基于系統(tǒng)相似方法的疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器非線性動(dòng)力學(xué)建模及實(shí)驗(yàn)研究

官長斌， 陳 君， 汪旭東， 焦宗夏

(1.北京控制工程研究所，北京 100080； 2. 北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191)

基于系統(tǒng)相似方法的疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器非線性動(dòng)力學(xué)建模及實(shí)驗(yàn)研究

官長斌1， 陳 君1， 汪旭東1， 焦宗夏2

(1.北京控制工程研究所，北京 100080； 2. 北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191)

根據(jù)機(jī)械系統(tǒng)與電氣系統(tǒng)的相似方法，將疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的非線性電-機(jī)械耦合模型完全轉(zhuǎn)換到電氣域內(nèi)，建立其非線性相似電路模型；給出了非線性相似電路模型中遲滯因子的辨識(shí)方法，并對(duì)某款商用疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行了遲滯因子的辨識(shí)試驗(yàn)；基于非線性相似電路模型和遲滯因子的辨識(shí)結(jié)果，對(duì)該款疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的非線性特性進(jìn)行了仿真分析,得到了其非線性位移遲滯回線；仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合，證明了該建模過程與辨識(shí)方法的正確性。該建模方法在電氣域內(nèi)對(duì)疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器電-機(jī)械耦合特性及非線性遲滯特性進(jìn)行描述，建模過程物理意義清晰且簡(jiǎn)單實(shí)用，對(duì)于研究壓電驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)態(tài)特性及控制算法具有實(shí)際意義。

疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器；非線性建模；遲滯因子；系統(tǒng)相似方法

壓電驅(qū)動(dòng)器是近些年來得到迅速發(fā)展的新型電動(dòng)驅(qū)動(dòng)器，它利用壓電陶瓷的逆壓電效應(yīng)將電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，具有結(jié)構(gòu)緊湊、定位精度高、響應(yīng)快、輸出力大、無電磁干擾等優(yōu)點(diǎn)，因此被廣泛應(yīng)用于振動(dòng)主動(dòng)控制[1]、高頻伺服作動(dòng)系統(tǒng)[2]以及航天器微型冷氣推進(jìn)系統(tǒng)[3]中。然而，其輸出位移過小的缺點(diǎn)嚴(yán)重限制了其應(yīng)用范圍。為了獲得可用的位移輸出，一般需要對(duì)壓電陶瓷的輸出位移進(jìn)行放大，常用的放大方法包括壓電片堆疊、單晶片或雙晶片結(jié)構(gòu)[4-6]。其中，堆疊型壓電驅(qū)動(dòng)器具有更好的力學(xué)特性和動(dòng)態(tài)特性，并且便于與放大機(jī)構(gòu)聯(lián)合使用，成為目前最有效、最實(shí)用的壓電驅(qū)動(dòng)器形式。

疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器不但是一種典型的電-機(jī)械耦合系統(tǒng)，而且具有明顯的非線性遲滯特性。在早期的壓電驅(qū)動(dòng)器建模研究中，為了簡(jiǎn)化建模過程，大都忽略其非線性,只是線性化地研究了壓電驅(qū)動(dòng)器的電-機(jī)械能量轉(zhuǎn)換過程。此類模型包括靜態(tài)模型、動(dòng)力有限元模型和動(dòng)力阻抗模型[7]，但是以上三種模型均為純力學(xué)模型,對(duì)于考察壓電驅(qū)動(dòng)器的電學(xué)特性具有明顯的不足。為了克服這一缺點(diǎn)，文獻(xiàn)[8]利用相似系統(tǒng)思想，建立了壓電驅(qū)動(dòng)器的相似電路耦合模型，使得系統(tǒng)建模過程物理意義更加清晰，但是該模型同樣沒有考慮壓電驅(qū)動(dòng)器的非線性遲滯特性。

