基于改進(jìn)彈簧-質(zhì)點模型的緯編織物三維模擬

沙 莎，蔣高明，馬丕波，李欣欣

(江南大學(xué)教育部針織技術(shù)工程研究中心，江蘇無錫 214122)

利用計算機(jī)技術(shù)對緯編織物進(jìn)行模擬是近年來比較熱門的研究課題。國內(nèi)外許多專家和學(xué)者針對織物模擬進(jìn)行了一系列研究工作。利用計算機(jī)技術(shù)對緯編織物進(jìn)行模擬，可提高設(shè)計效率，降低生產(chǎn)成本，對開發(fā)緯編新產(chǎn)品和提高緯編產(chǎn)品性能具有重要的意義。

Weil［1］采用他用純幾何的方法，將織物懸掛在約束點上，通過計算約束點間懸鏈線位置的變化對織物進(jìn)行模擬。Ng等［2］基于幾何模型，在人體模型的基礎(chǔ)上建立衣服層，同時在織物褶皺線附近建立正弦曲線模擬褶皺。這2種方法都是基于幾何造型的方法，雖然可較好地展示織物外形，但不能準(zhǔn)確表現(xiàn)出織物的局部結(jié)構(gòu)特征。針對幾何造型方法存在的問題，Terzopoulos等［3］提出了基于物理的連續(xù)彈性變形模型，該模型認(rèn)為形變體的變化遵循牛頓定律和彈性力學(xué)原理，通過求解方程可得到物體上各點的空間幾何位置。Yang等［4］在此基礎(chǔ)上提出了粒子系統(tǒng)技術(shù)，使織物具有更逼真的物理效果，將織物模型仿真提升到更高的層次，但這種連續(xù)的物理模型計算量極大，沒有考慮到紗線的編織結(jié)構(gòu)等微觀特征，難以適用于更加松弛的毛衣、圍巾等針織物的模擬［5］。

Xabier［6］結(jié)合了 Terzpopulos 的彈性變形模型，提出了基于物理方法的離散型彈簧-質(zhì)點模型，這個模型使用一個準(zhǔn)確的時間間隔方法，得到力學(xué)方程，對織物進(jìn)行模擬。Baraff等［7］用隱式歐拉法對力學(xué)方程求解，得到穩(wěn)定的模擬效果，但計算復(fù)雜。國內(nèi)對于這方面的研究已經(jīng)進(jìn)行了一段時間，劉卉等［8］將彈性曲線在某點的曲率作為彈性系數(shù)，將相同的彈簧設(shè)置成不同的彈性系數(shù)，解決了仿真中出現(xiàn)的超彈性問題，并且將服裝的省道和褶皺等問題考慮在內(nèi)。Yang等［9］用四階的龍格-庫塔法對力學(xué)方程求解，獲得了穩(wěn)定的模擬效果，但計算也復(fù)雜。

由于緯編織物組織結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和特殊性，對其模擬的方法與機(jī)織物有所不同。離散的物理模型能夠較好展現(xiàn)出緯編織物結(jié)構(gòu)的局部細(xì)節(jié)，運(yùn)算效率高，仿真效果好，但傳統(tǒng)離散的平面彈簧-質(zhì)點模型在模擬結(jié)構(gòu)復(fù)雜的緯編組織時存在局限性。為解決以上問題，本文對平面彈簧-質(zhì)點模型進(jìn)行改進(jìn)，提出立體的彈簧-質(zhì)點模型對緯編織物進(jìn)行模擬。將平面的彈簧質(zhì)點模型立體化為長方體模型，采用標(biāo)準(zhǔn)模板類(standard template library，STL)中的隊列模板(deque)來創(chuàng)建隊列，使得元素可被隨機(jī)訪問讀取。通過定義作用于質(zhì)點的力對緯編織物進(jìn)行物理模擬，用Velocity-Verlet法求解變形的方程，該方法增強(qiáng)了模擬效果的真實感和穩(wěn)定性。

