OpenSSL中橢圓曲線點(diǎn)的壓縮形式研究

◆苗新亮 雷 波 劉 棟

（中國電子科技集團(tuán)公司第三十研究所 四川 610041）

0 引言

采用OpenSSL簽發(fā)的RSA證書，通過Windows的證書查看器發(fā)現(xiàn)，公鑰部分經(jīng)過了ASN.1編碼，在實(shí)際公鑰的基礎(chǔ)上增加了ASN.1編碼的頭部和尾部。而采用OpenSSL簽發(fā)的ECC證書，通過Windows的證書查看器發(fā)現(xiàn)，公鑰部分并沒有采用ASN.1編碼：證書中的公鑰起始部分僅比實(shí)際公鑰多了一個字節(jié)，即“04”。那么這個“04”的具體含義是什么？為什么會在ECC的證書里出現(xiàn)？能否不要這個“04”？下面將對這一系列問題進(jìn)行分析回答。

1 橢圓曲線點(diǎn)的壓縮介紹

1.1 點(diǎn)的壓縮

根據(jù)美國國家標(biāo)準(zhǔn)ANSI X9.62中的描述：一個橢圓曲線點(diǎn)P（不是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)O）由兩個域元素表示，x坐標(biāo)和y坐標(biāo)，標(biāo)記為P=（xp，yp）。這個點(diǎn)可以使用x坐標(biāo)xp和一個確定比特zp壓縮表示為（xp，zp），這個確定比特zp衍生自x坐標(biāo)xp和y坐標(biāo)yp。

IEEE標(biāo)準(zhǔn) 1363TM-2000中也對橢圓曲線點(diǎn)的壓縮進(jìn)行了描述，并與美國國家標(biāo)準(zhǔn) ANSI X9.62基本一致。在IEEE標(biāo)準(zhǔn)1363aTM-2004中對橢圓曲線點(diǎn)的壓縮形式進(jìn)行了擴(kuò)展，將原有的壓縮形式定義為LSB壓縮形式，擴(kuò)展增加了SORT壓縮形式。LSB壓縮形式是指壓縮比特是yp或ypxp?1的整數(shù)表示的最低有效位。SORT壓縮形式是指壓縮比特是yp和y'p整數(shù)表示的比較結(jié)果。其中，點(diǎn)是點(diǎn)的逆，在素?cái)?shù)域Fp中y'p=?yp，在二元擴(kuò)域 F2中

在我國的SM2橢圓曲線公鑰密碼算法標(biāo)準(zhǔn)中，采用的壓縮形式與美國國家標(biāo)準(zhǔn)ANSI X9.62基本相同。在OpenSSL中，點(diǎn)的壓縮完全遵循了美國國家標(biāo)準(zhǔn)ANSI X9.62，即采用了LSB壓縮形式。ANSI X9.62中的壓縮過程如下：

1.1.1 素?cái)?shù)域上的點(diǎn)壓縮

（2）計(jì)算αmodp的平方根β。如果沒有平方根存在則報(bào)錯；

（3）如果β最右側(cè)一個比特與zp相等，那么設(shè)置yp=β，否則設(shè)置yp=p?β。

1.1.2 二元擴(kuò)域上的點(diǎn)壓縮

只要能夠獲得P的x坐標(biāo)xp和zp，yp就能重新計(jì)算出來，詳細(xì)計(jì)算方式如下：

②尋找一個域元素β，使得，如果沒有解則報(bào)錯；

1.2 點(diǎn)的轉(zhuǎn)換

在美國國家標(biāo)準(zhǔn)ANSI X9.62定義了點(diǎn)與八位字節(jié)串的相互轉(zhuǎn)換方式，以便于必要的時候以字符串的形式展示。無窮遠(yuǎn)點(diǎn)O使用一個八位字節(jié)串（octet string）表示為PC=00。一個非無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的圓曲線點(diǎn)可以表示為一個以下三種形式的字符串：壓縮形式、非壓縮形式、混合形式。標(biāo)準(zhǔn)中直接使用了IEEE標(biāo)準(zhǔn)1363TM-2000的一些結(jié)論。

在IEEE標(biāo)準(zhǔn)1363TM-2000中，點(diǎn)與八位字節(jié)串的相互轉(zhuǎn)換方式不僅定義了這三種表示形式，還清楚的定義出了具體格式：

其中，PC是一個固定格式的字節(jié)，使用二進(jìn)制表示為000UC。如果是非壓縮形式或混合形式，U比特等于1，否則于0。如果是壓縮形式或混合形式，C比特等于1，否則等于0。如果是壓縮形式或混合形式，特等于zp，否則等于0。

XP是xp的八位字節(jié)串表示。如果是壓縮形式或混合形式，YP是yp的八位字節(jié)串表示，否則YP為空。

IEEE標(biāo)準(zhǔn)1363aTM-2004對PC的格式進(jìn)行修訂，使用二進(jìn)制表示為。其中，如果采用了SORT壓縮形式，S比特為1，否則為0。其他定義的內(nèi)容沒有變化。

