垂直電流元在深海中的電場(chǎng)強(qiáng)度算法推導(dǎo)*

張建春 王向軍

(海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院 武漢 430033)

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垂直電流元在深海中的電場(chǎng)強(qiáng)度算法推導(dǎo)*

張建春 王向軍

(海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院 武漢 430033)

利用鏡像法來研究腐蝕相關(guān)軸頻電場(chǎng)在均勻、線性各向同性半無限大的導(dǎo)電介質(zhì)中垂直方向所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度,以垂直時(shí)諧電流元進(jìn)行建模。通過矢量磁位A的引入對(duì)垂直時(shí)諧電流元在兩層介質(zhì)中某一固定點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度推導(dǎo)出新的表達(dá)式,并驗(yàn)證其正確性。

導(dǎo)電介質(zhì); 電場(chǎng)強(qiáng)度; 垂直時(shí)諧電流元; 矢量磁位

Class Number TM15

1 引言

在海水為半無限大的空間中[1～2],本文將艦船等效為垂直電流元來進(jìn)行建模。通過利用鏡像法對(duì)海水中的垂直電流元半無限大、線性、均勻、各向同性的海水導(dǎo)體空間中任意點(diǎn)處的電磁場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式推導(dǎo)[3～4],本文所采用的鏡像法求解矢量磁位的計(jì)算過程較為簡(jiǎn)單,避免了重復(fù)計(jì)算,并與數(shù)值計(jì)算方法[5]相結(jié)合,提高計(jì)算結(jié)果的正確性。最后通過與其他文獻(xiàn)應(yīng)用的算法得出的表達(dá)式[6～9]進(jìn)行比較,并通過仿真驗(yàn)證其正確性。

2 腐蝕相關(guān)等效模型的建立及矢量磁位的引入

由Maxwell方程可知在線性、均勻、各向同性的介質(zhì)中,時(shí)諧電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁感應(yīng)強(qiáng)度B與矢量磁位的關(guān)系[4]如下:

(1)

(2)

(3)

其中:JS為外加電流元的電流密度,μ為媒質(zhì)的磁導(dǎo)率,k2=-jωμ(σ+jωε),ω為場(chǎng)的角頻率。

A=Azez

(4)

圖1 半無限煤質(zhì)中的垂直電流元

應(yīng)用鏡像法可以寫出垂直電流元的矢量磁位在圖1所示介質(zhì)的內(nèi)邊界面上的邊界條件和約束條件[4]。

邊界條件:

(5)

約束條件:

(6)

式中,A1為垂直時(shí)諧電流元在空氣的a′位置產(chǎn)生的矢量磁位,A2為海水的a位置產(chǎn)生的矢量磁位。

首先,計(jì)算在空氣中任意點(diǎn)處產(chǎn)生的矢量磁位時(shí),將海水看作是與空氣具有相同介質(zhì),而空氣中產(chǎn)生的矢量磁位僅由海水中的電流元產(chǎn)生,而在空氣中不存在時(shí)諧電流元,即式(6)右邊為零,通過邊界條件和約束條件并應(yīng)用快速Hankel變換[11]和歐拉公式很容易得到空氣中的矢量磁位為

+d(λ,m)e-zu1]dλ

(7)

由圖1可知,當(dāng)z→∞時(shí),A1z應(yīng)有界,從而可得b(λ,m)=0,由邊界條件(5)知,d(λ,m)只能取m=0,則

(8)

在求解海水中的矢量磁位時(shí),將空氣看做與海水介電常數(shù)相同的介質(zhì),在鏡像z=h處放置一極低頻垂直時(shí)諧電流元-JSδ(|R′|)ez作為等效電流元,則

+γ(λ,m)ezu1]dλ

(9)

+χ(λ,m)e-zu1]dλ

(10)

在z=h處,當(dāng)z→∞時(shí)A2|z=h有界,則γ(λ,m)=0,并由邊界條件知,m只能取0,從而得鏡像源在a處產(chǎn)生的矢量磁位為

(11)

同理,在z=-h處由邊界條件z→-∞時(shí),A2|z=-h有界,則χ(λ,m)=0,從而根據(jù)邊界條件知電流元在a處產(chǎn)生的矢量磁位為

(12)

由于海水中的矢量磁位由鏡像電流元和電流元兩者疊加而成,則在海水中產(chǎn)生的矢量磁位為

A2= (A2z|z=h+A2z|z=-h)ez

+β(λ,0)ezu2)J0(λr)dλez

(13)

將式(8)、式(13)分別代入邊界條件式(5)便可確定d(λ,0)、α(λ,0)、β(λ,0)為

α(λ,0)=0

綜上得

3 海水中垂直電流元在兩層導(dǎo)電介質(zhì)任意點(diǎn)的電磁場(chǎng)強(qiáng)度

B2z=0

4 計(jì)算實(shí)例

5 結(jié)語

本文用經(jīng)典鏡像法的方法結(jié)合在其他文獻(xiàn)原有的研究基礎(chǔ)上求解出垂直時(shí)諧電流元的矢量磁位的表達(dá)式,并根據(jù)經(jīng)典的矢量磁位變量的引入推導(dǎo)出了位于海水中的垂直時(shí)諧電流元在海水中的電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式。

圖2 海水中極低頻時(shí)諧垂直電流元產(chǎn)生的電磁場(chǎng)幅值分布

該結(jié)果當(dāng)μ1=μ2=μ且z軸反向時(shí)與文獻(xiàn)[7]的結(jié)果是等價(jià)的,同時(shí)與文獻(xiàn)[6]第五章推導(dǎo)出的結(jié)果也完全相等,本文采用的鏡像法是將電流元整體進(jìn)行鏡像求解,且鏡像源與電流元的求解方法相同,相對(duì)文獻(xiàn)[6]采用的鏡像法計(jì)算過程較簡(jiǎn)單,避免了重復(fù)的計(jì)算過程,使在求解矢量磁位時(shí)節(jié)省了很多時(shí)間。

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Arithetic Derivation about Electric Field Intensity of Vertical Current in the Deep Sea

ZHANG Jianchun WANG Xiangjun

(College of Electronic Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033)

Image method is used to study the electric intensity related to shaft-rate of corrosion in the conductive medium, which is half infinite field of hoegeneous, linear and in the same nature, modeled by vertical harmonic current. The new electricity intensity expression about some fixed point in two layer medium, which is produced by vertical harmonic current, is deduced by introducing the magnetic vector potential A, and its correctness is verified at last.

conductive medium, electric intensity, vertical harmonic current, magnetic vector potential

2015年4月1日,

2015年5月27日

張建春,男,碩士研究生,研究方向:電磁環(huán)境與防護(hù)技術(shù)。王向軍,男,博士,教授,碩士生導(dǎo)師,研究方向:電磁環(huán)境與防護(hù)技術(shù)。

TM15

10.3969/j.issn.1672-9730.2015.10.043