育思想綜述

云南省大理州民族中學 田 甜

荷蘭著名數(shù)學家、數(shù)學教育家弗賴登塔爾及其數(shù)學教育思想，一直深深地影響著世界各國的數(shù)學教育，尤其是其“數(shù)學現(xiàn)實論”“數(shù)學化”和“再創(chuàng)造”的思想，為此弗賴登塔爾及其數(shù)學教育思想一直倍受各國研究者的關注。進入新世紀，我國新一輪數(shù)學課程改革更是處處滲透了弗賴登塔爾數(shù)學教育思想，這使得它再次成為我國數(shù)學教育研究者注目的焦點之一，本文將在前人研究的基礎上，進一步展開對其更深入、更細致的思考與研究。

一、 弗賴登塔爾的數(shù)學教育思想

（一）現(xiàn)實的數(shù)學

數(shù)學源于現(xiàn)實，也必須寓于現(xiàn)實，并且用于現(xiàn)實。這是弗賴登塔爾“現(xiàn)實的數(shù)學”的基本出發(fā)點。

根據(jù)數(shù)學發(fā)展的歷史，無論是數(shù)學的概念，還是數(shù)學的運算與規(guī)則，都是由于現(xiàn)實世界的實際需要而形成，數(shù)學不是符號的游戲，而是現(xiàn)實世界中人類經(jīng)驗的總結。數(shù)學來源于現(xiàn)實，因而也必須扎根于現(xiàn)實，并且應用于現(xiàn)實。數(shù)學如果脫離了那些豐富多彩而又錯綜復雜的背景材料，就將成為“無源之水，無本之木”。

另一方面，數(shù)學是充滿了各種關系的科學，通過與不同領域的多種形式的外部聯(lián)系，不斷地充實和豐富著數(shù)學的內容；與此同時，由于數(shù)學本身內在的聯(lián)系，形成了自身獨特的規(guī)律，進而發(fā)展成為嚴謹?shù)男问竭壿嬔堇[體系。

（二）數(shù)學化

所謂數(shù)學化，是用數(shù)學的方法觀察世界，分析研究具體現(xiàn)象并加以組織整理，以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，簡言之，“數(shù)學化即是數(shù)學地組織現(xiàn)實世界的過程”。

弗賴登塔爾運用了埃德里安，特雷弗斯關于數(shù)學化的理論，將數(shù)學化分為水平和垂直的兩種成分。比如，從現(xiàn)實中找出數(shù)學的特性，用不同的方式將同一個問題形式化或直觀化，在不同問題中識別其同構的方面以及將一個現(xiàn)實問題轉化為數(shù)學問題或已知的數(shù)學模型等，都是將同一個問題在水平方向擴展。

而用公式表示出某個關系，證明了一個定律，采用不同的模型或對模型進行加強或調整，以及形成一個新的數(shù)學概念或建立起由特殊到一般化的理論等，則是將某一問題垂直地加以深入。那么我們可以把數(shù)學化歸納為：水平數(shù)學化：從“生活”到“符號”的轉化過程。

垂直數(shù)學化：“水平數(shù)學化后的數(shù)學化”，從低層數(shù)學到高層數(shù)學的數(shù)學化過程。

在數(shù)學化的過程中，兩方面的作用錯綜復雜地糾纏在一起，不能截然分開。

（三）反思

弗賴登塔爾曾為他的數(shù)學教育思想體系繪制出一個總體框圖。弗賴登塔爾指出：反思是一種重要的數(shù)學活動，它是數(shù)學活動的核心和動力。數(shù)學的發(fā)現(xiàn)來自直覺，而分析直覺理解的原因是通向證明的道路。必須教育學生對自己的判斷與活動甚至語言表達進行思考并加以證實，以便使他們學會反思，能有意識地了解自身行為后面潛藏的實質，只有這樣教育才能真正培養(yǎng)學生的數(shù)學能力。