在我國的SM2橢圓曲線公鑰密碼算法標(biāo)準(zhǔn)中，采用的轉(zhuǎn)換方式與美國國家標(biāo)準(zhǔn)ANSI X9.62基本相同。

在OpenSSL中，點(diǎn)的轉(zhuǎn)換完全遵循了美國國家標(biāo)準(zhǔn)ANSI X9.62，與IEEE標(biāo)準(zhǔn)1363TM-2000保持一致。ANSI X9.62中的轉(zhuǎn)換過程如下：

1.2.1 點(diǎn)到八位字節(jié)串的轉(zhuǎn)換

輸出：一個八位字節(jié)串PO。如果選用壓縮方式，得到的PO中有L+1個字節(jié)。如果選用不壓縮或者混合形式，得到的PO中有2L+1個字節(jié)。（其中，

按照如下步驟進(jìn)行點(diǎn)到八位字節(jié)串的轉(zhuǎn)換獲得PO：

（1）將x坐標(biāo)xp轉(zhuǎn)換成八位字節(jié)串XP；

（2）如果選擇壓縮形式，則采用如下步驟：

①計(jì)算zp；

②如果zp為0，則設(shè)置單字節(jié)變量PC=02，如果zp為1，則設(shè)置PC=03；

（3）如果選擇不壓縮形式，則采用如下步驟：

①將y坐標(biāo)yp轉(zhuǎn)換成八位字節(jié)串YP；

（4）如果采用混合形式，則采用如下步驟：

①將y坐標(biāo)yp轉(zhuǎn)換成八位字節(jié)串YP；

②計(jì)算zp；

③如果zp為0，則設(shè)置單字節(jié)變量PC=06，如果zp為1，則設(shè)置PC=07；

1.2.2 八位字節(jié)串到點(diǎn)的轉(zhuǎn)換

輸入：定義在素?cái)?shù)域Fp上橢圓曲線的域元素a和b，一個八位字節(jié)串PO。如果選用壓縮方式，PO的長度為L+1字節(jié)。如果選用不壓縮或者混合形式，PO的長度為2L+1字節(jié)。（其中，

按照如下步驟進(jìn)行八位字節(jié)串到點(diǎn)的轉(zhuǎn)換獲得P：

（1）如果選用壓縮形式，PO可以解析為如果選用非壓縮形式或混合形式，PO可以解析為。其中，PC是一個字節(jié)，XP是一個長度為L的字節(jié)串，YP是一個長度為L的字節(jié)串；

（2）將八位字節(jié)串XP轉(zhuǎn)換為xp；

（3）如果使用的是壓縮形式，則采用如下步驟：

①檢查PC是02還是03，如果都不是則報(bào)錯；

②如果PC是02，則設(shè)置；如果PC是03，則設(shè)置

（4）如果使用的是未壓縮形式，則采用如下步驟：

①檢查PC是否是04，如果不是則報(bào)錯；

②將八位字節(jié)串YP轉(zhuǎn)換為yp；

（5）如果使用的是混合形式，則采用如下步驟：

①檢查PC是06還是07，如果都不是則報(bào)錯；

②將八位字節(jié)串YP轉(zhuǎn)換為yp；

③如果PC是06，則設(shè)置；如果PC是07，則設(shè)置

④執(zhí)行以下一個或兩個步驟：

（6）如果q是一個素?cái)?shù)，則驗(yàn)證，如果不是這種情形則報(bào)錯。如果，則驗(yàn)證，如果不是這種情形則報(bào)錯；

2 去掉橢圓曲線證書簽發(fā)中的“04”

其實(shí)，采用OpenSSL簽發(fā)出的ECC證書，可以通過修改OpenSSL源碼，去掉這個橢圓曲線點(diǎn)的壓縮形式標(biāo)識“04”，通過Windows證書查看器看到的公鑰就是實(shí)際的公鑰。

2.1 OpenSSL中橢圓曲線點(diǎn)的壓縮形式定義

在OpenSSL中關(guān)于橢圓曲線點(diǎn)的壓縮形式定義在cryptoecec.h文件中，是一個名為point_conversion_form_t的枚舉類型，具體如下：

/** Enum for the point conversion form as defined in X9.62（ECDSA）

*for the encoding of a elliptic curve point（x，y）*/

typedef enum {

/** the point is encoded as z||x，where the octet z specifies

*which solution of the quadratic equation y is */

POINT_CONVERSION_COMPRESSED = 2，

/** the point is encoded as z||x||y，where z is the octet 0x02 */

POINT_CONVERSION_UNCOMPRESSED=4，

/** the point is encoded as z||x||y，where the octet z specifies

技術(shù)與應(yīng)用

* which solution of the quadratic equation y is */

POINT_CONVERSION_HYBRID = 6，

} point_conversion_form_t；

2.2 修改OpenSSL中橢圓曲線點(diǎn)的壓縮形式

2.2.1 修改定義

雖然在OpenSSL中只定義了上述三種標(biāo)識，但是從IEEE標(biāo)準(zhǔn)1363aTM-2004可以看出，還有08等幾種定義。因此，需要在point_conversion_form_t枚舉中增加一種與之不沖突的定義POINT_CONVERSION_COPYED=16，即對x和y直接拷貝，或者可以理解為將點(diǎn)直接編碼為的形式。

