基于漸變折射率透鏡的配光研究

吳夢熒，李梅花，張　勇，徐昌龍

(浙江工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310023)

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基于漸變折射率透鏡的配光研究

吳夢熒，李梅花，張勇，徐昌龍

(浙江工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310023)

摘要：根據(jù)光線追跡方程，利用MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)點(diǎn)光源到漸變折射率透鏡(GRIN透鏡)，再到接收面的光線軌跡計算。該透鏡的外觀為規(guī)則圓柱，其內(nèi)部折射率連續(xù)變化。用蒙特卡洛算法模擬LED朗伯點(diǎn)光源的出光特征；利用MATLAB軟件對漸變折射率透鏡中的光線進(jìn)行光線追跡，觀察LED光線穿過該透鏡后在接收面上所呈的像；經(jīng)過物理場仿真軟件的仿真與驗證，該算法的正確性與可靠性得到肯定。這些理論準(zhǔn)備與工作為利用體透鏡進(jìn)行非成像光學(xué)設(shè)計提供了理論與實(shí)驗基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：漸變折射率光學(xué)；非成像光學(xué)；透鏡；LED

漸變折射率光學(xué)(Gradient Index Optics，GRIN)是近幾十年才發(fā)展起來的一門學(xué)科，但是早在一百年前，人們就認(rèn)識到漸變折射率問題的存在，例如海市蜃樓[1]。20世紀(jì)70年代，首屆漸變折射率光學(xué)會議在美國順利閉幕，這種有影響力的高峰學(xué)術(shù)論壇推動GRIN在理論研究上與實(shí)際應(yīng)用中迅速發(fā)展。20世紀(jì)80年代，專家學(xué)者們提出了幾種在漸變折射率介質(zhì)中實(shí)現(xiàn)光線追跡的方法。有人利用光波面的截距，有人利用平行于光軸的光線，還有人通過計算光程等方式來實(shí)現(xiàn)光線追跡。

GRIN光學(xué)是主要研究光在漸變折射率介質(zhì)中傳播，進(jìn)而成像的一門學(xué)科，因而被廣泛應(yīng)用于光纖通信、顯微成像等各種光學(xué)系統(tǒng)[2]。然而在非成像光學(xué)領(lǐng)域，利用GRIN對LED光源進(jìn)行配光設(shè)計，實(shí)屬先例。

1理論分析

1.1朗伯點(diǎn)光源的建立

在短波長近似下，引入波面和光線的概念[3-4]，光分布可以用幾何光學(xué)加以描述。光線遵從幾何光學(xué)定律[5]，通過一定接收截面dS的光通量dΦ與光線條數(shù)成正比，接收面上的照度為：

(1)

已知LED光源是一個近似朗伯體，為了方便計算，下述都選用朗伯點(diǎn)光源進(jìn)行仿真。假定點(diǎn)光源的光通量為Φ，即朗伯光源的光線數(shù)量為N，任一方向上立體角dΩ內(nèi)的能量分配為dΩ·dΦ/4π。采用蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，在已知幾何光學(xué)中輻射通量正比于光線條數(shù)的情況下，通過隨機(jī)抽樣產(chǎn)生光線，這里隨機(jī)抽樣的光線與單位球面上均勻分布的隨機(jī)點(diǎn)抽樣相互對應(yīng)[6]。

(0≤θ<2π,0≤θ≤π)

(2)

(3)

利用式3，可以構(gòu)造蒙特卡洛算法。取(0, 1)上均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)r1、r2，則：

(4)

(5)

點(diǎn)光源符合朗伯定律，向某一方向的立體角dΩ內(nèi)輻射的光通量滿足：

dΦ∝cosθ·dΩ

(6)

式中，θ是光源表面上的法線與輻射方向之間的夾角。對式5隨機(jī)抽樣的光線分以權(quán)重cosθ。在距光源100 mm處設(shè)置1張200 mm×200 mm的接收面。隨機(jī)抽樣n條光線，進(jìn)行光線追跡，在接收面上等間距地劃分1張網(wǎng)格，統(tǒng)計到達(dá)網(wǎng)格單元中的光線條數(shù)，就可得到目標(biāo)面上的照度分布。

利用TracePro和MATLAB軟件得到接收面上的照度剖線圖如圖1所示。由圖1可以看出，在200 mm×200 mm的接收面上，圖1a和圖1b的峰值都是30(照度標(biāo)量)，且峰值半徑都為120 mm。通過2種不同的仿真方式得到的結(jié)果非常相近，由此可以驗證蒙特卡洛模擬方法的可行性。

圖1　接收面上的照度剖線圖

1.2光線追跡方程

漸變折射率介質(zhì)內(nèi)部的光線追跡方法有很多種，其中計算量相對少，精度相對高的是龍格庫塔(Runge-Kutta)光線追跡法[7-8]?？梢杂霉饩€方程來表述折射率任意分布介質(zhì)中光線的路徑：

