考慮手術(shù)間及醫(yī)療團(tuán)隊(duì)間準(zhǔn)備時(shí)間的手術(shù)排程

朱 悅 張玉林 宋旼珊

(東南大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，南京211189)

醫(yī)院手術(shù)室是高科技設(shè)備和專(zhuān)業(yè)醫(yī)護(hù)人員最密集的場(chǎng)所.依托手術(shù)室進(jìn)行的醫(yī)療服務(wù)給醫(yī)療機(jī)構(gòu)及社會(huì)帶來(lái)經(jīng)濟(jì)和社會(huì)效益的同時(shí)，產(chǎn)生的成本也很大.杜少甫等［1］發(fā)現(xiàn)，手術(shù)室產(chǎn)生的費(fèi)用占醫(yī)院總費(fèi)用的40%以上.因此，提高手術(shù)室利用率可有效地減少醫(yī)療成本.

手術(shù)排程中，手術(shù)準(zhǔn)備時(shí)間會(huì)影響手術(shù)室的利用率.手術(shù)準(zhǔn)備時(shí)間指從上一個(gè)病人離開(kāi)手術(shù)室到下一個(gè)病人進(jìn)入手術(shù)室的時(shí)間.在這段時(shí)間內(nèi)，醫(yī)療團(tuán)隊(duì)需對(duì)手術(shù)臺(tái)進(jìn)行清理、消毒、更換醫(yī)療器材等.此外，2 個(gè)不同的醫(yī)療團(tuán)隊(duì)之間切換也需要準(zhǔn)備時(shí)間.當(dāng)相鄰手術(shù)的類(lèi)型差異較大時(shí)，會(huì)更換醫(yī)療團(tuán)隊(duì)，相應(yīng)的手術(shù)設(shè)備變動(dòng)也較大，帶來(lái)了額外的準(zhǔn)備時(shí)間［2］.Kodali 等［3］對(duì)布里格姆婦科醫(yī)院手術(shù)流程的細(xì)分、改進(jìn)，縮短了手術(shù)準(zhǔn)備時(shí)間，提高了手術(shù)室的利用率.Arnaout 等［4］研究了依賴(lài)于次序的手術(shù)準(zhǔn)備時(shí)間，以最小化所有手術(shù)完成時(shí)間為目標(biāo)，提出LEPST 算法，以提高手術(shù)室的利用率.在含有多個(gè)手術(shù)室的排程問(wèn)題中，Zhao 等［5］研究了依賴(lài)于相鄰手術(shù)類(lèi)型的準(zhǔn)備時(shí)間，采用約束規(guī)劃，找到使手術(shù)室利用率最高的排程.

醫(yī)療機(jī)構(gòu)中病人的實(shí)際手術(shù)時(shí)間還受到學(xué)習(xí)效應(yīng)影響.學(xué)習(xí)效應(yīng)是指隨著手術(shù)數(shù)目的增加，由醫(yī)生手術(shù)經(jīng)驗(yàn)累積而帶來(lái)的手術(shù)時(shí)間縮短［6］.學(xué)習(xí)效應(yīng)主要體現(xiàn)在手術(shù)環(huán)節(jié)及手術(shù)準(zhǔn)備環(huán)節(jié).Bokhari 等［7］認(rèn)為，實(shí)際手術(shù)時(shí)間隨醫(yī)生完成的同類(lèi)手術(shù)數(shù)增加而遞減.Stepaniak 等［8］發(fā)現(xiàn)，在腹股溝疝修補(bǔ)手術(shù)中，連續(xù)進(jìn)行相類(lèi)似的手術(shù)，可縮短手術(shù)準(zhǔn)備時(shí)間.除此之外，準(zhǔn)備時(shí)間還存在惡化效應(yīng).惡化效應(yīng)指由于推遲手術(shù)帶來(lái)的實(shí)際準(zhǔn)備時(shí)間增加的現(xiàn)象.Wang 等［9］在考慮準(zhǔn)備時(shí)間存在惡化效應(yīng)的加工模型時(shí)，認(rèn)為手術(shù)推遲導(dǎo)致的準(zhǔn)備時(shí)間延長(zhǎng)適用于醫(yī)療領(lǐng)域，病人病情加重而導(dǎo)致醫(yī)療團(tuán)隊(duì)需要更長(zhǎng)的準(zhǔn)備時(shí)間.

