采菊東籬下 悠然見(jiàn)南山

鄭日鋒

如何進(jìn)行高效復(fù)習(xí)，這是每一位高三數(shù)學(xué)教師需要探索的問(wèn)題.每年高考總是在繼承傳統(tǒng)的同時(shí)適度創(chuàng)新，而且為后一年的高考提供一些有用的信息，我們?nèi)裟馨盐崭呖济}的特點(diǎn)，制訂高考復(fù)習(xí)策略，可以使復(fù)習(xí)更有效，正可謂“采菊東籬下，悠然見(jiàn)南山.”本文以2014年浙江省高考數(shù)學(xué)試題為例，談一些體會(huì)與做法，供同行參考.

一、采菊東籬下——解讀高考試題

筆者仔細(xì)認(rèn)真地做了浙江省2014年高考數(shù)學(xué)試卷上的每個(gè)題，并且對(duì)整份試卷從雙基考查情況、對(duì)學(xué)生的能力要求、試題的創(chuàng)新性等方面作了一些探討，認(rèn)為2014年浙江省高考數(shù)學(xué)試題主要有以下三個(gè)特點(diǎn).

（一）入口寬 ?重思維

試題設(shè)計(jì)了較多的內(nèi)涵豐富、入口寬、解題方法多的試題，這些充滿思辨性試題突出了對(duì)考生思維品質(zhì)的考查.

例1（理科卷第17題，文科卷第10題）如圖1，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練. 已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面的射擊線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值是 ? ? ? ? ? .

此題在立體幾何與三角函數(shù)知識(shí)的交匯處命題，是一道應(yīng)用題，又是立體幾何中的線面角的正切值的最值問(wèn)題.

思路1 ?過(guò)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，連結(jié)AD，則∠PAD=θ，在Rt△PDA中，tanθ=■=■·■.

在△ADC中，由正弦定理，得■=■=■sin∠DAC≤■.因此，當(dāng)∠DAC=90°時(shí)，tanθ有最大值■.

思路2 ?過(guò)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，連結(jié)AD，則∠PAD=θ，設(shè)CD=x，在△ADC中，由余弦定理，得AD=■，在Rt△PDA中，PD=■x.tanθ=■=■·■

=■·■≤■. 因此，當(dāng)x=■時(shí)，tanθ有最大值■.

思路3 ?過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥BC交CM于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QR∥AP與直線CA交于點(diǎn)R，則θ=∠PAD=∠QRB. tanθ=■，BQ為定值，當(dāng)BR⊥AC時(shí)，BR最小，tanθ最大，最大值為■.

思路1利用轉(zhuǎn)化思想，將求tanθ的最大值轉(zhuǎn)化為求△ADC中兩邊長(zhǎng)之比的最大值，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值;思路2先以CD為自變量，建立函數(shù)關(guān)系，然后求最值，由于函數(shù)的解析式比較復(fù)雜，需要進(jìn)行合理的變形才能得出答案，過(guò)程相對(duì)較繁;思路3運(yùn)用動(dòng)靜轉(zhuǎn)換，通過(guò)平移，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的距離的最小值問(wèn)題，解題過(guò)程簡(jiǎn)潔明快.

類似的還有理科卷第8、9、10、13、15、16、20、21、22題，文科卷第9、15、17、22題等，這些題可以區(qū)分學(xué)生的思維能力，充分體現(xiàn)了以知識(shí)為載體，以方法為依托，以能力考查為考試目的的新課程觀.

（二）背景熟 ?重通法

許多試題以學(xué)生熟知的某知識(shí)為背景，給學(xué)生以似曾相識(shí)的感覺(jué)，有利于學(xué)生思維的順利展開(kāi).將數(shù)學(xué)思想方法作為考查的重點(diǎn)，突出通性通法.

例2（理科第22題） ?已知函數(shù)f（x）=x3+3x-a（a∈R）.

（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分別記為M（a），m（a），求M（a）-m（a）.

（Ⅱ）設(shè)b∈R，若[f（x）+b]2≤4，對(duì)x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范圍.

本題沿襲前兩年的壓軸題，以帶絕對(duì)值的三次函數(shù)為載體，入手明顯比往年還要容易些，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.第（Ⅰ）小題起點(diǎn)較高，第（Ⅱ）小題只需利用第（Ⅰ）小題的結(jié)論解決.

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，蘊(yùn)含了特殊化思想，觀察、歸納、轉(zhuǎn)化、分類與整合等思想方法.

函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分析與綜合、歸納與演繹、比較與類比、具體與抽象等數(shù)學(xué)思想及基本邏輯方法在試卷中均有很好地體現(xiàn).全卷所有試題都可以用通性通法，規(guī)避了特殊技巧.

（三）立意新 ? 重本質(zhì)

編制立意新穎、而問(wèn)題的解決所需的知識(shí)不多的試題，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì).

