有限長(zhǎng)激光脈沖在部分離化等離子體中的傳播

柳劍鵬，劉明萍，陶向陽(yáng)*，劉三秋

(1.江西師范大學(xué) 物理與通信電子學(xué)院，南昌330022;2.南昌大學(xué) 信息工程學(xué)院，南昌330031;3.南昌大學(xué) 物理系，南昌330047)

引 言

由強(qiáng)激光脈沖驅(qū)動(dòng)的尾波場(chǎng)電子加速機(jī)制為實(shí)現(xiàn)小型化高能粒子加速器提供了新原理和新方法［1］。強(qiáng)激光在等離子體中的傳播特性和許多前沿科技聯(lián)系密切，如慣性約束核聚變研究［2-4］、激光等離子體加速器［5-7］、高次諧波的產(chǎn)生［8-10］、激光等離子體通道實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)［11-12］等。由于衍射效應(yīng)，激光在等離子體中傳播一個(gè)瑞利長(zhǎng)度后就會(huì)發(fā)散，而在許多應(yīng)用中要求激光在等離子體中傳播幾個(gè)甚至幾十個(gè)瑞利長(zhǎng)度。激光在等離子體中傳播時(shí)，部分離化的等離子體也會(huì)影響激光的穩(wěn)定傳播，如SPRANGLE等人指出的等離子體電子密度調(diào)制不穩(wěn)定性，就是由于部分離化等離子體中束縛電子作用產(chǎn)生;特別是在部分離化等離子體中，由束縛電子作用產(chǎn)生的密度調(diào)制不穩(wěn)定性會(huì)影響相對(duì)論成絲不穩(wěn)定性［13-15］。2004年，激光尾波場(chǎng)電子加速在實(shí)驗(yàn)上取得了突破性進(jìn)展，人們用TW激光器實(shí)現(xiàn)了背景等離子體電子的自注入，得到了幾十兆電子伏特準(zhǔn)單能電子束［16-18］;當(dāng)電子束運(yùn)動(dòng)距離大于失相長(zhǎng)度時(shí)，電子束減速失去能量，使得能散度變大［19］，是造成無(wú)法獲得單能電子束的主要原因之一。激光脈沖穩(wěn)定傳播直接影響電子的自注入和加速過(guò)程，LEEMANS等人利用3.3cm長(zhǎng)預(yù)等離子體通道引導(dǎo)的激光尾波場(chǎng)加速器，在實(shí)驗(yàn)中獲得了GeV準(zhǔn)單能電子束［20］。部分離化等離子體相對(duì)于完全離化等離子體研究前景更加廣闊，其對(duì)激光的傳播特性影響更為復(fù)雜。

在激光有質(zhì)動(dòng)力作用下，等離子體中將產(chǎn)生電子密度擾動(dòng)，形成電子等離子體波，即尾波場(chǎng)［14］。該密度擾動(dòng)可以分為橫向和縱向兩部分:橫向部分使電子沿橫向排開(kāi)，可以形成等離子體密度通道，稱(chēng)為有質(zhì)動(dòng)力自通道效應(yīng)，這種自通道效應(yīng)不但能加劇激光的自聚焦，而且能用來(lái)導(dǎo)引其它激光傳播［5］;縱向部分是有質(zhì)動(dòng)力對(duì)激光束傳播的軸向密度擾動(dòng)，可以誘導(dǎo)電子加速。目前，尾波場(chǎng)對(duì)有限長(zhǎng)激光脈沖在部分離化等離子體中傳播特性的影響還沒(méi)有詳細(xì)的研究結(jié)果。

