Hirota雙線(xiàn)性導(dǎo)數(shù)方法求解KdV方程的雙周期波解

梁聰剛，王鴻章

(平頂山學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 平頂山 467000)

Hirota雙線(xiàn)性導(dǎo)數(shù)方法求解KdV方程的雙周期波解

梁聰剛，王鴻章

(平頂山學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 平頂山 467000)

非線(xiàn)性發(fā)展方程是人們認(rèn)識(shí)和解釋自然界許多現(xiàn)象時(shí)得到的數(shù)學(xué)模型，研究這些模型的解的性態(tài)十分重要，其顯式解更是人們研究所必需的。Hirota雙線(xiàn)性導(dǎo)數(shù)方法是求解非線(xiàn)性發(fā)展方程精確解的非常有效的方法之一。本文利用Hirota雙線(xiàn)性導(dǎo)數(shù)方法，并借助于輔助雅可比?函數(shù)，利用Hirota提出的雙線(xiàn)性導(dǎo)數(shù)方法，導(dǎo)出kdv方程的解，最后并對(duì)雙周期波解和孤立波解進(jìn)行了數(shù)值模擬。

Hirota方法； KdV方程； 雙周期波解

孤子理論是目前非線(xiàn)性科學(xué)的一個(gè)重要研究部分，它已經(jīng)在自然科學(xué)領(lǐng)域中廣泛地被應(yīng)用，特別在化學(xué)、生物學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、流體力學(xué)、場(chǎng)論、光學(xué)、凝聚態(tài)物理學(xué)等學(xué)科中都有這方面的重要研究結(jié)果[1-6]。近來(lái)，在研究非線(xiàn)性孤子解的理論方面出現(xiàn)了許多新的方法，例如雙曲正切函數(shù)法，齊次平衡法，Jacobi橢圓函數(shù)法，輔助函數(shù)法等等，利用這些方法，許多學(xué)者在量子力學(xué)、大氣物理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域中解決了大量的非線(xiàn)性孤子波理論的有關(guān)問(wèn)題。新近,由日本數(shù)學(xué)家Hirota提出的雙線(xiàn)性導(dǎo)數(shù)方法為求解各種非線(xiàn)性發(fā)展方程的多孤子解提供了一條有效途徑,。KdV方程是物理學(xué)上描述描述弱非線(xiàn)性回復(fù)力的淺水波模型，它有非常重要的物理意義。本文將利用雅可比?函數(shù)為工具,采用Hirota雙線(xiàn)性方法討論如下形式的KdV方程：

ut(x,t)+6u(x,t)ux(x,t)+uxxx(x,t)=0

(1)

在本文的第一部分，介紹利用雅可比?函數(shù)為工具的雙線(xiàn)性導(dǎo)數(shù)方法；在第二部分，推導(dǎo)出用雅可比?函數(shù)表示的KdV方程的周期波解，并在長(zhǎng)波極限情況下，推導(dǎo)不同形式的精確解，最后給出一些結(jié)論。

1 雅可比?函數(shù)

為了研究方便，不妨給出以下定義、性質(zhì)和符號(hào)：

在一般下降理論(Descent theory)中,來(lái)自線(xiàn)叢條件.若限制變量z為任何復(fù)數(shù),而τ為上半復(fù)平面上,此函數(shù)則成為雅可比?函數(shù),其形式為[7]：

(2)

若固定τ,則此成為一周期為1的單變量z整函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)： ?(z+1;τ)=?(z;τ).

在以τ位移時(shí),此函數(shù)符合：

?(z+a+bτ;τ)=e(-πib2τ-2πibz)?(z;τ);其中a與b為整數(shù).

定義輔助函數(shù)：

其中符號(hào)依黎曼與芒福德之習(xí)慣；雅可比的原文用變量q=eπiτ替換了τ,而稱(chēng)本條目中的?為?3,?01為?4,?10為?2,?11為-?1.若設(shè)則z=0；則可從以上獲得四支單以τ為變量之函數(shù),其中τ取值于上半復(fù)平面.

由雅可比?函數(shù)的加法公式[7]：

(3)

(4)

可以計(jì)算出雅可比函數(shù)?3(x)與?4(x)的Hirota導(dǎo)數(shù)：

(5)

(6)

(7)

(8)

當(dāng)?k(x)≡?k(x,q)(k=1,2,3,4)時(shí)

這里,q=eπiτ,Hirota算子定義為[4]：

2 KdV方程的周期波解

非線(xiàn)性發(fā)展方程的周期波是一種非常重要的解,它有多種表達(dá)形式,如三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、橢圓函數(shù)等.下面將借助于Hirota雙線(xiàn)性方法,獲得用雅可比函數(shù)表示的周期波解.為此,引入變換：

(9)

把變換帶入到KdV方程(1)中,可以計(jì)算出它的雙線(xiàn)性方程：

(10)

其中,C為積分常數(shù).

得到一個(gè)關(guān)于α,ω和C的代數(shù)方程組：

αωb1+α4c1=0

αωb2+α4c2+C=0

解這個(gè)方程組,得到：

(11)

其中,α為任意常數(shù).