1 改進(jìn)的彈簧質(zhì)點模型及力學(xué)分析

1.1 彈簧-質(zhì)點模型及存在的問題

將織物看成是由排列規(guī)則的離散質(zhì)點組成的，織物的質(zhì)量均勻分布在各個質(zhì)點上，質(zhì)點由沒有質(zhì)量的彈簧連接，如圖1所示。圖中彈簧分為3種類型:結(jié)構(gòu)彈簧、剪切彈簧與彎曲彈簧。結(jié)構(gòu)彈簧用于保持織物質(zhì)點間經(jīng)緯方向的距離;剪切彈簧用于保持織物質(zhì)點間斜向方向的距離;彎曲彈簧連接經(jīng)緯方向間隔的2個質(zhì)點，用于模擬織物彎曲或折疊時的抗彎曲性能。前2種彈簧彈性系數(shù)很大，最后一種彈簧的彈性系數(shù)很小，在織物仿真中可不考慮。

傳統(tǒng)的彈簧-質(zhì)點模型雖然有其獨(dú)特的優(yōu)勢，但是在緯編織物仿真模擬中存在局限性。緯編織物組織結(jié)構(gòu)復(fù)雜，織物層次多樣，而應(yīng)用傳統(tǒng)的彈簧質(zhì)點模型對緯編織物的形態(tài)模擬單一，不能生動展示出對緯編組織的模擬效果。

圖1 彈簧-質(zhì)點模型Fig.1 Mass spring models.(a)Mass connections;(b)Structure spring;(c)Shear spring;(d)Bend spring

1.2 改進(jìn)的彈簧-質(zhì)點模型

為解決傳統(tǒng)的彈簧質(zhì)點模型在緯編織物模擬中存在的問題，本文在原模型的基礎(chǔ)上，將平面模型立體化，變成長方體彈簧，如圖2所示。

圖2 改進(jìn)的彈簧-質(zhì)點模型Fig.2 Improved spring-mass model

各質(zhì)點均勻分布在空間的網(wǎng)格上，每個小長方體的每條邊作為結(jié)構(gòu)彈簧，長方體面上的對角線作為剪切彈簧，由于彎曲彈簧的彈性系數(shù)極小，因此在本模型中，將彎曲彈簧忽略。模型中的質(zhì)點是隨時間變化的動態(tài)系統(tǒng)，在每個時間步長里，質(zhì)點模擬受內(nèi)力(彈簧力和阻尼力)和外力(重力、風(fēng)力等)的作用而移動。質(zhì)點運(yùn)動規(guī)律遵循Newton第二定律:

式中:m為將模型離散化為n個質(zhì)點后每個質(zhì)點的質(zhì)量;a為合力F作用于質(zhì)點所產(chǎn)生的加速度;X為質(zhì)點的位移;Fext(X，t)和Fint(X，t)分別為質(zhì)點所受的外力和內(nèi)力。

1.3 線圈上質(zhì)點的內(nèi)力分析

質(zhì)點所受的內(nèi)力由彈簧力和阻尼力組成，即Fint=Fspr+Fdamp。其中，F(xiàn)spr代表彈簧彈力，F(xiàn)d代表阻尼力。圖3(b)和(c)為線圈上質(zhì)點受結(jié)構(gòu)彈簧力和剪切彈簧力的受力分析圖。彈簧的彈力Fspr利用胡克定律可得到:

式中:Kspr為彈簧變形系數(shù);|X0Xj|t－|X0Xj|0表示在t時刻和零時刻X0與Xj距離的變化;為X0指向Xj的單位向量。

阻尼力Fdamp定義為:

式中:Kdamp為連接質(zhì)點i和j的阻尼系數(shù);Vi(t)和Vj(t)分別為質(zhì)點i與j的速度。

圖3 線圈受力變形原理Fig.3 Deformation principle of forced loop.(a)Loop structure;(b)Loop forced main view;(c)Loop forced lateral view

