基于MATLAB的非線性曲線擬合方法及應(yīng)用

王方方

（蘭州商學(xué)院，甘肅　蘭州　730020）

基于MATLAB的非線性曲線擬合方法及應(yīng)用

王方方

（蘭州商學(xué)院，甘肅蘭州730020）

摘要：本文選取了上海市的居民消費(fèi)水平為自變量，全市財(cái)政收入為因變量，編程對因變量和自變量進(jìn)行指數(shù)模型和二次模型的非線性擬合，分別得出y=0.0021e1.4737x和y=0.0973x+64.2873兩個模型.又選取了上海市的居民消費(fèi)水平為自變量，居民消費(fèi)價格指數(shù)為因變量，編程對因變量和自變量進(jìn)行Logistic函數(shù)和雙曲線函數(shù)模型的非線性擬合，分別得出y=和兩個模型的函數(shù)方程.運(yùn)用MATLAB軟件對因變量和自變量進(jìn)行這些非線性曲線模型擬合，得出函數(shù)方程.

關(guān)鍵詞：非線性曲線擬合；MATLAB；對數(shù)曲線；Logistic曲線

1　引言

在生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，很多現(xiàn)象往往不是線性關(guān)系，而是呈現(xiàn)某種非線性曲線關(guān)系，所以就產(chǎn)生非線性模型理論.非線性曲線擬合是一個重要的且常用的方法，可以根據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)得到相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)曲線和圖形解決要解決的問題.非線性模型存在著復(fù)雜和多樣的形式，選擇模擬合適的模型要基于實(shí)際數(shù)據(jù).可以參照兩種方法：首先，要確定基于所述散點(diǎn)圖的類型，也就是，從散點(diǎn)圖的形狀確認(rèn)模型類型;第二是基于一定的經(jīng)濟(jì)背景知識[1].在MATLAB軟件中，非線性擬合主要是通過函數(shù)inline和命令[beta，r，J]=nlinfit（X，Y，fun，beta0).來進(jìn)行的.其中，函數(shù)inline是用來定義所要求的函數(shù)的；用命令

來進(jìn)行擬合，其中X，Y為原始數(shù)據(jù)，fun是在M文件中定義的函數(shù)，是函數(shù)中參數(shù)的初始值，beta0是函數(shù)中參數(shù)的初始值：beta為參數(shù)[2].

曲線擬合是一種連續(xù)曲線近似地描述或者近似的曲線擬合平面上離散點(diǎn)所表示的坐標(biāo)之間的關(guān)系的數(shù)據(jù)處理方法用.用解析表達(dá)式離散數(shù)據(jù)的近似方法.在科學(xué)實(shí)驗(yàn)或社會活動，通過實(shí)驗(yàn)或觀察獲得的一組數(shù)據(jù)量x與y的一對數(shù)據(jù)組（xi，yi)（i=1，2，…，m)，其中每個xi彼此不同.人們希望能夠使用一種解析表達(dá)式來表示數(shù)據(jù)背景材料規(guī)律，該表達(dá)式y(tǒng)=f（x，c)反映x和y之間的依賴關(guān)系，也就是，在一定意義上，“最佳”近似或擬合已知的數(shù)據(jù).通常f（x，c)被稱為擬合模型，其中c=（c1，c2，…，cn)是一些未知參數(shù).當(dāng)c在f中線性出現(xiàn)時就稱為線性模型，否則被稱為非線性模型.有適合的曲線擬合的標(biāo)準(zhǔn)偏差許多優(yōu)良的措施中，最常見的方法是，選擇參數(shù)c使得擬合模型與實(shí)際觀測為在曲線的每點(diǎn)擬合的殘差（或偏差）.

有很多求解方法可以求解擬合曲線，線性模型可以通過建立并求解方程組確定需要的參數(shù)，進(jìn)而求得擬合曲線.而對于非線性模型，直接建立模型求解出方程組確定參數(shù)是得不到需要的擬合曲線，需要用最優(yōu)化方法求得所需的參數(shù)（稱為非線性最小二乘擬合）或者是根據(jù)非線性方程組得到擬合曲線，得到需要的參數(shù)得到擬合曲線.

