空間繩牽引并聯(lián)機(jī)器人多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

陳杰，孫霄龍，莫瑋

（1.西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，西安710071；2.長(zhǎng)江計(jì)算機(jī)（集團(tuán)）公司，上海200001）

空間繩牽引并聯(lián)機(jī)器人多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

陳杰1,2，孫霄龍2，莫瑋1

（1.西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，西安710071；2.長(zhǎng)江計(jì)算機(jī)（集團(tuán)）公司，上海200001）

以6自由度空間繩牽引并聯(lián)機(jī)器人工作空間體積、最小索力和全局靈巧度為優(yōu)化目標(biāo)，在保證繩索張力范圍的前提下建立了多目標(biāo)優(yōu)化的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型.采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-遺傳算法求得優(yōu)化的3組滿意解，并采用灰色聚類(lèi)法選擇多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)的權(quán)重系數(shù).仿真結(jié)果表明該優(yōu)化方法可以有效地實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，為同類(lèi)繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的設(shè)計(jì)提供了有益的參考.

繩牽引并聯(lián)機(jī)器人；多目標(biāo)結(jié)構(gòu)優(yōu)化；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；遺傳算法；灰色聚類(lèi)

0引言

繩牽引并聯(lián)機(jī)器人是并聯(lián)機(jī)器人的一個(gè)新的分支.這種機(jī)構(gòu)采用繩索替代剛性支桿來(lái)控制末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài).與傳統(tǒng)的剛性支桿并聯(lián)機(jī)器人相比，繩牽引并聯(lián)機(jī)器人在繼承閉環(huán)傳動(dòng)優(yōu)勢(shì)的同時(shí)還具有質(zhì)量輕，慣性小，大傳動(dòng)比，高機(jī)動(dòng)性，工作空間大等優(yōu)點(diǎn)［1］.因此繩牽引并聯(lián)機(jī)器人是一種極具發(fā)展?jié)摿Φ牟⒙?lián)機(jī)器人形式，已廣泛應(yīng)用于攝像機(jī)器人、患者康復(fù)訓(xùn)練、環(huán)境監(jiān)測(cè)、大型射電望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)等方面［2-5］.

通過(guò)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化可提高繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的性能，但單目標(biāo)優(yōu)化只能使單個(gè)目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)，而不能使多個(gè)目標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，因此如能建立以構(gòu)型參數(shù)為優(yōu)化變量的多目標(biāo)優(yōu)化模型，則可大大提高繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的綜合性能［6］.

針對(duì)繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，文獻(xiàn)［7］通過(guò)遺傳算法以全局靈巧度與全面剛度指標(biāo)對(duì)工作空間進(jìn)行優(yōu)化，其在處理雙目標(biāo)時(shí)采用了加權(quán)系數(shù)法，主觀因素過(guò)大，不夠客觀.文獻(xiàn)［8］通過(guò)遺傳算法以最小全局條件數(shù)、最大工作空間利用率和最小索力2范數(shù)為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，其在處理多目標(biāo)時(shí)采用了權(quán)重系數(shù)法，雖然比較了多組權(quán)重系數(shù)，但是依然不夠全面.文獻(xiàn)［9］通過(guò)遺傳算法結(jié)合理想點(diǎn)法進(jìn)行三目標(biāo)優(yōu)化，但其在處理各個(gè)優(yōu)化目標(biāo)時(shí)對(duì)權(quán)系數(shù)進(jìn)行等權(quán)處理，因此結(jié)果不夠客觀.文獻(xiàn)［10］針對(duì)工作空間、運(yùn)動(dòng)學(xué)指標(biāo)（全局剛度和靈巧度）和能量消耗這3個(gè)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則對(duì)四組優(yōu)化指標(biāo)進(jìn)行了優(yōu)化，但是沒(méi)有涉及多目標(biāo)的綜合性能優(yōu)化.因此如果能提出一種有效并且全面客觀的多目標(biāo)優(yōu)化方法，則可為同類(lèi)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供有益的借鑒.