本文中從激光場(chǎng)與尾波場(chǎng)的耦合方程組出發(fā)，考慮了由激光有質(zhì)動(dòng)力激發(fā)的尾波場(chǎng)和部分離化等離子體中的非線性極化強(qiáng)度等影響，采用變分法推導(dǎo)出尾波場(chǎng)對(duì)強(qiáng)激光在不完全電離等離子體中傳播時(shí)的焦斑半徑與脈沖寬度的演化方程組，經(jīng)過(guò)數(shù)值解析的方法求解，分析了尾波場(chǎng)對(duì)激光自聚焦效應(yīng)作用強(qiáng)弱的影響因素。

1 激光焦斑半徑和脈沖寬度演化方程組

在稀薄的部分離化等離子體中，假定激光脈沖是沿著z方向傳播線偏振激光，并取激光脈沖歸一化矢勢(shì)為:

式中，r為激光半徑，z為傳播距離，t為激光傳播時(shí)間，k和ω分別是激光的波數(shù)和頻率，C表復(fù)數(shù)共軛，歸一化矢勢(shì)a=eA/(mc2)，A為激光場(chǎng)矢勢(shì)，e為單位電荷量，m為靜止?fàn)顟B(tài)下電子質(zhì)量，c為光速，^x是沿x軸方向的單位矢量。

在庫(kù)侖規(guī)范▽·a=0下，運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系(z，ξ=zβgct)中，假定 a(r，z，ξ)為隨激光傳播的緩變包絡(luò)復(fù)振幅，可忽略高階衍射項(xiàng)?2a/?z2，其中，▽為哈密頓算子，βg為歸一化群速度。激光脈沖在部分離化等離子體中傳播的耦合方程組可約化為［20-21］:

式中，R=Pa/Pp=8πχ3(mc/e)2ω4/ωp2是非線性極化強(qiáng)度，χ3是第3階極化率，Pp是等離子體中的相對(duì)論激光臨界功率，Pa是氣體中非線性聚焦臨界功率［20］，ωp是電磁場(chǎng)中等離子體振蕩頻率，δn/n0=(ne-n0)/n0是歸一化等離子體密度擾動(dòng)，ne是背景等離子體密度，n0是初始等離子體密度，η0是線性折射率，kp=ωp/c是等離子體波數(shù)。(2)式為激光場(chǎng)的波動(dòng)方程，右邊第1項(xiàng)包含真空衍射項(xiàng)，尾波場(chǎng)效應(yīng)及相對(duì)論非線性影響，第2項(xiàng)是部分離化非線性效應(yīng);(2)式的左邊第4項(xiàng)和第5項(xiàng)可通過(guò)對(duì)旁軸近似的修正得出，分別表示有限脈沖長(zhǎng)度和群速度的色散效應(yīng)。(3)式為等離子體密度擾動(dòng)方程，即尾波場(chǎng)方程。

為了求解(2)式和(3)式，取激光脈沖為徑向高斯包絡(luò)的正弦函數(shù)，其復(fù)振幅a(r，z，ξ)的試探函數(shù)可設(shè)為［21］:

式中，α，θ，as，rs和 L 分別是激光波面曲率、相移、振幅、焦斑半徑和脈沖寬度。將(4)式代入到(3)式，可得到等離子體密度擾動(dòng)解析表達(dá)式，即激發(fā)的尾波場(chǎng)為:

對(duì)(2)式采用變分法求解，其Lagrangian密度為［21］:

將(7)式分別對(duì) as，α，rs，L 變分可以得到:

式中，a0，L0和r0分別是激光脈沖初始強(qiáng)度(z=0)、初始脈沖寬度和初始焦斑半徑。在不考慮進(jìn)一步電離的情況下，(8)式表示激光在部分離化等離子體中傳播時(shí)功率守恒，且由其可知，(常數(shù))。(9)式說(shuō)明了波面曲率α與焦斑半徑rs的關(guān)系。(10)式和(11)式是一個(gè)脈沖寬度L和焦斑半徑rs關(guān)于激光傳播距離z的演化方程組。(10)式右邊第1項(xiàng)表示真空衍射對(duì)激光傳播影響，第2項(xiàng)包括了相對(duì)論和部分離化等離子體的非線性自聚焦及激光的縱向有質(zhì)動(dòng)力激發(fā)的尾波場(chǎng)(longitudinal wakefield，LWF)對(duì)激光自聚焦效應(yīng)的影響，第3項(xiàng)表示由激光的橫向有質(zhì)動(dòng)力激發(fā)的尾波場(chǎng)(transverse wakefield，TWF)對(duì)激光自聚焦效應(yīng)的影響，值得注意的是，LWF和TWF對(duì)激光脈沖都起聚焦作用。