由現(xiàn)實世界直接抽象形成數(shù)學概念的過程，稱為“概念的數(shù)學化”。學生經(jīng)過對這種概念的反思，隨之進行抽象化和形式化的加工，再用之于解決現(xiàn)實世界的問題。經(jīng)過數(shù)學化的深化，可轉而形成新的理論工具，以此又可組織更高層次的數(shù)學現(xiàn)實，并進而創(chuàng)造出更新的數(shù)學概念。經(jīng)反思可以使數(shù)學現(xiàn)實與數(shù)學化相互反饋，協(xié)調發(fā)展，這就是數(shù)學理論發(fā)展的動力，這也是數(shù)學教育所追求的目標。

（四）再創(chuàng)造

弗賴登塔爾指出，一個學科領域的教學論就是指與這個領域相關的教與學的組織過程。而通過數(shù)學化過程產生的數(shù)學必須由通過教學過程產生的數(shù)學教學反映出來，因此，弗賴登塔爾認為數(shù)學教學方法的核心是學生的“再創(chuàng)造”。這里理解的創(chuàng)造，是學習過程中的若干步驟，這些步驟的重要性在于再創(chuàng)造的“再”，而“創(chuàng)造”則既包括了內容又包含了形式，既包含了新的發(fā)現(xiàn)又包含了組織。

弗賴登塔爾認為：學習數(shù)學唯一正確方法是實行“再創(chuàng)造”活動，也就是說，由學生把學習的東西自己實現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務就是為學生的發(fā)展、創(chuàng)造提供自由廣闊的天地，就在于引導學生探索獲得知識、技能的途徑和方法，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力。

二、弗賴登塔爾數(shù)學教育思想對中國數(shù)學教育改革的指導意義

（一）加強對教師變量的研究

在教師培養(yǎng)方面，弗賴登塔爾給出了中小學數(shù)學教師培訓的最低要求。

1.教師能自信地使用現(xiàn)代數(shù)學的基本方法

現(xiàn)在中學數(shù)學課程改革更多地強調滲透現(xiàn)代數(shù)學思想，如集合與對應思想，概率與統(tǒng)計思想等。這就要求在進行教師培訓時，必須結合高等數(shù)學具體知識介紹現(xiàn)代數(shù)學的基本方法，并結合初等數(shù)學內容解釋這些方法，以使他們能在將來的數(shù)學教學中靈活運用。

2.提供為理解現(xiàn)代數(shù)學結構所必需的基礎知識

由于各任課教師在授課過程中沒有特別強調結構觀點，尤其是各學科在數(shù)學大結構中的地位，以至于學生學到的知識不可避免地表現(xiàn)為雜塊分割的狀態(tài)。因此，高師院?？梢钥紤]設置綜合課程，概覽現(xiàn)代數(shù)學的整體結構，使學生不僅能理解數(shù)學的知識，又能理解關于數(shù)學的知識。

3.發(fā)展有關如何應用數(shù)學的某些性質

許多數(shù)學知識來源與物理、化學有著密切的關系，因此弗賴登塔爾認為數(shù)學教師應主動在數(shù)學知識教學中介紹有關定理、公式在物理、化學中的應用。這就要求數(shù)學老師去應用數(shù)學知識解決有關的問題。

4.對如何進行數(shù)學研究作初步介紹

現(xiàn)代教育理論認為教師不再是單純的“傳道，授業(yè)，解惑”的角色，教師還應該是研究者，這里的研究一方面是數(shù)學研究，一方面是教學研究。其中數(shù)學研究并不單指發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學結論，建立新的數(shù)學理論，還包括研究在當時的歷史條件下如何得出這些數(shù)學知識，如何讓學生自己去發(fā)現(xiàn)這些知識。

（二）加快新課程標準和新教材體系建設

傳統(tǒng)教材注重知識體系的嚴密，推理過程的嚴謹，而缺少知識產生的背景知識，弗賴登塔爾稱之為“教學法的顛倒”，加以批判。在新課程要求下，中小學數(shù)學教材發(fā)生重大的變化，一方面給學生創(chuàng)設學習的情境，增加教材的可讀性；一方面，不直接給學生展示數(shù)學結果，而是產生結論的部分過程（或思路），盡可能讓學生自己去發(fā)現(xiàn)結論。