二維拋物型方程的高精度分支穩(wěn)定隱格式

詹涌強， 楊小輝， 譚志明

(1.華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 計算機工程學(xué)院，廣東 廣州 510800；2.廣東警官學(xué)院 計算機系，廣東 廣州 510440；3.廣東理工職業(yè)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室，廣東 中山 528458)

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二維拋物型方程的高精度分支穩(wěn)定隱格式

詹涌強1， 楊小輝2， 譚志明3

(1.華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 計算機工程學(xué)院，廣東 廣州 510800；2.廣東警官學(xué)院 計算機系，廣東 廣州 510440；3.廣東理工職業(yè)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室，廣東 中山 528458)

二維拋物型方程；隱式差分格式；截斷誤差

引 言

在滲流、擴散、熱傳導(dǎo)等領(lǐng)域中經(jīng)常會遇到求解二維拋物型方程的初邊值問題,在二維情形，其模型問題為

(1)

1 差分格式的構(gòu)造

令Δx=Δy與Δt分別表示空間和時間方向的步長，用如下含參數(shù)的差分方程逼近微分方程(1)

(2)

其余類推，η1～η6為待定參數(shù)，適當(dāng)選擇這些參數(shù)，可以使(2)逼近(1)具有盡可能高階的誤差和較好的穩(wěn)定性.

當(dāng)(1)的解充分光滑時，如下關(guān)系式成立

(3)

將(2)式中各節(jié)點上的u在節(jié)點(jΔx,kΔy,nΔt)處作Taylor展開，并利用關(guān)系式(3)整理可得

為了使格式(2)的截斷誤差達(dá)到O(Δt2+Δx4)，須滿足下面方程組

(4)

將所得各值代入(2)式，可得截斷誤差為O(Δt2+Δx4)的三參數(shù)三層隱式差分格式

(5)

2 穩(wěn)定性和收斂性

利用Fourier分析法討論格式(5)的穩(wěn)定性，首先寫出與之等價的兩層格式組

(6)

傳播矩陣G(s1,s2)的特征方程為

λ2-g11λ-g12=0.

(7)

引理1[8]特征方程(7)的根滿足|λ1,2|≤1的充要條件是

|g11|≤1-g12≤2.

(8)

引理2[8]差分格式(5)穩(wěn)定，即矩陣族Gn(s1，s2)(0≤s1,s2≤2，n=1,2,…)一致有界充要條件是

(1)|λ1,2|≤1(λ1,2是方程(7)的兩個根)；

定理1 差分格式(5)穩(wěn)定的一個充分條件是

(9)

由g11≤1-g12可得

(10)

為確定起見，不妨假定

1+2rθs2+4rωs1>0，

由s1,s2的取值范圍可知，該式成立的一個充分條件是

當(dāng)(11)，(12)兩式成立時，可驗證(10)式亦成立.而當(dāng)(11)，(12)兩式成立時，由1-g12<2可得

(13)

(13)式成立的一個充分條件為

(14)

再由-1+g12≤g11

可得

(15)

(15)式成立的一個充分條件為

由條件(14)，可得(16)，(17)兩式成立的一個充分條件為

綜合(11)、(12)、(14)、(18)、(19)式，由Lax的穩(wěn)定性與收斂性等價定理即證得本定理.

3 參數(shù)的選取及差分格式的確定

格式(5)中的參數(shù)應(yīng)按定理1的條件(9)選取，現(xiàn)提供如下方法：

(20)

(21)

4 數(shù)值例子

對初邊值問題

(22)

利用格式(20)與(21)求數(shù)值解，并與精確解進(jìn)行比較.

表1 格式(20)和(21)數(shù)值解與精確解的比較

由表1可以看出，對滿足穩(wěn)定性條件不同的r，本文格式解與精確解均有很好的吻合，這與理論分析完全一致.

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A High Accuracy Implicit Difference Scheme With Branching Stability for Solving Two-Dimension Parabolic Equation

ZHAN Yong-qiang1， YANG Xiao-hui2， TAN Zhi-ming3

(1.School of Computer Engineering， Guangzhou College of South China University of Technology，Guangzhou 510800, China；2.Department of Computer, Guangdong Police College, Guangzhou 510440， China;3.Department of Mathematics Education， Guangdong Polytechnic Institute， Zhongshan 528458， China)

two-dimension parabolic equation; implicit difference schemes; truncation error

10.14182/J.cnki.1001-2443.2015.03.004

2014-05-10

國家自然科學(xué)基金項目(61070165)；廣東省教育部產(chǎn)學(xué)研結(jié)合項目(2011B090400458)

詹涌強(1978-)，男，廣東潮州人，碩士，講師；研究方向：微分方程數(shù)值解法.

詹涌強，楊小輝，譚志明.二維拋物型方程的高精度分支穩(wěn)定隱格式[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2015，38(3)：232-237.

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A

1001-2443(2015)03-0233-06