例3 ?設(shè)函數(shù)f1（x）=x2，f2（x）=2（x-x2），f3（x）=■sin2πx，ai=■，i=0，1，2，…，99，記Ik=fk（a1）-fk（a0）+fk（a2）-fk（a1）+…+fk（a99）-fk（a98），k=1，2，3.則（ ? ）

A. I1

C. I1

此題是考查學(xué)生理性思維的極好題目，是集函數(shù)、數(shù)列、不等式于一身且方法開(kāi)放的問(wèn)題，又滲透了微積分中的分割思想，本題相當(dāng)于把函數(shù)的定義域[0，1]進(jìn)行99等分，因此它具有高等數(shù)學(xué)背景.

思路1 ?直接計(jì)算，利用圖象結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，并利用數(shù)列求和的方法，可得I1=1，I2=2f2（a49）=■<1，I3=2[2f3（a25）-f3（a49）]=■（2sin■-sin■）>1. 故選B.

思路2 ?實(shí)質(zhì)是求質(zhì)點(diǎn)從起點(diǎn)（原點(diǎn)）出發(fā)，依次沿各自圖象上的分點(diǎn)，跳動(dòng)到終點(diǎn)，比較豎直方向上所走路程的和的大小問(wèn)題，如圖2，得I1=1，I2<2AB=1，I3≈4CD=■>1（其中A，C，F(xiàn)為各自圖象上的最高點(diǎn)，故選B.

思路2是深刻理解本題的本質(zhì)，利用幾何意義給出的解答;而思路1利用按部就班的方法，需要大量的計(jì)算，并且要耐心細(xì)致，才能得到正確的答案.本題考查了學(xué)生創(chuàng)新的潛質(zhì)，是今年試卷的最大亮點(diǎn).

理科第5、8、10、14題，都是學(xué)習(xí)型問(wèn)題，解題關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，及推理論證，體現(xiàn)了對(duì)考生學(xué)習(xí)潛能的考查.

二、悠然見(jiàn)南山——探尋復(fù)習(xí)策略

高考數(shù)學(xué)命題設(shè)計(jì)是從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題或幾何背景出發(fā)，構(gòu)造出素材樸實(shí)、內(nèi)涵豐富的試題，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在實(shí)質(zhì)，試卷中的題目處處閃現(xiàn)著問(wèn)題解決的智慧. 加強(qiáng)了概念、思維的考查，這種考查方式對(duì)于搞題海戰(zhàn)術(shù)的學(xué)校是一種打擊，而對(duì)我們的課堂教學(xué)起著很好的導(dǎo)向作用. 引導(dǎo)教師、學(xué)生避免將大量精力消耗在盲目地套用所謂的解題技巧的教學(xué)和學(xué)習(xí)上.

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為學(xué)習(xí)是根據(jù)自己的信念和價(jià)值觀對(duì)客體或事件進(jìn)行解釋的過(guò)程，是一種主動(dòng)地建構(gòu)意義的過(guò)程. 知識(shí)是學(xué)習(xí)者在一定的社會(huì)文化背景下，借助他人的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料，通過(guò)意義建構(gòu)的方式獲得的.這啟示我們，基于提升學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知能力開(kāi)展復(fù)習(xí)教學(xué)，進(jìn)行知識(shí)、方法的重組，實(shí)現(xiàn)夯實(shí)基礎(chǔ)、領(lǐng)悟思想（方法）、優(yōu)化思維，從而使復(fù)習(xí)有效、高效.

（一）整合

歸納總結(jié)各主干知識(shí)塊的問(wèn)題特征、解題策略、易錯(cuò)點(diǎn)、解題的誤區(qū). 還可以編織各個(gè)條塊內(nèi)容的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，按照知識(shí)、策略進(jìn)行歸納，突出知識(shí)、策略間的聯(lián)系及適用范圍，這樣做的目的是讓知識(shí)、方法條理化、有序化、結(jié)構(gòu)化，實(shí)現(xiàn)知識(shí)從厚到薄，達(dá)到“拎起來(lái)成條線，撒下來(lái)鋪滿地”的較高境界.如數(shù)列，可以按表1歸納.

表1

（二）突破

找準(zhǔn)難點(diǎn)、重點(diǎn)及薄弱環(huán)節(jié)，進(jìn)行有針對(duì)性的訓(xùn)練，切忌盲目操練，重復(fù)操練.對(duì)于不太熟悉的方法，需引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地運(yùn)用它嘗試解決相關(guān)問(wèn)題.

如解決解析幾何中的變量范圍問(wèn)題是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，要清晰解決這類問(wèn)題的幾種常見(jiàn)策略. 可以選擇以下問(wèn)題，供學(xué)生練習(xí).

問(wèn)題1 ? 點(diǎn)P是拋物線C：y2=2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R，N在y軸上，圓（x-1）2+y2=1內(nèi)切于△PRN，求△PRN的面積的最小值.