2.2.2 修改點(diǎn)到八位字節(jié)串的轉(zhuǎn)換處理

OpenSSL在其源碼中提供了素?cái)?shù)域和二元擴(kuò)域兩個橢圓曲線點(diǎn)EC_POINT到八位字節(jié)串的轉(zhuǎn)換。因此，需要分別修改cryptoecec2_oct.c中的ec_GF2m_simple_point2oct函數(shù)和cryptoececp_oct.c中的ec_GFp_simple_point2oct函數(shù)。兩者的修改方式基本相同：當(dāng)form參數(shù)為POINT_CONVERSION_COPYED時，不再將form填入輸出緩沖區(qū)buf的首字節(jié)中，并且返回值為兩倍的模長2*field_len。

2.2.3 修改八位字節(jié)串到點(diǎn)的轉(zhuǎn)換處理

OpenSSL中素?cái)?shù)域和二元擴(kuò)域上八位字節(jié)串轉(zhuǎn)換成橢圓曲線點(diǎn)EC_POINT實(shí)現(xiàn)函數(shù)是：cryptoecec2_oct.c中的ec_GF2m_simple_oct2point函數(shù)和cryptoececp_oct.c中的ec_GFp_simple_oct2point函數(shù)。如果八位字節(jié)串的長度為2*field_len，則認(rèn)為橢圓曲線點(diǎn)的壓縮形式form 為POINT_CONVERSION_COPYED，即只對x和y進(jìn)行了自然連接，并從正確的位置提取x和y。

2.2.4 修改從緩沖區(qū)解碼私鑰對象的處理

修改OpenSSL中從緩沖區(qū)解碼獲得私鑰對象的d2i_ECPrivateKey函數(shù)實(shí)現(xiàn)。用獲取到的公鑰八位字節(jié)串的長度pub_oct_len對模長field_len求余數(shù)，余數(shù)為0時，則認(rèn)為只對x和y進(jìn)行了自然連接，壓縮形式為POINT_CONVERSION_COPYED，余數(shù)為1時則通過公鑰部分的首字節(jié)計(jì)算壓縮形式。最后將獲得的壓縮形式，賦值給私鑰對象的conv_form屬性。

采用相同的方式修改OpenSSL中從緩沖區(qū)解碼獲得公鑰對象的o2i_ECPublicKey函數(shù)實(shí)現(xiàn)。

2.3 簽發(fā)沒有“04”的橢圓曲線證書

在調(diào)用OpenSSL時，簽發(fā)證書時，需要明確使用POINT_CONVERSION_COPYED標(biāo)識，作為form的值傳遞給證書簽發(fā)函數(shù)。

如果僅僅是進(jìn)行證書簽發(fā)測試，通過OpenSSL自身提供的工具就可實(shí)現(xiàn)。不過還需要修改該工具，使其能夠支持POINT_CONVERSION_COPYED。修改apps目錄中的ec.c和ecparam.c中對“-conv_form”選項(xiàng)的處理，當(dāng)參數(shù)為“copyed”時，將form設(shè)置為POINT_CONVERSION_COPYED使用。

然后按照如下步驟簽發(fā)橢圓曲線證書：

（1）采用prime256v1橢圓曲線產(chǎn)生一個密鑰文件：openssl ecparam -out Ecc.key -name prime256v1 –genkey；

（2）利用密鑰文件產(chǎn)生證書請求，并輸入證書相關(guān)信息：openssl req -key Ecc.key -new -out Ecc.req；

（3）使用密鑰文件Ecc.key將證書請求Ecc.req簽發(fā)成證書文件，即一個自簽發(fā)證書，或者叫做根證書：openssl x509 -req -in Ecc.req -signkey Ecc.key -out Ecc.cer。

通過上述步驟簽發(fā)出的證書Ecc.cer，通過Windows查看器打開后，能夠看到該證書的公鑰部分已經(jīng)沒有“04”了。

3 結(jié)語

通過對ANSI X9.62、IEEE 1363TM-2000、IEEE 1363aTM-2004、SM2橢圓曲線公鑰密碼算法等標(biāo)準(zhǔn)的解讀，對OpenSSL源碼的修改，不但可以簽發(fā)出不帶壓縮形式標(biāo)識的橢圓曲線證書，也可以利用已修改的OpenSSL，對橢圓曲線證書進(jìn)行驗(yàn)證。

經(jīng)過修改的OpenSSL，可在一些非常規(guī)標(biāo)準(zhǔn)特殊行業(yè)中進(jìn)行應(yīng)用。簽發(fā)出的橢圓曲線證書，可在嵌入式應(yīng)用等無法集成龐大的OpenSSL的小微型應(yīng)用中使用。