《線性代數(shù)》課程新型教學模式探討

陶 霞, 張映輝

(湖南理工學院 數(shù)學學院, 湖南 岳陽 414006)

《線性代數(shù)》課程新型教學模式探討

陶 霞, 張映輝

(湖南理工學院 數(shù)學學院, 湖南 岳陽 414006)

主要討論新型教學模式, 使得師生在《線性代數(shù)》課程教學效果上達到雙贏. 面對《線性代數(shù)》課程教學內容多、課時安排偏少的特點, 提出精簡教學內容、運用多媒體和數(shù)學軟件輔助教學以及結合實際問題研究線性代數(shù)的一些應用.

線性代數(shù); 新型教學模式; 教學改革

在傳統(tǒng)的教學模式上, 教師以“一支粉筆, 一塊黑板”演繹著單調的教學人生. 這種“滿堂灌”的教學模式嚴重缺乏師生之間的交流, 學生的主觀能動性遠未被調動起來, 從而忽視了學生自主創(chuàng)新能力的培養(yǎng),遠達不到預期的教學效果. 在二十一世紀信息化時代背景下, 這些90后的大學生們從小就接觸到電腦和網絡, 能夠及時了解各種最新信息, 拓寬了視野, 接受新事物的能力強. 針對這些特點, 我們急需尋求適合大學生全面發(fā)展的新型教學模式, 激發(fā)大學生們的學習熱情. 在教學效果上, 不僅能提高教學質量, 而且有利于學生發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維的形成.

《線性代數(shù)》課程是理、工、經、管等專業(yè)必修科目, 是不可缺少的專業(yè)基礎課程. 科學計算領域中,只存在極少數(shù)的線性問題, 能經過簡單的數(shù)學知識得以解決. 在一些工程實際問題中, 大多數(shù)都表現(xiàn)為非線性的形式. 在一定的條件下, 某些非線性問題可轉化為線性問題. “線性代數(shù)”課程所介紹的方法為解決線性問題提供了一套理論和計算工具, 能廣泛應用于各學科中. 隨著社會的進步和科技的飛速發(fā)展, 解大型線性方程組、求矩陣的特征值與特征向量等問題已經成為工程技術人員經常遇到的問題. 因而, 對于理工科各相關專業(yè)的學生來說, 他們必須具備線性代數(shù)的基本理論知識, 并熟練掌握其基本方法. 該課程具有學時少、內容抽象、邏輯性強、運算法則多等特點, 教師需站在一定的高度來統(tǒng)籌規(guī)劃該課程的教學, 做到前后章節(jié)在內容上的融會貫通. 因此, 打破傳統(tǒng)“滿堂灌”的教學模式, 構建新型教學模式十分必要. 本文結合線性代數(shù)課程的特點和多年積累的課堂教學經驗, 探討一套新型教學模式在線性代數(shù)課程上的應用, 為線性代數(shù)的教學改革提供一定的參考.

《線性代數(shù)》課程新型教學模式的探討主要從以下幾點展開:

(1) 合理調整課程體系, 優(yōu)化教學內容

《線性代數(shù)》課程內容主要有: 行列式的計算、矩陣的計算、矩陣初等變換、線性方程組, 以及線性相關性、相似矩陣及二次型、線性空間與線性變換等. 前部分內容偏重計算, 學生容易掌握; 后部分內容偏重理論, 學生難以理解. 而且教學任務要求在一個學期內完成, 課時安排偏少. 面對這些特點, 如何在教學過程中把握內容的廣度和深度成為值得師生們共同思考的問題. 為了使學生能更好的掌握線性代數(shù)課程基本理論和計算方法, 并熟練運用這些知識有效解決一些實際問題, 探討《線性代數(shù)》課程新型教學模式顯得尤為重要, 具有理論和實際意義. 且可以為學生進一步學習后續(xù)課程奠定重要的數(shù)學基礎.