由于繩牽引并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有高度非線性的特點(diǎn)，特別是由于空間機(jī)構(gòu)的限制，其優(yōu)化問(wèn)題相當(dāng)復(fù)雜，數(shù)學(xué)表達(dá)式難以寫(xiě)出，因此傳統(tǒng)優(yōu)化方法往往對(duì)此問(wèn)題無(wú)效.因此本文引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-遺傳算法優(yōu)化方法來(lái)解決此高度非線性的優(yōu)化問(wèn)題.通過(guò)對(duì)一種典型的空間型繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的工作空間體積、最小索力指標(biāo)、全局靈巧度指標(biāo)分別采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，得到了優(yōu)化問(wèn)題的滿意解，然后采用灰色聚類(lèi)的方法得到了多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題不同目標(biāo)的權(quán)值，在此基礎(chǔ)上建立多目標(biāo)優(yōu)化模型，進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì).

1繩牽引并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)和力學(xué)建模

圖1所示為8根繩牽引的6自由度繩牽引并聯(lián)機(jī)器人，建立全局坐標(biāo)系｛O-XYZ｝和局部坐標(biāo)系｛O′-X′Y′Z′｝，局部坐標(biāo)系固定在末端執(zhí)行器上.P=［x，y，z］T為末端執(zhí)行器參考點(diǎn)O′在全局坐標(biāo)系下｛O-XY Z｝的位置矢量；為第i根繩與末端執(zhí)行器的鉸接點(diǎn)在局部坐標(biāo)系｛O′-X′Y′Z′｝下的位置矢量；Bi=［xB，yB，zB］為第i根繩與定平臺(tái)的連接點(diǎn)在全局坐標(biāo)系下的位置矢量；φ、θ、ψ為末端執(zhí)行器分別繞著X軸、Y軸、Z軸的橫滾（roll）、俯仰（pitch）和偏航（yaw）角.

定平臺(tái)上下部分之間距離H=2.2 m，rP和αp（為末端執(zhí)行器分布圓半徑和分布角（A1與X′正向夾角）；rBT和rBB分別為定平臺(tái)上、下部分分布圓半徑；αBT（B1與X正向夾角）和αBB（B5與X正向夾角）分別為定平臺(tái)上、下部分分布角.定平臺(tái)和末端執(zhí)行器鉸接點(diǎn)都對(duì)稱分布.末端執(zhí)行器重量為10 kg，高度為0.1 m.最小預(yù)緊力Tmin=5 N，最大張緊力Tmax=150 N.

選取機(jī)構(gòu)中的第i條閉鏈支路，根據(jù)矢量原理，則第i根繩長(zhǎng)矢量Li在全局坐標(biāo)系下為［11］

式中R為局部坐標(biāo)系｛O′-X′Y′Z′｝到全局坐標(biāo)系｛O-XYZ｝的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，于是i繩的長(zhǎng)度為

則可得第i根繩長(zhǎng)的單位矢量u=Li/‖Li‖，由靜力學(xué)平衡方程有

式中fe，me分別為末端執(zhí)行器受到的外力和外力矩.式（10）可以進(jìn)一步寫(xiě)為矩陣形式

式中T=［t1，t2，...，t8］T為繩張力向量；W=［fe，me］T為作用在末端執(zhí)行器上的力旋量（本文中只考慮重力，無(wú)其余外力和外力矩）.在機(jī)器人學(xué)理論中，工作空間是滿足某種條件的位姿的集合，本文采用了力旋量可行工作空間［11］的概念，即末端執(zhí)行器在某個(gè)位姿處不僅可以保持力學(xué)平衡，并且此時(shí)所有的繩拉力都在最小預(yù)緊力Tmin與最大張緊力Tmax之間.

2繩牽引并聯(lián)機(jī)器人優(yōu)化模型建立

2.1設(shè)計(jì)變量的選擇

綜合考慮各種情況，最終選取了以下6個(gè)設(shè)計(jì)變量（圖1和表1所示）：rP，αp，rBT，rBB，αBT.