引入歸一化量 z～其中ZR=kr02/2為瑞利長(zhǎng)度，取參量η0≈1，令Q=1-βg2。焦斑半徑演化方程(10)式和脈沖寬度演化方程(11)式可簡(jiǎn)化為:

由(13)式可知，激光在部分離化等離子體中傳播時(shí)初始脈沖寬度L0、初始焦斑半徑r0、非線性極化強(qiáng)度R(歸一化，無(wú)單位)以及等離子體密度n0不是獨(dú)立的，必須滿(mǎn)足一定的條件才能在其中傳播，即有:

2 數(shù)值分析

現(xiàn)在可以通過(guò)微分方程(12)式和(13)式的解來(lái)描述強(qiáng)激光脈沖在部分離化等離子體中的傳播特性，但由于該方程的高度非線性，求其解析解較為困難，可以通過(guò)4階Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值求解。定義初始條件為:，激光和等離子體初始參量為:a0=0．02，n0=0．03nc，a0是脈沖激光初始強(qiáng)度，nc是等離子體臨界密度。

將激光和等離子體初始參量代入(14)式可以得出L0，R以及r0的關(guān)系變化，如圖1所示，有限長(zhǎng)激光脈沖要在部分離化等離子體中傳播，L0，r0及R不是獨(dú)立的，必須滿(mǎn)足一定的條件才能在其中傳播。由于激光在部分離化等離子體中傳播時(shí)功率守恒時(shí)，a0→∞，這顯然與實(shí)際不符合;取 r0≤40μm時(shí)，隨著R的增大，L0取值增大，但增大幅度不明顯;而取r0=100μm時(shí)，隨著R的增大，L0取值會(huì)急劇地增大，此時(shí)不利于分析各參量對(duì)于激光傳播過(guò)程的影響。

Fig.1 Variations of initial laser pulse length L0for different intensity of polarization nonlinearity R and initial spot size r0

為了利于各參量影響分析，令r0=40μm，進(jìn)行數(shù)值求解，得到Rm=210.635時(shí)，此時(shí)激光匹配傳輸，進(jìn)一步通過(guò)改變等離子體的電離程度可得到圖2，即R值不同時(shí)激光歸一化焦斑半徑 r～s和脈沖寬度 L～隨歸一化傳播距離 z～的演化關(guān)系。從圖2中可知，隨著部分離化等離子體電離程度的增大，部分離化等離子體中的激光自聚焦得到了有效的增強(qiáng)，而且隨著電離程度的越高，激光自聚焦現(xiàn)象越明顯。首先可以看出R＞Rm時(shí)激光自聚焦效應(yīng)比R＜Rm時(shí)要大，當(dāng)R＞Rm時(shí)，如圖2中的R=220曲線所示，部分離化等離子體中的各種自聚焦效應(yīng)大于激光脈沖的真空衍射效應(yīng)，隨著激光傳播距離增大，激光焦斑半徑與脈沖寬度塌縮;當(dāng)R＜Rm時(shí)，如圖2中的R=100曲線所示，激光的脈沖寬度與焦斑半徑隨傳播距離增大而增大，主要表現(xiàn)衍射發(fā)散效應(yīng)。而且在傳播相同距離時(shí)，激光脈沖發(fā)散時(shí)，徑向存在的等離子體通道自聚焦對(duì) r～s的發(fā)散有抑制作用，L～值始終大于 r～s值，所以在部分離化等離子體中，有限長(zhǎng)激光脈沖傳播時(shí)引入變化的脈沖寬度值是有必要的。