例如在講解“克拉默法則”這部分內容時, 可從求解二元一次方程組出發(fā), 通過消元法得到方程組的解, 啟發(fā)學生其解可用行列式的形式來表達. 緊接著, 舉一個五元一次方程組, 啟發(fā)學生從行列式這個角度進行求解, 熟悉用克拉默法則來求解多元一次線性方程組過程. 然后舉幾個系數(shù)行列式為零的具有代表性的特例, 比如三元一次方程組中其中一個方程能由另外兩個方程表示出來, 啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)克拉默法則所適應的條件. 從另一個角度看, 矩陣的概念及運算、線性變換、線性相關性、線性空間等概念凸顯出來, 通過這些特例來理解抽象的理論知識, 將整個教學內容用“解線性方程組”這條線串起來, 在這種新型教學模式下, 學生的求知欲被逐步激發(fā)起來, 增強了學習的興趣. 最后, 和學生一起總結克拉默法則, 加深對這部分內容的理解. 另一方面, 合理地將線性代數(shù)與高等數(shù)學、解析幾何等課程的內容整合起來, 讓學生從不同的角度來理解《線性代數(shù)》課程, 使學生感受到這些數(shù)學問題可以融會貫通, 對將來的工作也非常重要. 這種新型教學模式不僅培養(yǎng)學生自主發(fā)現(xiàn)問題、有效解決問題的能力, 而且能培養(yǎng)學生以發(fā)散思維來多角度考慮問題, 從而達到培養(yǎng)創(chuàng)新能力的目的.

(2) 改革教學手段, 豐富教學內容, 采用多樣化的教學方法, 凸顯理論與應用相結合

線性代數(shù)課程的特點是理論性、概念性比較強, 涉及到大量的數(shù)學理論推導, 若不注意教學方法, 則很容易會讓學生覺得枯燥. 在教學過程中, 通過介紹基本概念和計算方法, 結合多媒體課件和一些實際問題進行課堂演示, 突出行列式、矩陣、線性變換等數(shù)學概念, 注重理論聯(lián)系實際, 突出實際應用, 從實例分析中強化理論概念, 加深學生對該課程的認識和理解, 從而牢固掌握其中的基本概念、基本分析方法和運算方法.

傳統(tǒng)上, 教師一般采用單一的黑板教學模式, 大部分課堂時間用在計算推導上, 而關于理論和相關的應用的講解基本沒有安排到課堂中來, 造成整個課堂內容重難點不突出, 不利于學生抓住課堂的脈絡所在, 更不利于學生抽象思維的形成, 難以達到預期的教學目標.

隨著信息化高速發(fā)展, 學生能從網絡上了解到更加豐富的學習資源, 拓寬了視野, 接受新事物的能力增強. 而運用多媒體進行輔助教學, 能使得課堂講解更直觀、更具吸引力, 能將新舊知識串聯(lián)起來, 加深學生對新知識點的認識和理解程度, 有效解決和協(xié)調線性代數(shù)課程內容過多和學時安排過少之間的矛盾.因此, 采用黑板加多媒體的教學模式, 既能保留傳統(tǒng)教學法的特點, 也能增加課堂教學容量, 提高教學效率. 為了了解線性代數(shù)課程在各領域中發(fā)展的最新動態(tài), 擴大學生學習該課程的知識背景, 提高學生應用能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng), 可充分利用網絡資源和相關數(shù)學軟件(如MATLAB和MATHEMATICA等)輔助進行課堂演示. 這樣, 不僅提供了豐富的學習資料, 而且調動了學生的積極性, 能達到良好的教學效果.

“逆矩陣”是線性代數(shù)課程的一個重要知識點. 下面嘗試用新型探究式教學模式來具體分析這一教學內容.

首先引出逆矩陣這一概念. 在數(shù)的乘法中, 如果a是非零常數(shù), 則存在a的逆, 使. 這使得求解一元線性方程ax=b變得非常簡單, 即在方程兩端左邊乘以a-1, 可得1·x=x=a-1b.在矩陣的乘法中, 單位矩陣I起著數(shù)1在數(shù)量的乘法中的類似作用. 因此問: 對于n階方陣A, 是否也存在著“逆”, 即是否存在一個n階方陣B, 使得AB=BA=I？從而引出“逆矩陣”這一概念, 給出其定義. 并通過精心制作的課件展示逆矩陣在實際生活中的一些應用, 例如逆矩陣在密碼問題中的應用.

通過信息編碼學的知識, 我們可利用可逆矩陣來破解矩陣密碼. 比如可將數(shù)字和26個英文字母建立一一對應的關系:

如果要發(fā)信號“SEND MONEY”, 通過建立與數(shù)字的一一對應關系, 這條信號的編碼變成19, 5, 14, 4, 13, 15, 14, 5, 25, 這里5表示字母E. 然而這樣的編碼非常容易遭到破解. 因此, 我們希望尋求更為可靠的編碼方法. 如果對一個信號進行較長的編碼, 我們往往會根據某些數(shù)字頻率出現(xiàn)的高低來判斷. 頻率最高的數(shù)字可能代表某個字母, 比如上面出現(xiàn)頻率最高的數(shù)字5就代表字母E.