這樣取值下限L=［0，0，0.2，0，0，0］T，取值上限U=［1，1，0.4，90，90，90］T.將繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的優(yōu)化變量寫(xiě)成矢量形式為

2.2工作空間體積指標(biāo)

工作空間的大小代表了則繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的指向和跟蹤能力，工作空間體積越大則代表機(jī)器人的指向與跟蹤能力越強(qiáng)，因此工作空間體積優(yōu)化的目標(biāo)是

2.3最小索力指標(biāo)

如圖2所示，最小索力的采樣軌跡為A→B→C→D→E，由于這5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)比較均勻地分布在工作空間內(nèi)，因此選取這樣一條軌跡能夠如實(shí)反映繩牽引并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最小索力的分布情況.令參數(shù)X確定的末端執(zhí)行器沿上述采樣軌跡運(yùn)動(dòng)，由式（4）解算出各點(diǎn)的最小索力，作為對(duì)最小索力進(jìn)行評(píng)價(jià)的目標(biāo)函數(shù)KT，顯然最小索力越大越好，即

2.4全局靈巧度指標(biāo)

繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的靈巧度是衡量機(jī)構(gòu)靈巧性的一個(gè)量化指標(biāo).可通過(guò)全局靈巧度GDI［13］指標(biāo)來(lái)衡量整個(gè)空間的靈巧度.DGI的計(jì)算式是

式中NW是位于旋量可行工作空間內(nèi)離散點(diǎn)的數(shù)目，κ是雅克比矩陣J的條件數(shù)，κ=cond（J），顯然有

式中λmax（·）和λmin（·）分別表示矩陣的最大和最小特征值.顯然靈巧度函數(shù)滿足不等式

于是0＜GDI≤1，當(dāng)GDI=1時(shí)，機(jī)構(gòu)具有最優(yōu)的運(yùn)動(dòng)傳遞特性，此時(shí)具有運(yùn)動(dòng)各向同性.相反，當(dāng)GDI趨近于0時(shí)，機(jī)構(gòu)處于奇異位形［11］.顯然GDI的值越大越好，以保證繩牽引機(jī)器人具有良好的靈巧度.于是靈巧度的優(yōu)化目標(biāo)為

2.5約束條件

約束條件為索力矢量T在最小預(yù)緊力Tmin與最大張緊力Tmax之間，即Tmin≤T≤Tmax，這個(gè)條件可進(jìn)一步表現(xiàn)為兩個(gè)約束條件

式中σmax為整個(gè)工作空間內(nèi)的最大繩索張力，σmin為整個(gè)空間內(nèi)的最小繩索張力.

3神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-遺傳算法結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模及訓(xùn)練

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種進(jìn)化算法，其最大優(yōu)點(diǎn)最大特點(diǎn)是僅僅借助樣本數(shù)據(jù)，無(wú)需建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，即可對(duì)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)由Rn空間（n為輸入神經(jīng)元數(shù)）到Rm空間（m為輸出神經(jīng)元數(shù)）的高度非線性映射.理論分析已經(jīng)證明，具有一個(gè)隱含層及S型或鐘形激勵(lì)函數(shù)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以任意逼近一切函數(shù).故在使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)映射時(shí)，可采用相對(duì)簡(jiǎn)單的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).如圖3所示，采用3層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，其形式為6-6-5.輸入層為6個(gè)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量；隱層神經(jīng)元根據(jù)訓(xùn)練情況定為6個(gè)；輸出層為工作空間體積V、最小索力指標(biāo)KT、全局靈巧度GDI和整個(gè)工作空間內(nèi)的最大繩索張力σmax和最小繩索張力σmin.

如圖3所示，通過(guò)訓(xùn)練后的網(wǎng)絡(luò)可實(shí)現(xiàn)從輸入R6空間到輸出R3空間的非線性映射.隨機(jī)選擇第k個(gè)訓(xùn)練樣本X=［x1（k），x2（k），x3（k），x4（k），x5（k），x6（k）］T，則單隱層和輸出層各個(gè)節(jié)點(diǎn)輸出分別為［12］

式中Wih為輸入層到隱層的連接權(quán)值，i=1，2，3，4，5，6；bh為隱層各神經(jīng)元閾值；f（·）為傳輸函數(shù)（也稱激活函數(shù)），本文中采用Sigmoid函數(shù).

式中Wjo為隱層到輸出層的連接權(quán)值，j=1，2，3，4，5；bo為輸出層各神經(jīng)元閾值.

