具有弱sˉ-可補的準素子群的有限群

謝鳳艷

（安陽師范學院人文管理學院，河南 安陽 455000）

本文中所有群為有限群，G是有限群.未交待的符號和術語見參考文獻［1-2］.

通過子群的性質研究群的結構是群論研究的一個重要課題.早年Burnside，Thompson，Glauberman，Vilandt等人都從事過這方面的研究.正規(guī)子群是群論中一個重要的概念，在群的研究中占有重要的位置.通過子群的某些廣義正規(guī)性質來研究有限群的結構，一直都是人們非常感興趣的課題［3-6］.特別地，2007年Skiba教授［7］引入了弱s-置換子群和弱s-可補子群的概念.這一新的思想方法和新的理論為群論研究注入了新的活力，并引起了一個新的研究熱潮［7-13］.一個群類F是群系，如果F是同態(tài)像和次直積閉的.一個群系F稱為飽和的，如果它包含所有滿足G/Φ（G）∈F的群G.我們記Hp為p-冪零群類，U為超可解群類.設F是一個群系.我們稱G的子群H在G中F-補充，如果G有一個子群T∈F使得HT=G.徐勇等［10］將弱s-可補子群推廣為弱可補，即G的子群H在G中弱sˉ-可補，如果G有子群T使得HT=G且H∩T≤HsˉG，其中HsˉG是包含在H中G的極大半置換子群.本文中利用準素子群的F-補充及弱可補性質，對有限群的結構進行研究，得到一些結論，推廣和改進一些已知結論.

1 預備知識

引理1［10］設H≤K≤G.則下列斷言成立:

引理2 設F是一個飽和群系，H在G中F-補充.

1）如果H≤M≤G，則H在M中F-補充.

2）如果N是G的正規(guī)子群，則HN/N在G/N中F-補充.

引理2的證明 因為F是一個飽和群系，所以F對商群及子群封閉，故1）、2）成立.

引理3的證明 假設引理不真，并令G為極小階反例.顯然，G的每個子群滿足引理的條件.由G的極小選擇，G是極小非p-冪零群.故G=［P］Q，其中P是G的Sylow p-子群，Q是G的Sylow q-子群.又因為G的每個商群滿足引理的條件.因此Φ（P）=Φ（G）=1.從而P是初等交換p-群.由N/C定理知，NG（P）/CG（P）同構于Aut（P）的一個子群.而|Aut（P）|整除（p-1）（p2-1）…（pn-1），所以NG（P）/CG（P）=1.由Burnside定理知，G是p-冪零的.這一矛盾完成了引理3的證明.

2 主要結論及應用

定理1 設F是包含Hp的飽和群系，n是正整數(shù)且（|G|，（p-1）（p2-1）…（pn-1））=1.則G∈F的充分必要條件是G有正規(guī)子群E使得G/E∈F，E的某個Sylow p-子群P中存在子群D且1＜|D|＜pn+1使得每個滿足|H|=|D|或者|H|=4（如果P是非交換2-群且|D|=2）條件的P的子群H在G中要么p-冪零補充，要么弱可補.

定理1的證明 必要性是顯然的.這里僅證明充分性.因為|D|=pt＜pn時，（|G|，（p-1）（p2-1）…（pt-1））=1.只需證|D|=pn時充分性成立.設此時充分性不成立，并設G是極小階反例.

1）每個含于E中G的真子群為p-冪零群.

設K是含于E中G的真子群，則（|K|，（p-1）（p2-1）…（pn-1））=1.如果，由引理3得K為p-冪零群.如果pn+1||K|.顯然K/K為p-冪零群.令M是包含在P中K的Sylow p-子群.L是M的pn或者4階子群（如果M是非交換2-群且|D|=2）.則L是P的pn或者4階子群.如果M是非交換2-群，則P是非交換2-群.由引理1和引理2，L在K中要么p-冪零補充，要么弱可補.故K滿足定理充分性條件.因為G為極小階反例，所以K為p-冪零群.

2）E≠G且G≠PQ.