隨著對(duì)壓電驅(qū)動(dòng)器定位精度要求的提高，人們期望通過研究壓電驅(qū)動(dòng)器的非線性遲滯特性，為壓電驅(qū)動(dòng)器的控制算法提供更多的理論支撐，因此各國研究人員在分析其非線性遲滯特性成因的基礎(chǔ)上，提出了多種建模方法。比較典型的有Preisach模型[9]、Duhem模[10]、Maxwell滑動(dòng)模型[11]以及Prandtle-Ishlinskii模型[12]。上述模型中所包括的參數(shù)一般都比較多，這給非線性模型的建立或辨識(shí)帶來了不便。為了能夠更加方便地描述壓電驅(qū)動(dòng)器的非線性遲滯效應(yīng)，Adriaens等[13]提出了一個(gè)只包含三個(gè)參數(shù)的一階微分方程，用它來描述這種非線性遲滯現(xiàn)象，并且給出了方程中三個(gè)參數(shù)的辨識(shí)方法。雖然文獻(xiàn)[9-13]給出了壓電驅(qū)動(dòng)器非線性遲滯特性的不同表達(dá)形式，但是在電-機(jī)械耦合特性的理論分析方面，都是將壓電驅(qū)動(dòng)器分解到兩個(gè)物理域內(nèi)(電氣域和力學(xué)域)進(jìn)行模型的建立，這種建模方式物理意義不清晰，無法直觀地理解壓電驅(qū)動(dòng)器的能量傳遞過程。

本文根據(jù)系統(tǒng)相似方法，將疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的非線性電-機(jī)械耦合模型完全轉(zhuǎn)換到電氣域內(nèi)，建立了其非線性相似電路模型；闡述了疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器遲滯因子的辨識(shí)方法，并對(duì)某款商用疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行了遲滯因子的辨識(shí)試驗(yàn)；基于動(dòng)態(tài)仿真框圖和辨識(shí)的遲滯因子，對(duì)疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的非線性特性進(jìn)行了仿真分析，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。該建模方法在電氣域上揭示了疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的電-機(jī)械耦合機(jī)理及非線性遲滯特性，使建模過程物理意義清晰，能夠直觀地理解壓電驅(qū)動(dòng)器的能量傳遞過程。

1 典型疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的結(jié)構(gòu)

圖1 疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of stack-type piezoelectric actuator

疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器由很多壓電陶瓷片粘接而成，是一種機(jī)械上串聯(lián)、電氣上并聯(lián)的結(jié)構(gòu)。這種壓電驅(qū)動(dòng)器的優(yōu)點(diǎn)是在低壓驅(qū)動(dòng)情況下，能夠輸出較大的位移和力，同時(shí)頻率響應(yīng)快。但是，這種壓電驅(qū)動(dòng)器同時(shí)具有一個(gè)明顯的缺點(diǎn)是不能承受拉力，因?yàn)槔?huì)使粘接在一起的壓電疊片脫離，進(jìn)而引起壓電驅(qū)動(dòng)器斷裂。因此，為了使其在實(shí)際應(yīng)用中具有較好的可靠性，一般是采用預(yù)壓彈簧給壓電疊堆提供一定的預(yù)壓縮力，這樣才能使得壓電驅(qū)動(dòng)器能夠承受一定的拉力，提高其力學(xué)性能。此外，壓電疊堆的位移通過一個(gè)位移輸出桿輸出。所以，壓電疊堆、預(yù)壓彈簧和位移輸出桿就構(gòu)成了典型的疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器，如圖1所示。

2 疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的非線性動(dòng)力學(xué)建模

2.1 非線性相似電路模型

壓電材料除了具有遲滯非線性之外，它本身還是一種具有電-機(jī)械耦合效應(yīng)的材料。Goldfarb等[11]給出了一種描述壓電疊堆電-機(jī)械耦合行為的方法?；贕oldfarb的理論，建立了疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的電-機(jī)械耦合模型，如圖2所示。

圖2 疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的電-機(jī)械耦合模型Fig.2 Electromechanical coupling model of stack-type piezoelectric actuator

圖2所示的疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的電-機(jī)械耦合模型，是在電氣和機(jī)械兩個(gè)物理域內(nèi)對(duì)壓電驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行了模型的描述。為了使壓電驅(qū)動(dòng)器的模型描述過程物理意義清晰，下面利用相似系統(tǒng)思想，將整個(gè)壓電驅(qū)動(dòng)器都在電氣域內(nèi)進(jìn)行描述，建立了疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的非線性相似電路模型。

