積分變換教學(xué)中的深入淺出式方法研究

呂誠

(安徽建筑大學(xué)數(shù)理系，安徽合肥230022)

積分變換教學(xué)中的深入淺出式方法研究

呂誠

(安徽建筑大學(xué)數(shù)理系，安徽合肥230022)

復(fù)變函數(shù)與積分變換這門課程中最困難的地方當(dāng)屬積分變換，如何改變大多數(shù)學(xué)生只會機(jī)械模仿公式進(jìn)行計算，無法深刻理解并靈活變通，是該課程教學(xué)改革的當(dāng)務(wù)之急。如能采用深入淺出式教學(xué)方式，結(jié)合前期高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，可以讓學(xué)生適當(dāng)掌握積分變換的原理，并熟悉其解方程的思路。在此將具體探討怎樣深入淺出地進(jìn)行積分變換的課堂教學(xué)，提高教學(xué)效果。

積分變換;傅里葉級數(shù);傅里葉變換;傅里葉積分公式

復(fù)變函數(shù)與積分變換這門課程主要分兩部分，其中復(fù)變函數(shù)部分是在高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上從實數(shù)域推廣到復(fù)數(shù)域，雖然難度上提高很多，但都有理論可供參考，理解上相對容易一些;但積分變換部分幾乎是全新的理論和方法，即便高等數(shù)學(xué)中也有關(guān)于求解微分方程，其方法主要是分離變量和變量替換，與積分變換的方法是不沾邊的。［1，2］無論是理解還是運用積分變換，對初學(xué)者都極為困難。同時，積分變換又在計算機(jī)、自動化等專業(yè)的后繼課程中非常重要，如信號與系統(tǒng)、電磁學(xué)和通訊控制等方面中大量理論和計算都需要用到積分變換。［3］這樣形成一個無法回避的矛盾之中，一方面學(xué)生學(xué)得很辛苦卻沒什么效果，這一點從各個高校復(fù)變函數(shù)與積分變換的高補(bǔ)考率就可看出;另一方面專業(yè)課大量使用積分變換，迫使學(xué)生即便一知半解仍要模仿公式進(jìn)行計算，從而陷入?yún)拰W(xué)的惡性循環(huán)之中。［4］

眾多關(guān)于復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)改革中，都提及提高興趣、鍛煉實際的運用能力，但往往收效甚微。究其原因，大多數(shù)學(xué)者均著眼于在現(xiàn)有的有限課時內(nèi)，怎樣最大化提高學(xué)生的動手能力，即解題能力，卻忽略了怎樣夯實學(xué)生對理論的理解，而只有在理解的基礎(chǔ)上，學(xué)生才可以融會貫通，駕輕就熟。當(dāng)然現(xiàn)實的問題是由于高校多年來的課程改革，其主線是減負(fù)的同時提高學(xué)生應(yīng)用能力，特別是為了增大實際應(yīng)用類課程的課時而迫使理論基礎(chǔ)課降低課時。這導(dǎo)致了數(shù)學(xué)類課程的課時都有一定程度的不足，復(fù)變函數(shù)與積分變換這一課程也不例外。在這種情況下，大多數(shù)學(xué)老師只能被動地降低定理和理論證明方面的課時分配，讓學(xué)生加深對理論的理解自然無從談起。

文中將另辟捷徑，既不用增加課時用于理論分析，也不用添加過多晦澀難懂的定理證明，讓學(xué)生盡可能地加深對積分變換原理的理解，從而更好地掌握并應(yīng)用積分變換的方法。以下結(jié)合作者多年的教學(xué)經(jīng)驗，從多個方面探討如何循序漸進(jìn)地幫助學(xué)生接受這一重要理論，也希望能與廣大學(xué)者一起探尋更好的教學(xué)方法。

1 為什么要引入積分變換

有些同學(xué)初學(xué)積分變換時都有這樣的疑問，為什么要學(xué)習(xí)積分變換，積分變換是做什么的，如果是為了了解微分方程，那何必花這么大的心思，高數(shù)就已經(jīng)學(xué)了微分方程的解法。在此一定要言明其中差別，高數(shù)中只是介紹了很少的一些微分方程解法，諸如一階微分方程、可降解的微分方程和二階常系數(shù)線性微分方程等的解法，其求解方法主要是分離變量和變量替換等方法。而自然科學(xué)中大量的函數(shù)存在于微分方程中，很多微分方程規(guī)律性并不像高數(shù)中線性微分方程那么工整，很多是非常復(fù)雜的公式，比如既含微分運算又含積分運算的微分積分方程，它們的求解是非常困難的。因而引入積分變換，建立統(tǒng)一的方式將某種類型的微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，并由代數(shù)方程的解再用積分逆變換求得原微分方程的解。

