基于雅克比矩陣的并聯(lián)機構結構參數(shù)優(yōu)化設計

魏永庚,袁 明,石 勇,盛遵冰,王中鮮

(1.黑龍江大學 機電工程學院，哈爾濱 150080；2.哈爾濱工程大學 動力與能源學院，哈爾濱 150001)

基于雅克比矩陣的并聯(lián)機構結構參數(shù)優(yōu)化設計

魏永庚1,袁 明1,石 勇2,盛遵冰1,王中鮮1

(1.黑龍江大學 機電工程學院，哈爾濱 150080；2.哈爾濱工程大學 動力與能源學院，哈爾濱 150001)

并聯(lián)機構作為一種空間機構，其結構參數(shù)多，機構設計復雜，而且結構參數(shù)的改變會直接影響機構的運動精度，因此設計出合理的結構參數(shù)，成為并聯(lián)機構結構設計的關鍵問題。以三平動并聯(lián)機構為研究對象，提出一種基于雅克比矩陣的并聯(lián)機構結構參數(shù)優(yōu)化設計的方法。首先根據(jù)并聯(lián)機構的結構形式推導出動平臺的數(shù)學模型并建立雅克比矩陣，然后根據(jù)并聯(lián)機構雅克比矩陣中的條件數(shù)性能評價指標，利用MATLAB軟件對已知工作空間的并聯(lián)機構結構參數(shù)進行優(yōu)化仿真分析，最后優(yōu)化出合理的結構參數(shù)。

三平動并聯(lián)機構；結構參數(shù)優(yōu)化；雅克比矩陣

0 引 言

并聯(lián)機構一種普遍構型是由可變長度的驅(qū)動桿通過運動副將定平臺和動平臺連接起來的，改變驅(qū)動桿的長度，則引起動平臺位姿的改變，可以進行各種運動模擬和仿真，三平動并聯(lián)機構三維模型見圖1。并聯(lián)機構由于其無累積誤差、自身負荷小、動態(tài)響應好和承載能力大等優(yōu)點，而被廣泛應用于高精度或者高速度場合中[1-3]。在對機構性能的分析中，并聯(lián)機構的雅克比矩陣是評價并聯(lián)機構運動性能的基礎，也是衡量并聯(lián)機床工作性能優(yōu)劣的重要指標[4-6]。由圖1可見，要計算動平臺中心點的運動軌跡，需要知道定平臺和動平臺上運動副的鉸鏈點在空間位置，定平臺上3個鉸鏈，每個鉸鏈3個參數(shù)，動平臺上3個鉸鏈，每個鉸鏈3個參數(shù)，總計6個鉸鏈點18個參數(shù)，因此要測量出18個參數(shù)的準確坐標。由于實際加工、制造和裝配的誤差，18個參數(shù)的實際測量值不可能和理論值完全吻合，導致動平臺的運動軌跡出現(xiàn)誤差，無法保證機構的運動精度。

圖1 三平動并聯(lián)機構三維模型Fig.1 Three translation parallel mechanisms 3D model

目前，通常用雅克比矩陣的條件數(shù)[7-9]即雅克比矩陣的最大和最小奇異性的比值，作為并聯(lián)機構精度的評價指標。本文以一種三平動并聯(lián)機構為研究對象，利用Euler變換求解運動學正逆解，進而求出雅克比矩陣及其逆矩陣，利用雅克比矩陣的條件數(shù)指標和MATLAB軟件對該機構的運動特性進行仿真分析，最終優(yōu)化出合理的結構參數(shù)[10]。

1 三平動并聯(lián)機構運動學求解

三平動并聯(lián)機構的結構簡圖見圖2，其中△A1A2A3和△B1B2B3是相似三角形，固定坐標系為Ob-XbYbZb，運動坐標系為Op-XaYaZa，Ob點為△B1B2B3的外接圓中心坐標，Xb坐標軸的正方向與B1B2同方向，Zb坐標軸垂直于XbOYb面且方向向上?？紤]到初始狀態(tài)，△A1A2A3的中心點Op映射到底面與△B1B2B3的中心點Ob重合，且各坐標軸指向均一致。