根據(jù)線性系統(tǒng)微分方程的相似性，具有不同物理含義的線性系統(tǒng)均具有自己的等效電路模型，這被稱作“系統(tǒng)相似方法”[14]。表1給出了機(jī)械系統(tǒng)物理量與電氣系統(tǒng)物理量的相似性對(duì)比。

表1 機(jī)械系統(tǒng)與電氣系統(tǒng)的相似轉(zhuǎn)換

基于機(jī)械系統(tǒng)與電氣系統(tǒng)的相似方法，將如圖2所示的疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的電-機(jī)械耦合模型在電氣域內(nèi)進(jìn)行描述，得到了如圖3所示的疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的非線性相似電路模型。圖3完全從電路的角度來解釋疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的電-機(jī)械耦合特性，使得驅(qū)動(dòng)器機(jī)理描述更加清晰，這有利于更加直觀地詮釋疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的能量流，也能更加方便地建立疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的狀態(tài)方程。

圖3 疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的非線性相似電路模型Fig.3 Nonlinear simulative circuit model of stack-type piezoelectric actuator

參考圖3，可以得到疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的非線性動(dòng)力學(xué)方程：

ud=uh+up

(1)

q=H(uh)

(2)

up=Fp/Tem

(3)

q=qp+Cpup

(4)

qp=Temxr

(5)

(6)

其中:H代表疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的遲滯因子，也是表征壓電驅(qū)動(dòng)器非線性的參數(shù)。

此外，壓電疊堆的等效剛度系數(shù)kp可表示為[15]：

kp=EpAp/lp

(7)

其中:Ep為壓電疊堆的楊氏模量，Ap為壓電疊堆的截面積，lp為壓電疊堆的長度。

壓電疊堆的質(zhì)量mp可表示為：

mp=ρpAplp

(8)

其中:ρp為壓電疊堆的密度。

電-機(jī)械轉(zhuǎn)換系數(shù)Tem可由下式表示[15]：

Tem=d33npkp

(9)

其中:d33為壓電陶瓷的應(yīng)變常數(shù)，np為壓電疊片的數(shù)量。

基于式(1)～式(6)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，建立了疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)態(tài)框圖，如圖4所示。該動(dòng)態(tài)框圖包含了遲滯非線性、電-機(jī)械耦合特性和位移輸出桿動(dòng)特性等因素，直觀地解釋了疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的工作機(jī)理。其中，G(s)是代表位移輸出桿動(dòng)特性的傳遞函數(shù)，它是由式(6)推導(dǎo)而來的，可以表示如下：

(10)

圖4 疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)態(tài)框圖Fig.4 Dynamic diagram of stack-type piezoelectric actuator

2.2 遲滯因子的辨識(shí)方法

遲滯現(xiàn)象是壓電材料的一種固有特性，它的存在會(huì)影響壓電驅(qū)動(dòng)器的性能。很多學(xué)者[9-12]都對(duì)壓電材料的遲滯非線性進(jìn)行過研究，并提出了很多能夠描述這種特性的數(shù)學(xué)模型。為了能夠更加方便地描述壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的遲滯效應(yīng)，本文采用Adriaens等[13]所提出的一階微分方程來描述這種現(xiàn)象，并且給出了方程中三個(gè)參數(shù)的辨識(shí)方法。Adriaens所提出的一階微分方程表示為：

(11)

根據(jù)文獻(xiàn)[13]，為了辨識(shí)式(9)中的三個(gè)參數(shù)，首先應(yīng)該得到遲滯現(xiàn)象引起的電壓uh和電荷q之間的非線性曲線。但對(duì)于疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器，uh與q之間的曲線不容易測(cè)得，而容易測(cè)得的是其位移xr與驅(qū)動(dòng)電壓ud之間的非線性遲滯曲線。

下面我們將利用已知的xr與ud之間的遲滯關(guān)系推導(dǎo)得到辨識(shí)所需要的uh和q之間的遲滯關(guān)系。

聯(lián)立式(3)～(5)，可以得到

(12)

