帶援助和偽障礙的Geom/Geom/1休假排隊模型

孟 俊

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，新疆 喀什 844006)

帶援助和偽障礙的Geom/Geom/1休假排隊模型

孟 俊

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，新疆 喀什 844006)

在離散時間Geom/Geom/1工作休假排隊系統(tǒng)中,同時考慮外來支援與偽障礙兩個因素，這個組合豐富了原有的排隊論模型.外來援助幫助系統(tǒng)減少顧客,一對一抵銷隊尾顧客.若系統(tǒng)突然停止工作，則稱系統(tǒng)有障礙出現(xiàn)，障礙分為真障礙和偽障礙兩類.本文應(yīng)用擬生滅鏈和矩陣幾何解的方法，得到了模型各狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)分布,隊長和等待時間在穩(wěn)態(tài)條件下的隨機分解.

援助； 偽障礙；工作休假；矩陣幾何解；條件隨機分解

0 引言

20世紀(jì)中后期，在信息傳輸系統(tǒng)，電話交換網(wǎng)絡(luò)和物流傳輸系統(tǒng)的迅速發(fā)展的帶動下，休假排隊論的研究已經(jīng)日漸成熟.Neuts[1]等開創(chuàng)的矩陣幾何解法成為排隊論的核心內(nèi)容．近些年來，半休假策略被Servi和Finn[2]引入到了排隊論中，半休假也稱為工作休假此后有關(guān)工作休假策略的排隊論就大量出現(xiàn)，如文獻(xiàn)[3-6].關(guān)于Geom/Geom/1排隊論模型是源于20世紀(jì)提出了到達(dá)間隔和服務(wù)時間為正整數(shù)值隨機變量的離散時間排隊.后來朱翼雋[7]等將負(fù)顧客引入Geom/Geom/1排隊論模型中，隨之有關(guān)負(fù)顧客的離散時間工作休假模型也陸續(xù)出現(xiàn)，如文獻(xiàn)[8-11].但是考慮到一個完善的系統(tǒng)會有備用幫助和取消信號的行為，我們統(tǒng)稱這些為外來援助.并且系統(tǒng)中必然存在誘使服務(wù)中止的因素存在,我們將這種因素稱為偽障礙.因此，本文在前面文獻(xiàn)的基礎(chǔ)之上，補充研究了帶外來援助和偽故障的單服務(wù)臺Geom/Geom/1工作休假排隊模型的平衡條件,各狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)分布,穩(wěn)態(tài)下隊長和等待時間的條件隨機分解結(jié)構(gòu).

1 模型描述和記號

(1)顧客和外來援助抵達(dá)間隔相互獨立，假設(shè)顧客和援助能夠同時抵達(dá)，抵達(dá)概率分別為p和q，分別服從G(p),G(q)的分布，其中0

(2)假設(shè)ub和uv是忙期和假期中顧客在一個時間間隔內(nèi)被效勞完畢的概率，在忙期和假期中系統(tǒng)效勞一個顧客的時間分別為Sb和Sv，且Sb?G(ub),Sv?G(uv):

其中0

(3)假設(shè)休假的起始與結(jié)束只出現(xiàn)在n處，n=0,1，…,假設(shè)該模型的工作休假策略為：當(dāng)隊長為0時，系統(tǒng)進(jìn)入一個時長V為的工作休假，且V?G(θ)：

隊長為0時，系統(tǒng)啟動一個時長為V的工作休假的方式和啟動忙期的方式為：

在工作或者休假期間，服務(wù)臺進(jìn)入另一次獨立同分布的工作休假的情況有：a.效勞完一個顧客后，若隊長為0；b.若系統(tǒng)內(nèi)只有外來援助，則外來援助離開；工作休假期間效勞速率為uν，按到達(dá)次序接受效勞.若工作休假結(jié)束時系統(tǒng)隊長不為0，則效勞速率由uν切換到ub，啟動一個正規(guī)忙期.

(4)偽故障只發(fā)生忙期，若發(fā)生偽故障，則系統(tǒng)重新進(jìn)入休假狀態(tài)，等休假結(jié)束進(jìn)入忙期；若發(fā)生故障，則立即進(jìn)行修理.修理時間R?G(γ)，即：

修復(fù)完善后立即啟動工作，為效勞完畢的顧客重新效勞.

(5)設(shè)Ln表示在時刻n處的隊長長度，即顧客數(shù)，且假設(shè)：

(6)到達(dá)間隔，Sb={忙期服務(wù)時間}，Sν={工作休假期服務(wù)時間}，V={休假時間}相互獨立，按到達(dá)順序效勞.

2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移分析

各個狀態(tài)的平穩(wěn)分布以及穩(wěn)態(tài)條件下隊長的隨機分解：

將帶負(fù)顧客和偽故障的離散時間休假排隊系統(tǒng)的狀態(tài)參照系統(tǒng)中的顧客數(shù)和系統(tǒng)得狀態(tài)排列，該模型的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

(1)

其中

易知研究該鏈能夠采取Neuts[1]等創(chuàng)造的矩陣幾何解方法.因為通過觀察(1)的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn){(Ln,Jn),n≥0}是不可約，非周期的擬生滅鏈，可以將(1)看為GI/M/1型結(jié)構(gòu)矩陣的變形.