為得到更有效的編碼, 我們可利用矩陣乘法來編碼. 首先對信號“SEND MONEY”加密, 形成“密文”后傳遞出去. 這樣增加未登錄用戶破解“密文”的難度, 也使得登錄用戶能輕輕松松解密. 對于一個元素都為整數(shù)的矩陣A, 而且其行列式|A|=±1, 那么由可知,A-1的元素均為整數(shù). 通過矩陣A建立明文加密的方式, 加密后的“密文”就很難破解了. 取

為得到“密鑰”矩陣A, 可對單位矩陣I進行有限次的矩陣初等變換, 比如采用將某行的整數(shù)倍加到另一行中等形式. 這樣可得到元素都為整數(shù)的矩陣A. 而且由于|A|=±1可知,A-1的元素都為整數(shù).

通過這個實例, 學生對逆矩陣有了初步的認識, 并帶動學習逆矩陣的興趣. 然后趁熱打鐵, 啟發(fā)式的提出問題: 什么樣的方陣有逆矩陣？如果存在逆矩陣, 如何去計算該逆矩陣？這樣, 學生開始思考計算逆矩陣的一些方法. 下面給出方陣A可逆的充分必要條件為矩陣行列式|A|≠0, 而且, 其中A*為矩陣A的伴隨矩陣. 根據此定理, 來計算密碼應用中的A-1. 這樣學生就能掌握計算逆矩陣的方法.

最后, 打開MATLAB軟件, 先把A矩陣輸入到命令窗口:

再輸入求逆矩陣的命令:inv(A), 此時A-1矩陣就可以得到. 通過現(xiàn)場演示, 學生們能切身感受到數(shù)學軟件是一種重要的計算工具, 不僅方便, 而且計算快, 結果準確. 同時也激發(fā)起學生們學習數(shù)學軟件的興趣,為以后解決實際工程問題打下扎實的基礎.

采取這種新型的教學模式, 不僅教師能把逆矩陣這一重要知識點講透徹了, 而且學生能夠感受到逆矩陣在實際問題中的廣泛應用, 并用數(shù)學軟件計算逆矩陣. 這樣, 教師和學生都是課堂上的“主角”, 教師起到拋磚引玉的作用, 學生進入主動學習的角色, 雙方處于一種雙贏的狀態(tài), 達到了理想的教學效果.

[1] 樓螂嬛, 馬曉銳. 對線性代數(shù)探究式教學的探討[J]. 價值工程, 2011, 30 (26)

[2] 陳鳳娟. 線性代數(shù)的教學研究[J]. 高師理科學刊, 2012, 32 (1)

[3] 李小新, 桂旺生. 《線性代數(shù)》課程教學改革的實踐與思考[J]. 池州學院學報, 2008, 2 (5)

[4] 阮萬清, 張鴻艷, 顧 娟. 線性代數(shù)課程教學模式探討[J]. 教學模式創(chuàng)新, 2013, 15

[5] 高淑萍, 孫 群, 楊 威, 等. 線性代數(shù)課程MATLAB實驗內容的教學與研究[J]. 中國電子教育, 2007, 4

[6] 萬正蘇, 孫明保, 陶 霞. 淺談線性代數(shù)中一些基本概念的教學[J]. 湖南理工學院學報(自然科學版), 2013, 26 (2)

Research on the New Teaching Model for the Course Linear Algebra

TAO Xia, ZHANG Ying-hui
(College of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)

This paper mainly discusses the new teaching model in order to get the win-win situation in the teaching effect of the course “l(fā)inear algebra”. Actually the courseLinear Algebrahas the properties of large amount of content and small class time arranged, this paper proposes reducing the teaching content, using multimedia and mathematical software to assist teaching courses, and studying some applications of linear algebra combined with practical problems.

Linear Algebra; new teaching model; teaching reform

G642

A

1672-5298(2015)02-0088-03

2015-02-25

湖南理工學院教改項目(2013C06); 湖南理工學院教改項目(2013B09); 湖南省教育科學“十二五”規(guī)劃課題(XJK015QGD007)

陶 霞(1982 ? ), 女, 湖南湘陰人, 博士, 湖南理工學院數(shù)學學院講師. 主要研究方向: 微分方程數(shù)值解