(13)

假設(shè)壓電驅(qū)動(dòng)器處于空載情況下，則Fp可以表示如下：

Fp=kpxr

(14)

將式(12)代入到式(10)和式(11)中，可得：

(15)

(16)

結(jié)合式(15)，式(16)以及(xr,ud)曲線，可以獲得uh和q之間的非線性遲滯曲線。

[13]，由(uh,q)遲滯曲線的中心點(diǎn)位置、平均斜率和遲滯曲線面積，可以得到式(11)中的三個(gè)參數(shù)，表示如下：

(17)

(18)

(19)

其中:qur和qll分別為(uh,q)遲滯曲線的右上端點(diǎn)和左下端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的電量值，qc為(uh,q)遲滯曲線的中心點(diǎn)對(duì)應(yīng)的電量值，A為uh的幅值，ε為遲滯環(huán)的面積。

3 疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器遲滯因子的辨識(shí)實(shí)驗(yàn)

本文所使用的疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器是德國Physik Instrumente公司的產(chǎn)品，型號(hào)是P-843.40，內(nèi)置應(yīng)變計(jì)傳感器(SGS，Strain Gauge Sensor)；高精度的SGS用來測(cè)量疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的位移。該疊堆型壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的物理參數(shù)列在了表2中。

首先對(duì)P-843.40型壓電驅(qū)動(dòng)器的準(zhǔn)靜態(tài)性能(位移與驅(qū)動(dòng)電壓的關(guān)系)進(jìn)行了測(cè)試，測(cè)試裝置如圖5所示。信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生頻率為0.05 Hz、幅值為5 V、偏置5 V的三角波信號(hào)(如圖6所示)，這個(gè)信號(hào)通過Physik Instrumente公司壓電功率放大器(由E501.00型機(jī)箱外殼和E504.00F型功率放大模塊組成)放大之后，形成壓電驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)電壓。位移信號(hào)通過SGS獲得，位移信號(hào)和信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生的三角波信號(hào)都通過信號(hào)調(diào)理箱進(jìn)入工控機(jī)，這兩個(gè)信號(hào)都由工控機(jī)中的Advantech PCI1716型A/D板卡采集。經(jīng)過簡(jiǎn)單地?cái)?shù)據(jù)處理之后，就可獲得壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的位移xr與其驅(qū)動(dòng)電壓ud之間的關(guān)系曲線，如圖6所示。

表2 P-843.40型壓電驅(qū)動(dòng)器的參數(shù)

圖5 壓電驅(qū)動(dòng)器位移測(cè)量裝置Fig.5 Displacement measuring equipment of stack-type piezoelectric actuator

圖6 三角波控制電壓Fig. 6 Triangle control voltage

根據(jù)式(15)～式(16)以及圖7，可以獲得遲滯現(xiàn)象引起的電壓uh和電荷q之間的非線性曲線，如圖8所示。

圖7 測(cè)得的壓電驅(qū)動(dòng)器位移與驅(qū)動(dòng)電壓的關(guān)系曲線Fig.7 Measured relationship between drive voltage and displacement of piezoelectric actuator

圖8 計(jì)算得到的(uh, q)遲滯曲線Fig.8 Calculated hysteresis curve between uh and q

式(17)～式(19)方程右側(cè)的參數(shù)可以通過圖8所示的遲滯曲線得到，這樣就得到所要辨識(shí)的三個(gè)參數(shù)(如表3所示)。將辨識(shí)參數(shù)代入到式(11)中，就得到了本文疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的遲滯因子表達(dá)式。

4 仿真分析與結(jié)果討論

在完成了遲滯因子H辨識(shí)之后，便可利用如圖4所示的疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)態(tài)框圖，對(duì)其動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行仿真分析。仿真參數(shù)見表3。

表3 P-843.40型壓電驅(qū)動(dòng)器遲滯因子的辨識(shí)參數(shù)