非線性曲線擬合的應(yīng)用非常廣泛，李玉星等就對ISAR成像中的頻率進(jìn)行了非曲線擬合.非線性曲線擬合的方法也有許多，嚴(yán)曉明和鄭之利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和RBF人工神經(jīng)網(wǎng)對非線性函數(shù)進(jìn)行MATLAB仿真.韓吉德等采用非線性TLS擬合的方法.處理非線性曲線擬合的軟件有MATLAB、LINGO等.應(yīng)六英為了解決MATLAB中調(diào)用nlifit函數(shù)和lsqcurvefit函數(shù)時存在的問題和困難，運(yùn)用LINGO正好彌補(bǔ)了MATLAB處理非線性曲線擬合的不足.陳嵐峰等就是用MATLAB進(jìn)行最小二乘法曲線擬合，同時唐家德等也是采用MATLABA的非曲線擬合.

2 MATLAB曲線擬合的基本理論

2.1 MATLAB曲線擬合的基本原理

設(shè)有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（xi，yi)，（i=1，2，…，n)，尋找函數(shù)f（x，θ)，使得函數(shù)在點(diǎn)xi，i=1，2，…處的函數(shù)值與觀測數(shù)據(jù)偏差的平方和達(dá)到最小.即求滿足如下條件f（x，θ贊)的函數(shù)，使得

其中θ是待定的參數(shù)，而θ贊就是最小二乘法所確定的最佳參數(shù).

2.2 MATLAB中實(shí)現(xiàn)非線性回歸的命令

（1)非線性擬合命令為nlinfit，其調(diào)用格式為：

[beta，r，J]=nlinfit（x，y，fun，beta0)

其中，x，y為原始數(shù)據(jù)，fun是在M文件中定義的函數(shù)，beta0是函數(shù)中參數(shù)的初始值；beta為參數(shù)的最優(yōu)值，r是各點(diǎn)處的擬合殘差，J為雅克比矩陣的數(shù)值.通常，可以利用inline定義fun函數(shù)，方法如下：

fun=inline（‘f（x)'，‘參變量'，‘x'

（2）非線性回歸預(yù)測命令為nlpredci，其調(diào)用格式為：

fun=inline（‘f（x)'，‘參變量'，‘x'

其中，輸入?yún)?shù)beta，r，J是非線性擬合命令nlinfit的輸出結(jié)果，fun是擬合函數(shù)，inputs是需預(yù)測的自變量；輸出量ypred是inputs的預(yù)測值.

（3）非線性回歸置信區(qū)間命令為nlparci，其調(diào)用格式為：

ci=nlparci（beta，r，J，α)

其中，輸出參數(shù)beta，r，J是非線性擬合命令nlinfit輸出的結(jié)果；輸入ci是一個矩陣，每一行非別為每一個參數(shù)的（1-α)%的置信區(qū)間，默認(rèn)值為0.05

（4）非線性回歸交互命令nlintool，其典型調(diào)用格式為：

nlintool（x，y，fun，beta0)

其中，參數(shù)x，y，fun，beta0與命令nlinfit中的參數(shù)含義相同.

3　建立非線性擬合的函數(shù)模型

MATLAB的方法有很多種，本文選取居民消費(fèi)水平為本次模型的因變量，全市財(cái)政收入為本次的自變量，選取二次函數(shù)擬合和指數(shù)函數(shù)擬合的方法對其進(jìn)行非線性擬合.同時本次又選取了居民消費(fèi)水平的數(shù)據(jù)為因變量，居民價格指數(shù)的數(shù)據(jù)為自變量，運(yùn)用Logistic模型和雙曲線函數(shù)擬合的方法對兩個自變量和因變量進(jìn)行非曲線擬合.