若G=PQ，用類似1）的證明，得G為極小非p-冪零群.若E=G.由1）知，G為極小非p-冪零群.由文獻［14，定理10.3.3］和文獻［1，定理3.4.11］得，G=［P］Q，其中Q是G的Sylow q-子群，P/Φ（P）是G的主因子和exp（P）=p或exp（P）=4（P是非交換2-群）.設H是G的pn階子群.則H在G中要么p-冪零補充，要么弱可補.設T是H在G中的補充子群，即G=HT.令K=T∩P.則K正規(guī)于T.因為P/Φ（P）為初等交換群，所以KΦ（P）/Φ（P）正規(guī)于P/Φ（P）.從而KΦ（P）/Φ（P）正規(guī)于PT/Φ（P）=G/Φ（P）.由P/Φ（P）是G的主因子，KΦ（P）/Φ（P）=1或者KΦ（P）/Φ（P）=P/Φ（P）.如果KΦ（P）/Φ（P）=1，則P=HT∩P=H.如果KΦ（P）/Φ（P）= P/Φ（P），則T=G.從而H=H∩T≤.即H=.從而HQ≤G.故P∩HQ=H（P∩Q）=H.而H=P矛盾|H|=|D|＜|P|.故E≠G.

3）最后的矛盾.

由1）和2），E為p-冪零群.設K是E的Hall p'-子群，則K特征于E.因為E正規(guī)于G，所以K正規(guī)于G.如果K≠1.我們斷言:G/K（相對于E/K來說）滿足定理的條件.事實上，（G/K）/（E/K）?G/E∈F，E/K=PK/ K?P且|DK/K|=|D|.設M/K是E/K的子群且|M/K|=|DK/K|或者|M/K|=4（如果E/K是非交換2-群且|DK/K|= 2），則存在P的子群H且|H|=|D|或者|H|=4（如果P是非交換2-群且|D|=2）使得M＝HK.由定理充分性條件及引理1和引理2，M/K在G/K中要么p-冪零補充，要么弱可補.由G的極小選擇，G/K∈F.設fi（i= 1，2）是飽和群系函數(shù)使得Hp=LF（f1），F(xiàn)=LF（f2）.因為K是G的正規(guī)p'-子群，所以對含于K的每個G-主因子Ki+1/Ki和每個整除|Ki+1/Ki|的素數(shù)q，有G/CG（Ki+1/Ki）f1（q）.因為Hp?F，所以由文獻［1，推論3.1.16］得f1（q）?f2（q）.從而G/CG（Ki+1/Ki）∈f2（q）.因此，由G/K∈F知G∈F.這一矛盾說明了K=1.從而P=E正規(guī)于G.于是PQ是G的一個子群，其中Q∈Sylq（G），q≠p.因為PQ/P∈Hp.由引理1和引理2，H在PQ中要么p-冪零可補充，要么弱s-可補.由G≠PQ和G的極小選擇，PQ是p-冪零的.從而Q正規(guī)于PQ.設N是包含在P中的G的任一非單位正規(guī)子群，D是G的Sylow p-子群，則從而Op（G）≤CG（P）≤CG（N）.從而［N，G］=［N，DOp（G）］=［N，D］且［N，D］正規(guī)于G.如果［N，D］=N，則對任意的非負整數(shù)t，N=［N，D，…，D］≤Dt+1，其中D在［N，D，…，D］中的個數(shù)為t.這與文獻［2，定理A.10.3］矛盾.因此［N，D］＜D.從而存在G的正規(guī)子群L使得N/L是G的主因子且［N，G］≤L，由此得到N/L≤Z（G/L）.設f飽和群系函數(shù)使得F=LF（f）.則G/CG（N/L）= 1∈f（p）.由N選擇的任意性知，G有包含在P中的正規(guī)鏈使得鏈中的每個G主因子N/L是f-中心的.因為G/P∈F，所以G∈F.這一最后的矛盾完成了定理的證明.

定理2 設F是包含U的飽和群系.如果G有可解正規(guī)子群E使得G/E∈F，F(xiàn)（E）的每個Sylow子群的極大子群或者極小子群和4階循環(huán)子群（P是非交換2-群）在G中弱sˉ-可補，則G∈F.

