淺談轉(zhuǎn)化思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

【摘 要】數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科，對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，基礎(chǔ)知識(shí)的熟練掌握固然重要，但數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)也不能忽視。數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)非常重要，它是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“工具”。而轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的思想方法之一，它貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)解題的始終。論文將轉(zhuǎn)化思想的含義、在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位、在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用作簡(jiǎn)單的闡述，以其引起教育工作者的共識(shí)。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué);轉(zhuǎn)化思想;數(shù)學(xué)問(wèn)題

大家熟知的轉(zhuǎn)化思想，就是人們?cè)诮鉀Q和處理有些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)用某些技巧把問(wèn)題通過(guò)變換，得到解決的一種方法。一般總是將陌生的問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化， 成為已經(jīng)知道的問(wèn)題;將不容易理解的問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化，成為容易理解的問(wèn)題;將不好解決的問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化，成為容易解決的問(wèn)題;把模糊不清的問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化，成為清晰的問(wèn)題。

在高考中，轉(zhuǎn)化思想仍處在特別重要的位置。數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究解決，沒(méi)有轉(zhuǎn)化思想的幫助會(huì)處于癱瘓狀態(tài)，會(huì)覺(jué)得少了一個(gè)得力的助手，也會(huì)增加很多不可避免的麻煩。論文針對(duì)其中重要的幾個(gè)方面做一下簡(jiǎn)單論述。

一、轉(zhuǎn)化思想在中學(xué)代數(shù)中的應(yīng)用

在中學(xué)代數(shù)中，轉(zhuǎn)化思想被運(yùn)用到解題中的例子數(shù)不勝數(shù)，在解決代數(shù)問(wèn)題過(guò)程中，有時(shí)會(huì)用到等價(jià)轉(zhuǎn)化，有時(shí)也會(huì)用到非等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化思想要求在解題過(guò)程中前面既是后面的充分條件又是后面的必要條件，這樣可以保證在解題過(guò)程中同解。例如解方程問(wèn)題，方程的類型雖然不同，但解法卻不盡相同，基本都是利用降次法將高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程，利用消元法將多元方程轉(zhuǎn)化為一元方程，或者是利用轉(zhuǎn)化思想將不好求解的分式方程化為整式方程等，這些都體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在解決問(wèn)題過(guò)程中既要周全的考慮其限制因素，又要顧及到它們之間的的聯(lián)系。如不等式恒成立問(wèn)題中求參數(shù)的取值范圍這類問(wèn)題，通常用以下兩種方法解決：一種方法是大家經(jīng)常使用的分離參數(shù)求最值的問(wèn)題，如要使a≥g（x）恒成立，只需a≥g（x）max，從而轉(zhuǎn)化為求g（x）的最大值問(wèn)題。另一種方法是當(dāng)題中參數(shù)不容易分離出來(lái)時(shí)，可以直接建立關(guān)于參數(shù)的不等式求最值問(wèn)題求解，比如要使不等式f（x）≥0恒成立，可轉(zhuǎn)化為f（x）min≥0，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求f（x）的最小值h（a）≥0，求出參數(shù)的取值范圍。代數(shù)問(wèn)題中的非等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，要求在解題過(guò)程中找到使原命題成立的充分條件即可。例如不等式中的放縮法，這是不等價(jià)轉(zhuǎn)化的一個(gè)典例，通過(guò)轉(zhuǎn)化可以大大簡(jiǎn)化推理證明的過(guò)程。

二、轉(zhuǎn)化思想在幾何中的應(yīng)用

中學(xué)數(shù)學(xué)中研究的幾何問(wèn)題是從簡(jiǎn)單平面圖形的性質(zhì)入手，把復(fù)雜的幾何問(wèn)題都轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的圖形問(wèn)題來(lái)解決。例如將三維空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二維空間問(wèn)題，將二維空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，最后將復(fù)雜的平面圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的平面圖形問(wèn)題。大家熟知中學(xué)幾何中的面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直問(wèn)題，線面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線線垂直問(wèn)題，都要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想。