1.4 線圈上質(zhì)點的外力分析

外力包括重力、風(fēng)力和用戶施加的作用力。假設(shè)織物受力均勻，則質(zhì)點所受重力Fgrave為:

式中:M為織物的總質(zhì)量;n為織物的總質(zhì)點數(shù);g為重力加速度，取值為9.8 N/kg。

定義一個水平方向的力作為風(fēng)力，風(fēng)力Fwind為:

式中:Kwind為風(fēng)力因子;△Vi(t)為t時刻，風(fēng)速與質(zhì)點速度之差。

用戶拖動鼠標(biāo)，拽取織物時，給織物增加了一個作用力，當(dāng)用戶釋放鼠標(biāo)時，此作用力消失。作用力Fuser為:

式中:Kuser為鼠標(biāo)操作力的強(qiáng)度，△L為鼠標(biāo)拖拽的長度，與Fuser的大小成正比。

1.5 對彈簧質(zhì)點力的傳播

當(dāng)用戶對織物施加一個外力時，整個織物會產(chǎn)生形變，根據(jù)力由近及遠(yuǎn)傳播擴(kuò)散的原理，受力質(zhì)點將力傳播到相鄰的質(zhì)點。作用的外力不會讓所有的質(zhì)點移動，只會讓受力點相鄰的質(zhì)點發(fā)生位移，因此，只需考慮在相應(yīng)的范圍內(nèi)質(zhì)點的相互作用。

當(dāng)外力F作用于m0時，這個點在力的作用下產(chǎn)生位移，該點與L1層相鄰，所以L1層上的節(jié)點m1、m2、m3也隨之運(yùn)動，同理與L1相鄰層上的質(zhì)點也依次運(yùn)動，如圖4所示。當(dāng)力一層一層地傳播下去，達(dá)到一定深度的時候，后面的層次幾乎不受影響，可忽略不計。這樣既保證了計算的精度，又減少了計算量。在三維空間中，若一個質(zhì)點受到力的作用，限定力的傳播深度為n，則受此力影響的質(zhì)點總數(shù)［10］為N=(n+2)(2n2+8n+9)/3。

圖4 力的傳播Fig.4 Force spread

2 Velocity-Verlets數(shù)值積分法

用顯式歐拉法來求解彈簧質(zhì)點模型的動力學(xué)方程，雖然方法簡單，但求解結(jié)果為一階精度，必須采用很小的時間步長，影響系統(tǒng)的運(yùn)行速度;隱式歐拉法雖然可采用較大的時間步長獲得穩(wěn)定結(jié)果，但在求解過程中需要多次迭代，計算復(fù)雜，運(yùn)算量遠(yuǎn)大于同階的顯式積分法;梯形法將顯式和隱式歐拉法結(jié)合，它的計算精度比隱式歐拉法高，但是使用傳統(tǒng)的顯式歐拉法為第1次迭代的預(yù)測初值，迭代的初值誤差較大，因此為獲得與隱式歐拉法同樣的精度，需要多次迭代;四階龍格-庫塔積分法為五階精度，運(yùn)算較為復(fù)雜;Verlet顯式積分法為二階精度，時間步長可取值更大，精度比顯示歐拉法更高。

Verlet顯式積分法在計算時間和精度上都有很大的優(yōu)勢，但是它需要獲得質(zhì)點在前一時刻和后一時刻的位置來計算質(zhì)點當(dāng)前的速度。針對這一問題，本文選用Velocity-Verlet數(shù)值積分法。

式中:m為質(zhì)點的質(zhì)量;Xi(t)為質(zhì)點i在t時刻的位置;Fi(t)表示質(zhì)點受力;Fi(t+△t)表示新位置質(zhì)點受力;Vi(t)表示質(zhì)點在t時刻的速度。