定理2的證明 設p是|F（E）|的任意一個素因子且P∈Sylp（F（E）），則P正規(guī)于G，從而P≤Op（G）.故P的極大子群或者極小子群和4階循環(huán)子群（P是非交換2-群）在G中弱s-可補.我們斷言:P≤ZU（G）.若P的每個極大子群在G中弱s-可補，則由文獻［13，引理2.17］得P≤ZU（G）.若存在P的極大子群在G中不是弱s-可補，則P的每個極小子群和4階循環(huán)子群（如果P是非交換2-群）在G中弱sˉ-可補.若p≠2，由文獻［13，引理2.14］得從而P≤ZU（G）.若p=2，令Q∈Sylq（G），其中q≠p.則P的每個極小子群和4階循環(huán)子群（如果P是非交換2-群）在PQ中弱sˉ-可補.由定理1知PQ為2-冪零群.從而Q正規(guī)于PQ.仿照定理1中3）式的證明過程得G有包含在P中的正規(guī)鏈使得鏈中的每個G主因子N/L是f-中心的，從而P≤Z∞（G）≤ZU（G）.由P的選擇得F（E）≤OF（G）.由文獻［13，引理2.21］得G∈F.

推論1 設p是素數(shù)，n是正整數(shù)且（p-1）（p2-1）…（pn-1）=1.如果G有正規(guī)子群E使得G/E為p-冪零的，E中存在子群D且1＜|D|＜pn+1使得每個滿足|H|=|D|條件的E的子群H在G中p-冪零補充，則G為p-冪零的.推論1的證明 如果E的Sylow p-子群P是非交換2-群且|D|=2.設L是E的子群且|L|=4，則存在E的子群H且|H|=2使得H＜L.由充分性的條件，H在G中p-冪零補充.故存在T∈Hp使得G=HT.從而G=LT.即L在G中p-冪零補充.由定理1知，G∈F.

設F是飽和群系，G的子群H稱為在G中F-s-可補的［15］，如果G有一個子群T使得HT=G且T/T∩HG∈F.我們斷言F-s-可補子群是F-補充子群.事實上，如果H在G中F-s-可補，則G有一個子群T使得G= HT且T/T∩HG∈F.我們僅考慮T?F的情形.因為F是飽和群系，所以T∩HG?Φ（T）.故存在T的真子群K使得T=（T∩HG）K.從而G=HT=HK且K/K∩HG=K/K∩（T∩HG）?K（T∩HG）/（T∩HG）=T/T∩HG∈F.如果K∈F，那么H在G中F-補充.如果K?F.繼續(xù)上面的過程.因為G為有限群，所以|T|有限.故可以找到T的一個子群M使得M∈F且G=HM.即H在G中F-補充.

文中定理推廣和改進以下幾個結論.

推論2［15］設p是|G|的素因子并且滿足（|G|，p2-1）=1.則G∈Hp充要條件是G有一個正規(guī)子群E使得G/E∈Hp并且E的每個p2階子群在G中有p-冪零-可補充.

推論3［15］設G滿足（|G|，21）=1.則G是2-冪零的充要條件是G的每個8階子群在G中有p-冪零-可補充.

推論4［10］設p是一素數(shù)且（|G|，p-1）=1.假設G有正規(guī)子群E使得G/E∈Hp且E的某個Sylow p-子群P的每個極小子群和4階循環(huán)子群在G中弱sˉ-可補，則G∈Hp.

推論5［12］設P是G的Sylow p-子群且（|G|，p-1）=1.假設G有正規(guī)子群E使得G/E∈Hp且E的某個Sylow p-子群的每個極小子群和4階循環(huán)子群在G中要么有p-冪零可補，要么弱s-半置換，則G∈Hp.

推論6［11］設F是包含U的飽和群系.如果G有可解正規(guī)子群E使得G/E∈F，F(xiàn)（E）的每個Sylow子群的極大子群在G中弱s-可補，則G∈F.

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