轉(zhuǎn)化思想在解析幾何的創(chuàng)立過(guò)程中功不可沒(méi)。在解析幾何中轉(zhuǎn)化思想把空間圖形和數(shù)量關(guān)系緊密的聯(lián)系到一起，使空間圖形問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，也可以把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為空間圖形問(wèn)題，用兩者各自的特點(diǎn)來(lái)研究和解決另一類問(wèn)題。轉(zhuǎn)化思想在解析幾何中還體現(xiàn)在概念、定理及公式中。

三、轉(zhuǎn)化思想在三角問(wèn)題中的應(yīng)用

轉(zhuǎn)化思想在三角問(wèn)題中的應(yīng)用也比較多，在熟記公式的基礎(chǔ)上，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想可以提高學(xué)生的運(yùn)算能力和思維能力達(dá)到事倍功半的效果。例如，化簡(jiǎn)cos（α+β+γ）+cos（α+β-γ），只要抓住α+β+γ=（α+β）+γ，α+β-γ=（α+β）-γ，就可以轉(zhuǎn)化為兩角和與差的余弦公式， 達(dá)到化簡(jiǎn)的目的; 又如，計(jì)算tan20o+tan40o+ tan20otan40o的值，可以抓住20o+40o=60o的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為利用兩角和的正切公式展開(kāi)tan（20o+40o），進(jìn)而求解。

四、轉(zhuǎn)化思想在計(jì)數(shù)與概率問(wèn)題中的應(yīng)用

有些計(jì)數(shù)問(wèn)題需要分多種情況進(jìn)行討論，問(wèn)題的解決過(guò)程比較復(fù)雜，這時(shí)我們可以將多向思維計(jì)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單一思維計(jì)數(shù)問(wèn)題，例如我們熟悉常用的隔板法。還有些計(jì)數(shù)與概率問(wèn)題直接求解限制因素太多，無(wú)從下手時(shí)，可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何模型問(wèn)題來(lái)研究，這樣問(wèn)題就變得簡(jiǎn)單了許多。例如我們處理概率問(wèn)題中常見(jiàn)的送賀卡的問(wèn)題：4名同學(xué)每人寫(xiě)一張賀卡，放到同一個(gè)盒子里，然后每個(gè)人從盒子中取出一張，求拿到別人送出的賀卡的概率。直接處理的話會(huì)有一定難度，可以轉(zhuǎn)化為幾何模型問(wèn)題化抽象問(wèn)題為直觀，使問(wèn)題的解法更易被理解接受。由對(duì)立事件的定義可知，事件A和事件B互為對(duì)立事件，則P（A）=1-P（B），當(dāng)我們解決概率問(wèn)題時(shí)所求的問(wèn)題比較復(fù)雜，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到對(duì)立問(wèn)題上去，從而快速的解決問(wèn)題。例如，袋中裝有紅、黃、白3種顏色的球各1只，從中每次任取一只，有放回的抽取3次，求3只球顏色不全相同概率的問(wèn)題。我們通過(guò)分析知道“3只球顏色不全相同”包含類型比較多，而其對(duì)立事件“3只球顏色全相同”卻比較簡(jiǎn)單，所以用對(duì)立事件的概率方式求解較容易。

總之， 轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中重要的、基本的思想方法之一，通過(guò)轉(zhuǎn)化使許多問(wèn)題化難為易。轉(zhuǎn)化思想滲透在每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)當(dāng)中，教師在教學(xué)過(guò)程中要不斷對(duì)學(xué)生滲透轉(zhuǎn)化思想，不僅可以使學(xué)生的思路得到拓寬，還可以使學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力得到提高，培養(yǎng)學(xué)生多角度考慮問(wèn)題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，掌握正確的思維方法，從而使學(xué)生的思維品質(zhì)得到優(yōu)化。

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【作者簡(jiǎn)介】

張麗娜，女，吉林長(zhǎng)嶺，吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院研究生，研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）。

（作者單位：吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

吉林省扶余市第三中學(xué)）