為了便于將仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，仿真過程中的控制電壓同樣采用如圖6所示的0.05 Hz、幅值為5 V、偏置為5 V的三角波信號(hào)。在此驅(qū)動(dòng)電壓下，壓電驅(qū)動(dòng)器的位移仿真曲線如圖9(虛線)所示。同時(shí)，利用圖5所示的試驗(yàn)裝置測(cè)得了該壓電驅(qū)動(dòng)器在三角波驅(qū)動(dòng)電壓下的輸出位移，并將其也繪制在了圖9中(實(shí)線)。從圖9可以看出，壓電驅(qū)動(dòng)器在三角波指令下的位移輸出具有明顯的非線性特征，這便是遲滯現(xiàn)象；此外，仿真曲線與試驗(yàn)曲線能夠基本的吻合，這就驗(yàn)證了本文所提出的建模方法和辨識(shí)方法的正確性。

為了比較壓電驅(qū)動(dòng)器遲滯回線的仿真結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果，將驅(qū)動(dòng)電壓ud和輸出位移xr之間非線性關(guān)系的仿真曲線和試驗(yàn)曲線均繪制在了圖10中。通過圖10可以看出，仿真與試驗(yàn)測(cè)得的遲滯回線能夠基本吻合，這再次證明了本文所提出的疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的建模方法和遲滯因子的辨識(shí)試驗(yàn)的正確性。

圖9 三角波指令下驅(qū)動(dòng)器的位移輸出Fig.9 Displacement output under triangle command signal

圖10 位移遲滯回線的仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.10 Comparison between simulated and experimental displacement hysteresis curve

5 結(jié) 論

本文根據(jù)系統(tǒng)相似方法，通過在電氣域內(nèi)描述電-機(jī)械耦合特性和非線性遲滯特性，建立了疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的非線性相似電路模型；通過對(duì)某型商用疊堆型壓電驅(qū)動(dòng)器的試驗(yàn)研究，驗(yàn)證了該模型的有效性；本文提出的建模方法；具有建模過程簡(jiǎn)單實(shí)用且物理意義明顯的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于研究壓電驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)態(tài)特性和控制算法具有實(shí)際意義。

參 考 文 獻(xiàn)

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勘誤聲明

王世明，劉雨，任順清. 試驗(yàn)環(huán)境條件對(duì)離心機(jī)穩(wěn)定性影響分析，2014，33(20)：187-191。該文章內(nèi)容為作者王世明在哈爾濱工業(yè)大學(xué)讀博期間完成的工作，知識(shí)產(chǎn)權(quán)歸哈爾濱工業(yè)大學(xué)所有，而不屬于天津科技大學(xué)，作者本人為此失誤負(fù)責(zé)，同時(shí)也對(duì)哈爾濱工業(yè)大學(xué)及振動(dòng)與沖擊雜志社表示歉意。在此聲明該文章第一作者單位更改為哈爾濱工業(yè)大學(xué)。

Nonlinear dynamic modeling and experiment of stack-type piezoelectric actuator based on system similarity method

GUAN Chang-bin1, CHEN Jun1, WANG Xu-dong1, JIAO Zong-xia2

(1. Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100080, China；2. School of Automation Science and Electrical Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China)

According to the method of similarity between mechanical system and electrical system, a nonlinear circuit model of stack-type piezoelectric actuator was established by transforming its electromechanical coupling model to a pure electrical one. The identification method for the hysteresis factor in the nonlinear circuit model was given out and the identification experiments on a commercial stack-type piezoelectric actuator were carried out. Based on the established nonlinear circuit model and the identified hysteresis factor, the nonlinear dynamic characteristics of the piezoelectric actuator were simulated. The simulated hysteresis curve agrees well with the experiment result which verifies the theory. The proposed model can describe the electromechanical coupling characteristics and nonlinear hysteresis characteristics of stack-type piezoelectric actuator in electrical domain with obvious physical sense. The results are of practical significance to study the dynamic characteristics and control algorithm of stack-type piezoelectric actuators.

stack-type piezoelectric actuator; nonlinear modeling; hysteresis factor; system similarity method

民用航天十二五項(xiàng)目

2013-11-01 修改稿收到日期：2014-03-03

官長斌 男，博士，工程師，1984年9月生

陳君 男，高級(jí)工程師，碩士生導(dǎo)師，1978年生

TB318

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.09.003