至此,我們已經(jīng)得到了用雅可比函數(shù)表示的周期波解：

(12)

3 周期波解的長(zhǎng)波極限

周期波解的長(zhǎng)波極限：

(13)

(14)

若令,k→1,則可得到KdV方程的孤立波解：

u(x,t)=2α2sech2(rξ),ξ=αx+ωt,

(15)

其中，α為任意常數(shù)，ω由(11)式所示.

4 周期波和孤立波的性質(zhì)

圖1 圖2

圖3 圖4

圖1-圖4是周期波解u(x,t)的圖像，參數(shù)α=0.4,τ=0.5.圖1是解的全貌.圖2是解的俯視圖.圖3是沿x-方向的演化.圖4是沿y-方向的演化.

圖5 圖6

圖7

圖5-圖7是孤立波解(17)的圖像，參數(shù)α=0.4,τ=0.5.圖5是解的全貌.圖6是沿t-方向的演化.圖7是解的俯視圖.

5 結(jié)語(yǔ)

近年來(lái),許多作者作了這方面的深入研究,詳見(jiàn)文獻(xiàn)[8-15].本文借助于Hirota雙線(xiàn)性方法,獲得用雅可比函數(shù)?3(x)與?4(x)表示的KdV方程的雙周期波解,同時(shí)指出了它與孤立波解之間的關(guān)系,并對(duì)解進(jìn)行了數(shù)值模擬.論文所用方法較為新穎,可以很方便地用于求解其它一些非線(xiàn)性發(fā)展方程的周期波解.未來(lái),我們還將討論其它類(lèi)型雅可比函數(shù)表示的非線(xiàn)性發(fā)展方程的周期波解,并分析它們與孤立波解之間的關(guān)系,這很有意義.

[1] Ablowitz M J,Clarkson P A.Solitons,Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering[M]．Cambridge:Cambridge University Press,1991.

[2] Matveev V B,Salle M A.Darboux Transformation and Solitons[M].Berlin:Springer,1991.

[3] Hirota R,Satsuma J.Nonlinear evolution equations generated from the B cklund transfor mation for the Boussinesq equation [J].Prog Theor Phys,1997,57:797-807[4] Hirota R.Exact solution of the KdV equation for multiple collisions of solitons[J].Phys Rev Lett,1971,27:1192-1194.

[5] Hu X B,Clarkson P A.Rational solutions of a differential-difference KdV equation,the Toda equation and the discrete KdV equation [J].J Phys A:Math Gen,1995,28:5009-5016.

[6] Cao C W,Geng X G,Wang H Y.Algebro-geometric solution of the 2+1 dimensional Burgers equation with a discrete variable [J].J Math Phys,2002,43:621-643.

[7] Milton Abramowitz and Irene A.Stegun,Handbook of Mathematical Functions,Dover Publications,1964,New York.

[8] Akira Nakamura A Direct Method of Calculating Periodic Wave Solutions to Nonlinear Evolution Equations.I.Exact Two-PeriodicWave Solution J.Phys.Soc.Jpn.47 1701.

[9] Akira Nakamura A Direct Method of Calculating Periodic Wave Solutions to Nonlinear Evolution Equations.II.Exact One-and Two-Periodic Wave Solution of the Coupled Bilinear Equations.

[10] Wang J M and Yang X 2012 Nonlinear Analysis:Thewory,Methods and Applicetions 75 2256.

[11] Wang J M 2011 Chin.Phys.Lett.28 030202.

[12] Wang J M and Yang X 2011 Chin.Phys.Lett.28 090202.

[13] Geng X G 2003 J.Phys.A: Math.Gen.36 2289.

[14] Geng X G and Ma Y L 2007 Phys.Lett.A 369 285.

[15] Fan E G,Chow K W and Li J H 2011 Studies in Applied Mathematics(in press).

Doubly periodic hirota bilinear derivative method for solving double periodic wave solution of KdV equations

LIANG Cong-gang,WANG Hong-zhang

(CollegeofMathematicsandInformationScience，PingdingshanUniversity，Pingdingshan467000，HenanChina)

Nonlinear evolution equations are mathematical model obtained during the period that people learn and illustrate phenomena of nature.It’s very important to do research on the condition of the solution to the model,and its explicit solution is more necessary in carrying out a research.Hirota bilinear derivative method is one of the effective methods to solve the exact solutions of nonlinear evolution equations.By using the Hirota bilinear derivative method,and with the aid of auxiliary jacobian function,bilinear derivative method is applied to educe the solution of KdV equations,and finally the double periodic wave solutions and solitary wave solution are numerically simulated.

Hirota method；KdV equation；Double periodic wave solution

2015-06-05

河南省科技廳科技發(fā)展項(xiàng)目(No： 112300410199)

梁聰剛(1981-)，男，河南南陽(yáng)市人，講師，碩士，研究方向：偏微分方程； 王鴻章(1979-)，男，河南汝州市人，講師，碩士,研究方向：偏微分方程.

1001-9383(2015)03-0007-05

O411.1

A