(7)

式中，▽n是折射率梯度；s是光線傳播路徑上的弧長；r是光線矢徑。將式7進(jìn)行變形處理，令光線傳播矢量為T=ndr/ds=dr/dt，其中引入1個參量dt=ds/n，則光線方程可寫為：

(8)

式8中有3個分量，記為：

(9)

式中，R是光線傳播路徑上的點(diǎn)坐標(biāo)；T是每個點(diǎn)的光線矢量；D是式8右端的項。經(jīng)過推導(dǎo)可得：

(10)

(11)

式中，Δt=Δs/n；Δs是空間追跡步長；m是光線路徑上點(diǎn)的標(biāo)號。當(dāng)已知光線初始條件R0、T0時，可以逐次進(jìn)行追跡，直到完成整個追跡過程。

2軟件仿真

選擇1個底面半徑為50 mm，高為20 mm的圓柱體透鏡，內(nèi)部折射率分布遵循下式：

(12)

式中，n0是圓柱底面中線連線上的折射率；α是折射率系數(shù)。經(jīng)物理場仿真軟件仿真后，透鏡內(nèi)部折射率分布如圖2所示。

圖2　透鏡內(nèi)部折射率分布圖

在物理場仿真軟件中觀察光線軌跡，選擇平行光，垂直于透鏡底面入射，從另一底面出射，在后方設(shè)置一接收面，可以發(fā)現(xiàn)出射光先逐漸匯聚，當(dāng)匯聚到一個定點(diǎn)后再發(fā)散，并在接收面上呈一個“十”字投影(見圖3a)。此后，利用MATLAB算法實(shí)現(xiàn)平行光通過透鏡在接收面上的投影。上述光線追跡方程只適用于連續(xù)變化的折射率介質(zhì)，然而透鏡的表面與空氣接觸，在接觸面上，折射率是突變的；因此，需要在接觸面上做折射處理。結(jié)果如圖3b所示，接收面上成的像與物理仿真軟件計算出來的結(jié)果一致，這就證明了上述光線追跡方法的正確性與可行性。

圖3　平行光入射體透鏡于接收面上的照度圖

用LED朗伯點(diǎn)光源照射上述透鏡，觀察接收面上的光分布情況，結(jié)果如圖4所示，一束光強(qiáng)按朗伯型分布的LED光源，經(jīng)過1個圓柱狀的GRIN透鏡后，在接收面上形成1個方形光斑。這一特性可用于LED矩形配光。

圖4　朗伯點(diǎn)光源在GRIN透鏡下的成像

3結(jié)語

物理場仿真軟件只能實(shí)現(xiàn)簡單的平行光建模，且計算量大。本文提出的光學(xué)模型，利用MATLAB算法實(shí)現(xiàn)光源的模擬與光線追跡，可以減少計算量，且可以實(shí)現(xiàn)任意光源的仿真。

GRIN一般用于微波通信、成像元件設(shè)計，然而上述研究與分析為GRIN用于配光設(shè)計提供了可能。目前，漸變折射率光學(xué)用于配光設(shè)計方面的相關(guān)研究還很少，所以此項研究將具有創(chuàng)新性和開創(chuàng)性。GRIN透鏡由于其特殊的漸變折射率分布可以改變光線的方向，在理論上可以達(dá)到理想的配光效果。在一個規(guī)則的幾何體內(nèi)就能夠達(dá)到想要的光學(xué)效果，可以避免光學(xué)透鏡曲面加工難的問題。相比于其他配光方法，利用體透鏡進(jìn)行配光，具有重要理論意義和實(shí)際意義。

參考文獻(xiàn)

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責(zé)任編輯彭光宇

The Optics Research based on Gradient Index Lens

WU Mengying, LI Meihua, ZHANG Yong, XU Changlong

(College of Science, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023, China)

Abstract：Based on the ray tracing equation, the traces of lights are simulated with a MATLAB program. All the lights are emitted from a point source, passed through GRIN lens and hit on the target surface. The lens are cylindrical, whose internal refractive index varies continuously. Simulate the Lambert LED pot light by Monte Carlo algorithm. Use MATLAB software to achieve light ray-tracing for the gradient index lens, then observe the image on receiver, which comes from LED rays through the lens to the receiving surface. The ray tracing method is verified by the simulation result from FEMLab software. These theoretical preparation and work proves a theoretical and experimental basis of the non-imaging optics lens design.

Key words:GRIN， non-imaging optics， lens， LED

收稿日期：2015-04-20

作者簡介：吳夢熒(1989-)，女，碩士研究生，主要從事成像與非成像光學(xué)等方面的研究。

中圖分類號：O 439；O 435

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A