圖2 并聯(lián)機構簡圖Fig.2 Schematic diagram of parallel mechanism

通過齊次坐標變換推出運動學逆解公式(1)：

(1)

式中Op(px,py,pz)為運動平臺中心坐標;R為固定平臺半徑;r為動平臺半徑;c=R-r為定動平臺的半徑之差;L1、L2、L3為3根驅(qū)動桿A1B1、A2B2、A3B3的長度。

式(1)描述了已知機構的動平臺中心的位置和姿態(tài)，求解驅(qū)動桿長度變化的過程。通過式(1)又可推導出運動學正解如式(2)：

(2)

2 三平動并聯(lián)機構的雅克比矩陣

(3)

(4)

由以上可知雅克比逆陣J-1為式(5):

(5)

式(5)可進行并聯(lián)機構的速度控制、奇異位形的判定、誤差分析、軌跡規(guī)劃以及靈巧性分析等。奇異性是當機構處于特殊位形時，機構的動平臺將獲得多余的不可控自由度或者失去部分自由度，并導致機構運動失控，這時的雅克比矩陣變成奇異陣，其行列式的值為零。

3 基于雅克比矩陣的并聯(lián)機構性能分析

并聯(lián)機構雅克比矩陣中的條件數(shù)性能評價指標，它不僅反映了機構離奇異位形的遠近，速度方程的可解性，而且反映運動學性能和機構的靜剛度特性。

3.1 條件數(shù)性能評價指標

機器人學常利用雅克比矩陣的奇異值構造3種評價指標：條件數(shù)指標、最小奇異值指標和可操作性指標。

3.2 基于雅克比矩陣的條件數(shù)性能評價分析

(6)

(7)

(8)

由式(7)和式(8)聯(lián)立得出：

(9)

利用其條件數(shù)反映到并聯(lián)機構上來，已知雅克比矩陣表示機構驅(qū)動桿輸入速度L′到動平臺輸出速度p′的映射關系，即L′=J-1p′。也就是假設平臺輸出速度是精確的，當系數(shù)矩陣即雅克比矩陣求解發(fā)生微小偏差時，相應地導致桿長求解發(fā)生變化，進而導致機構運動不準確。

優(yōu)化設計的基本原理：在給定的工作空間范圍內(nèi)，期望機構處在相對較小的E值范圍內(nèi)，需要對并聯(lián)機構的結構參數(shù)進行優(yōu)化，給出結構參數(shù)一定的取值范圍，然后利用目標函數(shù)對其進行優(yōu)化分析，通過在并聯(lián)機構的工作空間內(nèi)進行搜索，得到相對于此關鍵參數(shù)在整個工作空間內(nèi)E的取值范圍，得到各參數(shù)與E在此工作空間的變化圖，查看其趨勢，得到合理的參數(shù)值。

根據(jù)實驗要求，已知運動平臺的工作空間是直徑150mm和高200mm的圓柱型區(qū)域，初步給出尺寸約束范圍見式(10)，并對目標函數(shù)進行優(yōu)化分析。

(10)