使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以任意逼近優(yōu)化對(duì)象的輸入輸出關(guān)系，但如果優(yōu)化搜索仍然采用傳統(tǒng)算法（如擬牛頓法、變梯度算法、線性搜索等等），并不能完全發(fā)揮出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)勢(shì)并且容易陷入局部最優(yōu)解.如果通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法建立起與繩索張力的全局映射關(guān)系，可為遺傳算法提供所需的適應(yīng)度函數(shù)值，這樣就可以借助遺傳算法的全局搜索能力.此外如果優(yōu)化目標(biāo)不能用數(shù)學(xué)表達(dá)式表述時(shí)，基于斜率，梯度的優(yōu)化算法就會(huì)無(wú)能為力，這種情況就必須采用智能算法進(jìn)行求解.另一方面，對(duì)于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題，遺傳算法往往所需的計(jì)算量就非常巨大.而B(niǎo)P神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的快速映射能力恰恰克服了遺傳算法的這一缺陷.如能將二者結(jié)合，互為補(bǔ)充，則可以充分發(fā)揮二者的優(yōu)勢(shì)［12］.

3.2遺傳算法優(yōu)化

采用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法流程，包括編碼，生成初始種群，生成適應(yīng)度函數(shù)，選擇、交叉和變異［13］.目標(biāo)函數(shù)選擇為式（5）、式（6）和式（11）所確定的F1（X）、F2（X）和F3（X）.優(yōu)化變量X與工作空間內(nèi)的最大、最小索力σmax和σmin之間的函數(shù)關(guān)系可以由BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)映射得到，即

選擇染色體實(shí)值編碼，種群規(guī)模為40，隨機(jī)生成.最大交叉概率為0.8，最大變異率為0.15，最大進(jìn)化代數(shù)為100代，采取精英保存策略來(lái)保留最佳個(gè)體，算法終止準(zhǔn)則為最大遺傳代數(shù).以工作空間體積最大F1（X）為優(yōu)化目標(biāo)的性能如圖4所示，算法在20代后進(jìn)入收斂過(guò)程.經(jīng)過(guò)100代進(jìn)化后，算法收斂，得到如圖5所示的體積最大的工作空間.最小索力指標(biāo)的優(yōu)化目標(biāo)F2（X）和全局靈巧度的優(yōu)化目標(biāo)F3（X）性能跟蹤與圖4類(lèi)似，這里不再贅述.

分別以F1（X）、F2（X）和F3（X）為優(yōu)化目標(biāo)可以得到3組優(yōu)化結(jié)果，如表2所示，這3組解將作為下一節(jié)多目標(biāo)優(yōu)化的滿意解.遺傳算法得到的優(yōu)化結(jié)果可以作為新的訓(xùn)練樣本加入樣本集，然后循環(huán)計(jì)算，可以改善神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的映射精度，提高優(yōu)化求解的精度.注意到上、下分布圓分布角并不相同，這是因?yàn)楸疚难芯康?-6型空間繩牽引并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)對(duì)稱，當(dāng)末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)到幾何對(duì)稱處會(huì)發(fā)生機(jī)構(gòu)奇異現(xiàn)象從而嚴(yán)重影響其性能，因此上下圓分布角錯(cuò)開(kāi)了一個(gè)小的角度.

4基于灰色聚類(lèi)分析的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

在進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的時(shí)候一般采用的是加權(quán)系數(shù)法，給每個(gè)目標(biāo)分配一個(gè)權(quán)重系數(shù)，但在權(quán)重系數(shù)的分配上一般是根據(jù)主觀偏好，往往不夠準(zhǔn)確和客觀.因此本節(jié)中借助于灰色聚類(lèi)分析，判斷出滿意解的優(yōu)劣次序，從而為權(quán)重系數(shù)選擇提供客觀依據(jù).

4.1聚類(lèi)分析流程［14］

1.建立樣本矩陣

利用表2得到的3組滿意解，得到樣本矩陣D為

2.建立轉(zhuǎn)換樣本矩陣（象矩陣）

由于目標(biāo)為最大化，所以轉(zhuǎn)換樣本矩陣d中每個(gè)元素dij可由下式得到

于是可以得到樣本轉(zhuǎn)化矩陣d

3.確定閾值（白化函數(shù)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)值）及閾值矩陣A

可以根據(jù)下式得到閾值矩陣A為

一般選擇ρ1=0.8，ρ2=1.0，ρ1=1.2，于是可以得到閾值矩陣A=［0.800，0.708，0.792］.