該模型的穩(wěn)態(tài)分布為：

其中

則穩(wěn)態(tài)隊長的隨機分解為：

其中

3 穩(wěn)態(tài)條件下等待時間的隨機分解

定理1 若α<1且θ>0，穩(wěn)態(tài)條件下等待時間有隨機分解：

其中

證明：顧客抵達(dá)不需等待的概率是：

如果抵達(dá)發(fā)生在工作休假期內(nèi)，隊長為k，則會產(chǎn)生下列情況之一：

(1) 如果抵達(dá)發(fā)生在時刻n，時刻n有效勞完畢一個顧客，另外k-1個顧客進(jìn)入正規(guī)忙期，按速率ub效勞；

(2) 如果在時刻n沒有效勞完畢一個顧客，并且Sν≤V,即剩余休假時間大于或等于按速率uν效勞完畢一個顧客的剩余時間，則按速率uν效勞一個顧客，接下來按速率uν效勞第二個顧客，并再次看工作休假是否中止，如此循環(huán)下去，工作休假內(nèi)的效勞完成后將中止休假系統(tǒng)啟動正規(guī)忙期:

下面求此差分方程，求出Wk0：設(shè)ω<1，記

于是可得

于是

所以

因為W00(z)=P{W=0}，所以

因此

其中

4 結(jié)語

在離散時間Geom/Geom/1工作休假排隊系統(tǒng)中,同時考慮外來援助與偽障礙兩個因素，這個組合豐富了原有的排隊論模型，更貼近實際模型的應(yīng)用，成功模擬了實際的計算機系統(tǒng)，通信工程中如果出現(xiàn)信號取消或者信號中斷問題時的穩(wěn)態(tài)條件下隊長和等待時間的隨機分解.此模型的研究方法同樣適用于其它離散時間排隊模型，例如Geom/G/1，Geom/Geom/N等.總之，有關(guān)離散時間排隊論的研究還可以進(jìn)行更實際更深層次的探索.

[1] Neuts M. Matrix-geometric Solution Stochastic Models[M]．Baltimore:Johns Hokpins University Press,1981.

[2] Servi L D，F(xiàn)inn S G．M /M /1 Queue with Working Vacations( M/M/1/WV)[J]．Perform Evaluation，2002，50: 41-52．

[3] 朱翼雋，石秀闖. M/G/1工作休假和休假中止排隊[J]．運籌與管理，2008，17( 4) : 67-71．

[4] 汪文飛，李俊平．帶單重指數(shù)工作休假和休假中斷的 GI/M/1的排隊系統(tǒng)[ J]．?dāng)?shù)學(xué)理論用，2009，29( 3):94 -97．

[5] Li,TianN.Analysis of the Discrete Time Geo/Geo/1 Queue with Single Working Vacation[J]．Quality Technology and Quantitative Management，2008，5(1):77-89．

[6] Li Jihong，Tian Naishuo，Ma Zhanyou. Performance Analysis of GI /M /1 Queue with Working Vacations and Vacation Interruption[ J]．Applied Mathematical Modeling，2008，32(12):2715-2730．

[7] Zhu Yijun，Zhu Shang，The Geo/Geo/1 Queue with woking vacation andnegative customers and vacation terruption. Journal of HeNan Normal University.Vol.40No.2Mar.2012.

[8] 田乃碩，徐秀麗，馬占友．離散時間排隊論[M]．北京:科學(xué)出版社，2008.

[9] Zhu Y J，Song N，Zhou Z H． Discrete time Geo /Geo /1 queuewith negative customers and multiple working vacations[J]．Journal of Jiangsu University: Natural Science Edition，2010，31(4):488-491．

[10] 唐學(xué)德，朱翼雋，馮艷剛．具有兩種服務(wù)的負(fù)顧客 M～ζ/(G_1/G_2)/1排隊系統(tǒng)[J]．江西師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2007，31(5):500-503．

[11] 朱桂仙，徐德舉． N策略多重工作休假 Geo /Geo/1離散時間排隊[J] ． 首都師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2009，30(4):1-15．

Geom/Geom/1 working vacation queue with assistance and false malfunction

MENG Jun

(SchoolofMathematicsandStatistics,KashiUniversity,KashiXinjiang844006，China)

Takeassistance and false malfunction into discrete time queue with vacation interruptionstrategy.Thiscombinationenrich known queuing model.The assistance offset the positive customers who are being served from the head of the queue one by one.If thesystem suddenly stopped working,thissystem failure.There are true and false failure.This paperuse quasi-birth-and-death process and matrix-geometric solution method， thesteady-state distributions for queue length and the probability generating function are given.Then the stochastic decomposition structure of queue length and sojourn time in the stationary state is gained and obtained the distributionsfor additional queue length and additional waiting timeby this paper.

Assistance； False malfunction； Vacation interruption； Matrix-geometric solutionstocha； Stic decomposition

2015-08-15

孟 俊(1987-),女，河南開封人，碩士，助教，研究方向：概率論.

1001-9383(2015)03-0012-05

O211

A