Fig.2 Variations of normalized spot size~rsand pulse length~L of a laser pulse with normalized propagating distance~z for different intensity of polarization nonlinearity R

根據(jù)演化方程組(12)式、(13)式可知，等離子體的電離程度對(duì)尾波場(chǎng)的各分量也有影響，給定激光脈沖強(qiáng)度與等離子密度時(shí)，可以得不同R值下，TWF和LWF單獨(dú)作用時(shí)激光焦斑半徑和脈沖寬度隨傳播距離 z～的演化關(guān)系，如圖3所示。在R=100時(shí)，單獨(dú)考慮TWF作用，激光脈沖是衍射發(fā)散，而單獨(dú)考慮LWF，激光脈沖發(fā)生聚焦直至塌縮;隨著R的增大，在R=220時(shí)，TWF作用的激光脈沖也產(chǎn)生了明顯的自聚焦效應(yīng)。由此可得:在相同等離子體電離程度R時(shí)，LWF對(duì)激光自聚焦效應(yīng)的增大作用比TWF的增大作用要強(qiáng);隨著等離子體電離程度R增大，TWF與LWF對(duì)激光在部分離化等離子體中自聚焦作用增強(qiáng)，而且電離程度愈大增強(qiáng)作用愈明顯。另外，在部分離化等離子體中，影響激光尾波場(chǎng)效應(yīng)的參量還有很多，如激光脈沖初始強(qiáng)度a0、等離子體密度n0等，如當(dāng)激光脈沖強(qiáng)度及等離子體電離程度一定時(shí)，隨著等離子體密度n0的增大，尾波場(chǎng)效應(yīng)增大，激光在部分離化等離子體中的自聚焦作用增強(qiáng)。

Fig.3 Variations of wakefield effect for different intensity of polarization nonlinearity R when the plasma density is n0=0.05

3 結(jié)論

從有限長(zhǎng)激光脈沖在部分離化等離子體中傳播的激光場(chǎng)與尾波場(chǎng)滿(mǎn)足的耦合方程組出發(fā)，考慮了激光真空衍射、相對(duì)論自聚焦、部分離化非線性以及激光尾波場(chǎng)效應(yīng)的影響，通過(guò)分析激光脈沖焦斑半徑和脈沖寬度滿(mǎn)足的耦合方程，詳細(xì)討論了尾波場(chǎng)的各分量對(duì)激光傳播特性的影響。要保證有限長(zhǎng)激光脈沖在部分離化等離子體中傳播，初始激光脈沖寬度L0、初始焦斑半徑r0、非線性極化強(qiáng)度R必須滿(mǎn)足(14)式，并存在等離子體電離程度R=Rm時(shí)激光脈沖匹配傳播;而且在部分離化等離子體中，激光脈沖發(fā)散時(shí)，L～的增長(zhǎng)始終大于的增長(zhǎng)，所以L～的變化對(duì)激光脈沖的傳播是非常重要的;隨著等離子體R值增大，激光的自聚焦效應(yīng)增強(qiáng)，并當(dāng)R＞Rm時(shí)，可以明顯的觀察到激光的自聚焦效應(yīng);R值相同時(shí)，TWF比LWF對(duì)激光脈沖的自聚焦作用要小，尾波場(chǎng)對(duì)激光自聚焦的增強(qiáng)作用會(huì)隨著等離子電離程度增大而增強(qiáng)。值得說(shuō)明的是，當(dāng)前激光與部分離化等離子體之間的相互作用有很多新的觀點(diǎn)提出，通過(guò)研究激光在部分離化等離子體中傳播特性可以進(jìn)一步理解其物理機(jī)制，為以后實(shí)驗(yàn)研究提供理論指導(dǎo)。

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