3.1二次函數(shù)擬合和指數(shù)函數(shù)擬合

選取居民消費(fèi)水平數(shù)據(jù)為因變量，全市財(cái)政收入的數(shù)據(jù)為自變量.首先，應(yīng)該明確居民消費(fèi)水平和全市財(cái)政收入是何種關(guān)系，所以先繪制散點(diǎn)圖.用MATLAB繪圖命令繪制出的居民消費(fèi)指數(shù)水平和全市財(cái)政收入的散點(diǎn)圖如下圖形：

圖1居民消費(fèi)水平和全市財(cái)政收入散點(diǎn)圖

從圖中可以看出全市財(cái)政收入隨著居民消費(fèi)水平的提高而提高，即x和y不應(yīng)該采用線性模型來描述，屬于非線性.根據(jù)散點(diǎn)圖的形狀，考慮以下非線性模型：

指數(shù)函數(shù)：y=aebx

二次多項(xiàng)式回歸模型：y=ax2+bx+c

用MATLAB軟件進(jìn)行曲線函數(shù)擬合得到指數(shù)函數(shù)方程為：y=0.0021e1.4737x

圖2原始數(shù)據(jù)和對數(shù)函數(shù)擬合結(jié)果的散點(diǎn)圖

圖3居民消費(fèi)水平和全市財(cái)政收入的交互圖

圖3中給出了居民消費(fèi)水平和全市財(cái)政收入的非線性擬合交互圖形，圓圈是本次實(shí)驗(yàn)的原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，兩條虛線（屏幕上顯示為紅色）為95%上、下置信區(qū)間的曲線，中間的實(shí)現(xiàn)是回歸模型曲線（屏幕上顯示為綠色）.

用MATLAB軟件進(jìn)行曲線函數(shù)擬合得到二次回歸模型為：

y=0.0973x+64.2873

函數(shù)圖象如下：

圖4原始數(shù)據(jù)和二次函數(shù)擬合的散點(diǎn)圖

相比較之下，二次函數(shù)的擬合程度比指數(shù)函數(shù)的擬合程度好

3.2 Logstic模型擬合和雙曲線擬合

選取居民消費(fèi)水平的數(shù)據(jù)為本次模型擬合的因變量，居民價格指數(shù)的數(shù)據(jù)為自變量，運(yùn)用MATLAB繪圖命令繪制出居民消費(fèi)水平和居民消費(fèi)價格指數(shù)的散點(diǎn)圖像為下圖：

圖5居民消費(fèi)水平和居民消費(fèi)價格指數(shù)的散點(diǎn)圖

圖5可以看出，居民消費(fèi)水平和居民消費(fèi)價格指數(shù)的變化呈非線性過程，而且存在一個與橫左邊平行的漸近線，可以用Logistic曲線模型和雙曲線模型進(jìn)行擬合

用MATLAB軟件進(jìn)行曲線函數(shù)擬合，運(yùn)行結(jié)果為：beta=0.0028 0.2916

用MATLAB軟件進(jìn)行曲線函數(shù)擬合，運(yùn)行結(jié)果為：beta=0.0014 5.8365 R2=0.9843

由運(yùn)行結(jié)果可決系數(shù)為0.9843，表明擬合程度較好.

圖6原始數(shù)據(jù)和雙曲線函數(shù)擬合的散點(diǎn)圖

圖7居民消費(fèi)水平和居民消費(fèi)價格指數(shù)的交互圖

圖7給出了居民消費(fèi)水平和居民消費(fèi)價格指數(shù)的非線性擬合交互圖形，圖中的圓圈是本次實(shí)驗(yàn)的原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，兩條虛線（屏幕上顯示為紅色）為95%上、下置信區(qū)間的曲線，中間的實(shí)現(xiàn)是回歸模型曲線（屏幕上顯示為綠色）.

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中圖分類號：TP311；O241

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-260X（2015）07-0003-03