3 超彈性問題的解決

采用理想彈簧模擬織物受力變形時，彈簧的伸長量與受力成正比，若用這種線性彈簧模擬具有高度非線性特性的織物，會產(chǎn)生超彈性現(xiàn)象。避免這一現(xiàn)象的常用方法為:提高彈簧的剛度系數(shù);設(shè)置彈簧長度變化的閾值;調(diào)整質(zhì)點起止點位置和有序的調(diào)整質(zhì)點速度等［11］。增加剛度系數(shù)的方法會降低織物的變形率，調(diào)整質(zhì)點的起止點位置可能會導(dǎo)致與其相鄰的彈簧發(fā)生超彈性問題［12］。調(diào)整質(zhì)點速度也不能從根本解決織物變形的非線性問題［13］。因此本文選用設(shè)置彈簧長度變化閾值的方法來解決超彈性問題。如果彈簧變形長度超過了設(shè)定的閾值，就修改這個彈簧的張力，將超過閾值的彈簧拉回正常的位置。通過修正發(fā)生超彈性問題彈簧的張力，來解決超彈性問題。

4 織物模擬實現(xiàn)過程

4.1 初始化模型建立

使用Visual Studio和OpenGL建立改進(jìn)的彈簧質(zhì)點模型，并賦予質(zhì)點和彈簧物理屬性，實現(xiàn)了緯編針織物的動態(tài)模擬。采用標(biāo)準(zhǔn)模板類STL中的隊列模板deque來創(chuàng)建雙向隊列。雙向隊列能夠以分段存儲，整體維護(hù)的方式，在隊列中的任意位置添加刪除元素，并且能夠隨機(jī)遍歷、訪問、讀取元素，這些功能是傳統(tǒng)呆板的鏈表所達(dá)不到的。使用這種方式在對質(zhì)點、彈簧和控制點初始化時，相對于普通鏈表，可顯著提高查詢效率，使程序更加靈活、高效。

圖5為建立改進(jìn)模型的初始化流程圖，通過獲得視圖指針分別創(chuàng)建彈簧-質(zhì)點模型中的彈簧、質(zhì)點和線圈上的型值點，以此來賦予彈簧和質(zhì)點物理屬性和幾何屬性，完成彈簧-質(zhì)點模型的建立。

4.2 織物模擬的實現(xiàn)

通過圖6所展示的程序處理流程實現(xiàn)對織物受力的模擬。圖7為線圈動態(tài)模擬的效果圖。

5 結(jié)論

圖5 模型初始化流程圖Fig.5 Model initialization flowchart

圖6 工作流程圖Fig.6 Work flow chart

本文針對緯編織物組織結(jié)構(gòu)的特性，改進(jìn)了傳統(tǒng)的彈簧-質(zhì)點模型，將二維模型立體化，通過立體化模型來模擬組織結(jié)構(gòu)復(fù)雜的緯編織物。在模擬織物受力時，限定了力的傳播深度，保證計算精度同時又減少了計算量。用Velocity-Verlet數(shù)值積分法求解運(yùn)動微分方程，該方法能夠在較大的時間步長內(nèi)獲得穩(wěn)定且實時性好的動態(tài)模擬效果。采用標(biāo)準(zhǔn)模板類中的隊列模板創(chuàng)建隊列，加快了模型的初始化速度和訪問速度。通過限制彈簧變形值，將超過閾值的彈簧增加張力，有效地解決了緯編織物的超彈性形變問題。應(yīng)用本文的模型和方法，用 Visual Studio和OpenGL編程，模擬實現(xiàn)了緯編織物受拉力等外力作用時的動態(tài)效果，實現(xiàn)了緯編織物的三維仿真，增強(qiáng)了緯編織物動態(tài)仿真的立體感，模擬效果真實且實時性好。

圖7 線圈動態(tài)模擬效果Fig.7 Loop dynamic simulation of plain stitch without force(a)and with force(b)，rib stitch without force(c)and with force(d)

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