4.確定標(biāo)定聚類(lèi)權(quán)系數(shù)η

由于3個(gè)優(yōu)化指標(biāo)的量綱和意義均布相同，因此采用定權(quán)聚類(lèi)，則由定性分析有η1=0.75，η2=0.55，η3=0.25.

5.求聚類(lèi)系數(shù)σj和歸一化聚類(lèi)矩陣σc

于是可以得到歸一化后的聚類(lèi)矩陣σc為

6.求W矩陣及最滿意解

由于W3最大，故其為最滿意解，且滿意解的優(yōu)劣次序?yàn)镕3（X），F(xiàn)2（X），F(xiàn)1（X）.

4.2多目標(biāo)優(yōu)化

根據(jù)3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)劣次序不同，可以以此為依據(jù)為每個(gè)優(yōu)化目標(biāo)分配權(quán)值，于是有q1=0.31，q2=0.33，q3=0.36.于是優(yōu)化目標(biāo)可以寫(xiě)為

5結(jié)論

本文的主要結(jié)論如下：

（1）采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-遺傳算法結(jié)合可以有效的處理復(fù)雜的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題，特別是對(duì)于目標(biāo)函數(shù)不具有數(shù)學(xué)表達(dá)式的情形.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有的快速映射能力可以有效彌補(bǔ)遺傳算法種群評(píng)估不易，計(jì)算量大的缺點(diǎn)；而遺傳算法又可彌補(bǔ)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局尋優(yōu)能力的不足的缺點(diǎn)，將兩者結(jié)合可以有效處理復(fù)雜的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題.

（2）算法第一次優(yōu)化出的結(jié)果可以作為新的訓(xùn)練樣本加入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練集當(dāng)中，然后進(jìn)行循環(huán)優(yōu)化，可以有效提高優(yōu)化結(jié)果的計(jì)算精度，一般幾次即可達(dá)到滿意效果.

（3）采用灰色聚類(lèi)可以為多目標(biāo)優(yōu)化的權(quán)重系數(shù)選擇提供客觀依據(jù)，從而避免了主觀選擇的隨意性.

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（責(zé)任編輯李藝）

The multi-object optimization of a spatial cable-driven parallel manipulator

CHEN Jie1,2，SUN Xiao-long2，MO Wei1
（1.School of Electro-Mechanical Engineering，Xidian University，Xi'an710071，China；2.Changjiang Computer Group Corporation，Shanghai200001，China）

This paper investigates the multi-object optimization for a spatial 6-DOF（degree-of-freedom）cable-driven parallel manipulator.The optimization based on an NN（neural network）-genetic algorithm was carried out respectively with regarded to workspace volume，the minimum tension and global dexterity index，then three groups of satisfactory solutions were obtained.Furthermore，the weight coefficients for the multi-object optimization model were gained through the grey clustering method.The results show that the NN-genetic algorithm is effective for the structural optimization and can provide a useful reference for the optimal design of similar manipulators.

cable-driven parallel manipulator；multi-object structural optimization；neural network；genetic algorithm；grey clustering method

O224

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2015.01.018

1000-5641（2015）01-0142-09

2014-06

上海市高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)化專(zhuān)項(xiàng)資金項(xiàng)目（JJ-GXCY-04-10-0540）；上海市軟件和集成電路產(chǎn)業(yè)發(fā)展專(zhuān)項(xiàng)資金項(xiàng)目（RX-RJJC-03-10-3803）

陳杰，男，博士研究生，研究方向?yàn)闇y(cè)試計(jì)量技術(shù)、智能控制.E-mail：rdcchji@sina.com.

第二作者：孫霄龍，男，工程師，研究方向?yàn)殡娮庸こ?，智能控?E-mail：xiaolong.sun@cjcc.cn.

第三作者：莫瑋，男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)橹悄芑瘍x器.E-mail：mowei2014@sina.com.