在此可舉兩例來加深理解:代數(shù)運算中用指數(shù)運算和對數(shù)運算這樣一對互逆的運算將乘除計算轉(zhuǎn)換為加減運算，可極大地簡化計算次數(shù);高數(shù)中將二階常系數(shù)齊次線性微分方程轉(zhuǎn)換為特征方程，進(jìn)而只需求解一元二次方程的根即可得到原方程的特解。通過上述簡單講解可讓學(xué)生明白引入積分變換目的是避開微分運算，并設(shè)法將微分運算轉(zhuǎn)換為代數(shù)運算，從而方便求出微分方程的解。

2 怎樣引入傅里葉積分公式

若要引入積分變換并簡化微分方程的求解過程，至少需要具備兩個條件，即可比照指數(shù)運算和對數(shù)運算。如何簡化乘除運算，當(dāng)求a和b的乘積ab時，可以通過取對數(shù)將乘除轉(zhuǎn)換為加減lnab=lna+lnb=c，再用指數(shù)運算將結(jié)果還原為原乘除運算的結(jié)果ab=ec.其中上述運算中關(guān)鍵兩點在于:其一，指數(shù)運算與對數(shù)運算是互逆運算，由對數(shù)運算將ab轉(zhuǎn)換為lnab之后，又可以通過指數(shù)運算將其還原ab=elnab;其二，ab通過取對數(shù)得到lnab后，的確可以轉(zhuǎn)換為更為簡單的加減運算lna+lnb.由此可以斷言，引入積分變化如能達(dá)到簡化求解微分方程的目的，以傅氏變換為例，也同樣需滿足以下兩點:其一，存在傅氏變換F和傅氏逆變換F－1，使得ff(t)=F－1{F［f(t)］}，即必須有互逆的變換，將f(t)轉(zhuǎn)換為新的函數(shù)fF(ω)=F［f(t)］后，還可由ff(t)=F－1［F(ω)］還原;其二，取傅氏變換后的確可以將導(dǎo)數(shù)等運算簡化，即轉(zhuǎn)為代數(shù)運算，如和

于是為解決第一個要求，自然提出由傅里葉級數(shù)推廣建立傅里葉積分公式。在此若直接給出傅里葉積分公式，即便隨后花時間輔以證明，也會讓學(xué)生感覺有些太過突然。其實可按以下方法循序漸進(jìn)、深入淺出地引入傅里葉積分公式。

第一步:講述學(xué)生普遍熟悉的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，即單獨一個正弦或余弦波:f1(t)=Asin(ωt+φ0)，f2(t)=Asin (ωt+φ0).第二步:簡單回顧高數(shù)中傅里葉級數(shù)，于是所有的周期函數(shù)都可以由正弦波和余弦波疊加而得。比如非正弦波的周期函數(shù)諸如交流電或周期性矩形脈沖函數(shù)等，都可以用可數(shù)個正弦波疊加而得。以T為周期的函數(shù)fT(t)可表示為其中sinnωtdt，由歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ將其轉(zhuǎn)為復(fù)指數(shù)形式:于是通過先積分運算再級數(shù)運算可以還原周期函數(shù)

第二步:由于我們需要考慮的函數(shù)大多不是周期函數(shù)，需將上述方法推廣。對非周期函數(shù)f(t)，將其限制在區(qū)間并再延拓到整個數(shù)軸上，得周期函數(shù)fT(t)。顯然當(dāng)時，fT(t)=f(t).將T變大，f(t)與fT(t)重合的范圍越大。當(dāng)T→+∞時，fT(t)=f(t)，可以提醒學(xué)生將f(t)視作周期函數(shù)，且在整個數(shù)軸上僅有一個周期。令ωn=nω，則ωn以相差的整數(shù)倍均勻分布在整個數(shù)軸上。于是為了讓學(xué)生更為直觀地理解上式，同時避免復(fù)雜的理論證明，可做形式上說明，而不是嚴(yán)謹(jǐn)證明。取則于是對于區(qū)間(－∞，+∞)，考察積分將(－∞，+∞)等分(只是形式上表述，當(dāng)然不是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f法)，代表區(qū)間為［ωn－1，ωn］，并取區(qū)間右端點作為ξn，即ξn=ωn.由于積分若存在，不論區(qū)間的任何分割以及ξn的任意取法，極限都存在且相等。即而隨著T→+∞，fT(t)→f(t)，離散型的ωn變?yōu)檫B續(xù)型的ω，即F(ω)=于是對于一般的非周期函數(shù)，得到我們所需要的傅里葉積分公式:

3 為什么傅里葉變換可以簡化微分方程

一般在講解傅里葉變換的性質(zhì)時，眾多學(xué)者都會強(qiáng)調(diào)微分性質(zhì)和積分性質(zhì)，這是解決微分方程的關(guān)鍵。

定理(微分性質(zhì))［1］:如f(t)在(+∞，－∞)上連續(xù)或只有有限個可去間斷點，且當(dāng)|t|→+∞時，f(t)→0，則

實際課堂教學(xué)中如果采用卷積等方法嚴(yán)格證明上述定理需要大量課時，且教學(xué)效果并不好;若不講解證明，完全要求學(xué)生死背公式，效果更差。我們認(rèn)為只需讓學(xué)生感受到微分性質(zhì)的具體作用和重要性，就可以達(dá)到預(yù)期效果，在此依然可以采用深入淺出式的教學(xué)。具體如下:以一階導(dǎo)數(shù)為例，直接利用分部積分公式得這里由分部積分將導(dǎo)數(shù)降階，且由當(dāng)|t|→+∞時，f(t)→0，得事實上由無窮限廣義積分收斂的要求，知存在p＞1使顯然有即f(t)如果滿足傅氏積分定理的條件f(t)在(－∞，+∞)上絕對可積，則必有=0.于是經(jīng)n次分部積分后得到f(t)與(iω)n的乘積，由此可見傅氏變換的確滿足之前討論的第二個條件:將微分運算或積分運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算。

4 結(jié)束語

綜合上述討論，可以發(fā)現(xiàn)深入淺出式教學(xué)并沒有增加授課的課時，也沒有增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)。但在理解和計算的關(guān)鍵節(jié)點上，不會為了給學(xué)生減負(fù)而一味回避理論基礎(chǔ)的教學(xué)，強(qiáng)調(diào)運用已有的知識深入淺出地學(xué)習(xí)所遇到的問題，以起到事半功倍的效果。

［1］蓋云英，包革軍.復(fù)變函數(shù)與積分變換［M］.北京:科學(xué)出版社，2001.

［2］蘇變萍，陳東立.復(fù)變函數(shù)與積分變換［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［3］呂誠，孫秀華.淺談復(fù)變函數(shù)與積分變換的課堂教學(xué)［J］.赤峰學(xué)院學(xué)報，2014，30(20):250－251.

［4］李秋生，王麗.工科復(fù)變函數(shù)與積分變換課堂教學(xué)改革初探［J］.宜春學(xué)院學(xué)報，2008，30(2):71－72.

A Simple Approach to the Teaching of Complex Function and Integral Transform

Lv Cheng
(Department of Mathematics and Physics，Anhui Jianzhu University，Hefei，Anhui 230022，China)

The complex function and integral transform are one of the most difficult parts to understand for college students for which most students can calculate by imitating formula mechanically without understanding the priority of the course.If the teacher have explained the profound theories in simple language，students would have mastered the principle of integral transform and would be familiar with the thinking of solving equations.The paper discusses how to improve the teaching effect of the integral transform.

integral transform;Fourier series;Fourier transform;integral theorem of Fourier

G642.0

A

1672－6758(2015)10－0027－3

(責(zé)任編輯:鄭英玲)

呂誠，碩士，講師，安徽建筑大學(xué)。研究方向:應(yīng)用數(shù)學(xué)。

安徽省教育廳自然科學(xué)項目"偽壓縮類和非擴(kuò)張類算子不動點逼近算法設(shè)計及其在均衡優(yōu)化和變分問題上的應(yīng)用研究"(編號: KJ2011z057)。

Class No.:G642.0Document Mark:A