利用MATLAB軟件對條件數(shù)E在不同關鍵參數(shù)影響下的變化情況進行分析。仿真結果見圖3。圖3主要分析了定平臺半徑、動平臺半徑以及二者之差及動平臺中心點和條件數(shù)之間的關系。由圖3 (a)可見，條件數(shù)E隨動平臺中心點X和Y的變化圖像是一樣的。在已知的工作空間[-150,150]的范圍內(nèi)，條件數(shù)E隨動平臺中心點X、Y坐標值的增加，先降低后增大且存在最小值。可見每種不同的的半徑差對應的圖像都是關于橫坐標為0的軸線對稱，且在x=0,y=0這個時刻條件數(shù)取最小?？紤]到機構的合理性，這里選取c=600 mm，此時對應的條件數(shù)范圍為1.58≤E≤1.72。由圖3 (b)圖可見隨著半徑差值的不斷增大，條件數(shù)E關于動平臺中心點Z坐標的圖像逐漸向右平移，且都存在最小條件數(shù)值。通過得出的半徑差和條件數(shù)范圍讀出對應的動平臺中心點Z坐標值為670.8～870.8 mm。在條件為各桿長L=900 mm和已知動平臺中心點Z坐標范圍值時得出圖3(c)圖像。由圖3(c)中可見，當動平臺半徑r和定平臺半徑R不斷變大，其各自對應的條件數(shù)成相反趨勢變化，但對應的半徑差的條件數(shù)卻不斷地減小，最后趨近于穩(wěn)定。因為第一個圖已經(jīng)知道最小條件數(shù)Emin=1.58，由圖可見r=300 mm和R=900 mm，此時對應的半徑差也為c=600 mm符合圖3(a)結論。

(a)動平臺中心點X、Y的坐標與條件數(shù)E的關系

(b)動平臺中心點的Z坐標與條件數(shù)E的關系

(c) 動平臺半徑、定平臺半徑及平臺半徑差與條件數(shù)E的關系圖3 條件數(shù)分析Fig.3 Condition number analysis

已知機構的動平臺△A1A2A3和定平臺△B1B2B3為相似三角形，且初始狀態(tài)△A1A2A3的中心Op映射到底面與△B1B2B3的中心Ob重

合,且各軸的指向均一致，令此時的中心點Op的垂直方向值為pz=670.8～870.8 mm，那么桿長可以表示為，經(jīng)計算得出的結果與圖像得出的完全一致。此時優(yōu)化后的相關結構參數(shù)見表1。

表1 優(yōu)化后的結構參數(shù)

4 結 論

通過對三平動并聯(lián)機構的運動學性能分析可知，通過歐拉變換建立機構的矩陣模型可以清楚看出參數(shù)之間的關系，利用雅克比矩陣的重要性質(zhì)，來討論動平臺中心點和結構參數(shù)的關系。利用Matlab和矩陣條件數(shù)性質(zhì)，對并聯(lián)機構關鍵參數(shù)進行優(yōu)化，從中選取合適的條件數(shù)E的取值范圍，使誤差放大倍數(shù)在操作范圍內(nèi)值盡量小，最終確定并聯(lián)機構的結構參數(shù)。

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Structure parameters optimization design of parallel mechanism based on Jacobian matrix

WEI Yong-Geng1, YUAN Ming1, SHI Yong2, SHENG Zun-Bing1, WANG Zhong-Xian1

(1.School of Mechanical & Electrical Engineering, Heilongjiang University, Harbin 150080, China；2.School of Power & Energy, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

The parallel mechanism’s feature are: a spatial mechanism, many structure parameters, mechanism design complex, and the change of structure parameters will directly affect the motion precision of mechanism. So the reasonable design of the structure parameters becomes a key problem of the parallel mechanism structure design. The structure parameters optimization design method of three translation parallel mechanisms is proposed based on Jacobian matrix. According to the structure style of the parallel mechanism, the mathematics model of the moving platform and the Jacobian matrix are deduced. And then, by the the condition number performance indices of the parallel mechanism Jacobian matrix, using the MATLAB software, optimization simulation analysis of the parallel mechanism structure parameters is conducted as known mechanism space. And finally, reasonable structure parameters are obtained.

three translation parallel mechanism; the structure parameters optimization; Jacobian matrix

10.13524/j.2095-008x.2015.01.017

2014-08-29

http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1566.T.20150119.1617.003.html

黑龍江省教育廳科學技術研究項目 (12531520)

魏永庚(1972-)，男，吉林洮南人，副教授，研究方向：并聯(lián)機構數(shù)控編程和結構設計,E-mail:wyg_1972@163.com。

TH122

A

2095-008X(2015)01-0087-05