問(wèn)題2 ? 已知點(diǎn)A（-2，0），拋物線y=x2-4上存在兩點(diǎn)B，C使AB⊥BC，求點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍.

問(wèn)題3 ? 已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，若在右支上存在點(diǎn)A，使得點(diǎn)F2到直線AF1的距離為2a，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ? ?）

（A） （1，■） ? ? ? ? （B） （1，■]

（C） （■，+∞） ? ? ? （D） [■，+∞）

待學(xué)生嘗試解決了三個(gè)問(wèn)題后，歸納概括出解決解析幾何中的變量范圍（最值）問(wèn)題的常見(jiàn)策略：一是建立目標(biāo)函數(shù)，如例1，選擇點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x0（x0>2）為自變量，建立以△PRN的面積為因變量的函數(shù)，S=（x0-2）+■+4，再求函數(shù)的最值得Smin=8;二是先建立關(guān)于該變量的不等式，再解不等式，如例2，根據(jù)已知條件AB⊥BC，可得到關(guān)于B，C的橫坐標(biāo)x1，x2的關(guān)系式，此關(guān)系式可視為關(guān)于x1的一元二次方程■+（x2-2）x1-2x2+1=0，由判別式非負(fù)，便得到關(guān)于x2的不等式（x2-2）2-4（-2x2+1）≥0，解得x2≤-4或x2≥0;三是數(shù)形結(jié)合，如例3，不妨設(shè)A在第一象限內(nèi)，考察直線AF1與雙曲線位于第一、三象限的漸近線的位置關(guān)系，便得到關(guān)于a，b的不等式■<■，即■>1，從而得到離心率的范圍為e>■.

三個(gè)問(wèn)題，方法各異，需要根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)，合理選擇恰當(dāng)?shù)姆椒? 學(xué)生在方法的比較中領(lǐng)悟各種方法的本質(zhì)，及適用的情境，從而實(shí)現(xiàn)突破瓶頸，以不變應(yīng)萬(wàn)變.

（三）優(yōu)化

培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的一種分析的態(tài)度，一種探究的目光，對(duì)課堂上的某些問(wèn)題適當(dāng)加以延伸、推廣等，并引導(dǎo)學(xué)生加以解決，這會(huì)使課堂教學(xué)充滿生機(jī)和活力，有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力.引導(dǎo)學(xué)會(huì)從不同角度思考問(wèn)題，讓生生互動(dòng)、師生互動(dòng)，引發(fā)思維的碰撞， 從而開(kāi)拓思路，優(yōu)化思維.

如向量問(wèn)題是難點(diǎn)，向量具有代數(shù)、幾何兩重特性，大部分學(xué)生不知該從代數(shù)角度還是從幾何角度考慮，怎樣培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力尤其重要.筆者選擇以下問(wèn)題，供學(xué)生練習(xí).

如圖4，已知O為△ABC的外心，AB=2a，AC=■，∠BAC=120°，若■=x■+y■（x，y為實(shí)數(shù)），則x+y的最小值為 ? ? ? ? ? .

待學(xué)生解決了本題后，教師引導(dǎo)學(xué)生反思：解法是怎么想到的？解決本題的關(guān)鍵是將x，y分別用a表示，進(jìn)而把x+y表示為a的函數(shù)，問(wèn)題便不難解決.為此需建立關(guān)于x，y的方程組，一種方法是建立如圖的坐標(biāo)系，寫出四點(diǎn)A，B，C，O的坐標(biāo)，利用向量等式得到關(guān)于x，y的方程組;另一種方法是將向量等式兩邊分別與■，■作數(shù)量積，也得到關(guān)于x，y的方程組. 兩種方法均得到x=■+■，y=■+■a2，x+y=■+■（a2+■），從而x+y的最小值為2.

哪種方法更簡(jiǎn)捷？前一種解法需寫出線段AC的中垂線方程，與線段AB的中垂線方程聯(lián)立解出點(diǎn)O的坐標(biāo)，有一定的運(yùn)算量;后一種方法是從幾何視角出發(fā)，巧妙利用三角形的外心的特征及平面向量數(shù)量積的幾何意義，解題過(guò)程簡(jiǎn)捷.

在平時(shí)教學(xué)中，教師有意識(shí)地選擇一些有多種解法的典型問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生從多角度思考，比較方法的繁簡(jiǎn).此外許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解法不是唯一的，有些方法教師一時(shí)也會(huì)想不到，教師要營(yíng)造課堂氛圍，給學(xué)生思考問(wèn)題的時(shí)間與空間，放下架子，傾聽(tīng)學(xué)生的一些想法，可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，優(yōu)化思維.期望學(xué)生在高考考場(chǎng)上能夠解決新穎問(wèn)題，并能用最簡(jiǎn)捷的方法解決，關(guān)鍵是平時(shí)需有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考.endprint