Wang 等［10］研究了加工時(shí)間和準(zhǔn)備時(shí)間同時(shí)存在的惡化效應(yīng)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是完成時(shí)間和資源成本的加權(quán)和時(shí)，在特定參數(shù)條件下，該問(wèn)題可通過(guò)多項(xiàng)式算法求解.Lee 等［11］研究了加工時(shí)間和準(zhǔn)備時(shí)間都存在的學(xué)習(xí)效應(yīng)，并在組容量相同，準(zhǔn)備時(shí)間和加工時(shí)間存在對(duì)應(yīng)大小關(guān)系時(shí)，提出解決最小化總完工時(shí)間的多項(xiàng)式算法.Yang 等［12］考慮了準(zhǔn)備時(shí)間和加工時(shí)間都具有基于位置和時(shí)間兩類(lèi)學(xué)習(xí)效應(yīng)的問(wèn)題，并證明最小化所有工件完工時(shí)間能采用多項(xiàng)式算法求解.Kuo［13］進(jìn)一步研究2 類(lèi)學(xué)習(xí)效應(yīng)，認(rèn)為基于位置的學(xué)習(xí)效應(yīng)適用于準(zhǔn)備時(shí)間，基于時(shí)間的學(xué)習(xí)效應(yīng)適用于加工時(shí)間，區(qū)分了單一學(xué)習(xí)效應(yīng)和多個(gè)學(xué)習(xí)效應(yīng)2 種情形.給出每種情形下，求解最小化所有工件完工時(shí)間和總完工時(shí)間的多項(xiàng)式算法.

上述工件排程的研究，僅考慮了組與組之間準(zhǔn)備時(shí)間，沒(méi)有考慮同組工件加工的準(zhǔn)備時(shí)間.本文綜合考慮手術(shù)間和醫(yī)療團(tuán)隊(duì)間兩類(lèi)準(zhǔn)備時(shí)間，并考慮手術(shù)時(shí)間和手術(shù)間準(zhǔn)備時(shí)間存在的學(xué)習(xí)效應(yīng)以及醫(yī)療團(tuán)隊(duì)間準(zhǔn)備時(shí)間存在的惡化效應(yīng)，使得所有手術(shù)的完成時(shí)間最短.

1 問(wèn)題描述和假設(shè)

1.1 問(wèn)題描述

研究一個(gè)工作日內(nèi)，單一手術(shù)室的排程，手術(shù)室允許不同醫(yī)療團(tuán)隊(duì)進(jìn)行不同類(lèi)型的手術(shù).考慮同一個(gè)醫(yī)療團(tuán)隊(duì)進(jìn)行的手術(shù)之間的準(zhǔn)備時(shí)間和不同醫(yī)療團(tuán)隊(duì)間因調(diào)試設(shè)備、準(zhǔn)備器材需要的準(zhǔn)備時(shí)間;手術(shù)時(shí)間和手術(shù)間準(zhǔn)備時(shí)間存在學(xué)習(xí)效應(yīng)，醫(yī)療團(tuán)隊(duì)間準(zhǔn)備時(shí)間存在惡化效應(yīng).需要確定工作日內(nèi)不同醫(yī)療團(tuán)隊(duì)進(jìn)入手術(shù)室的次序和醫(yī)療團(tuán)隊(duì)進(jìn)行手術(shù)的次序，使所有手術(shù)完成時(shí)間最短.

1.2 假設(shè)

本文做如下3 個(gè)假設(shè):

1)手術(shù)病人數(shù)和手術(shù)類(lèi)型術(shù)前已知.即所有病人在手術(shù)排程前已到達(dá)，相應(yīng)的手術(shù)類(lèi)型確定，不考慮緊急病人到達(dá)及已安排手術(shù)的病人臨時(shí)取消手術(shù).

2)醫(yī)療團(tuán)隊(duì)順序進(jìn)場(chǎng).即某個(gè)醫(yī)療團(tuán)隊(duì)在手術(shù)室完成所有手術(shù)后，其他醫(yī)療團(tuán)隊(duì)才可進(jìn)入手術(shù)室工作.

3)確定性環(huán)境.即在手術(shù)過(guò)程中，不考慮手術(shù)時(shí)間因?qū)嶋H情形的復(fù)雜性等而可能帶來(lái)的額外不可控變化.

假設(shè)1 保證手術(shù)排程的對(duì)象是確定數(shù)目的手術(shù)病人，排程前可確定參與手術(shù)的醫(yī)療團(tuán)隊(duì).假設(shè)2 依據(jù)的是Luo 等［14］有關(guān)連續(xù)進(jìn)行同類(lèi)型手術(shù)可以提高手術(shù)效率的結(jié)論.

2 排程模型及分析

2.1 排程模型

手術(shù)排程的目的是提高手術(shù)室利用率，指標(biāo)有多種，如所有手術(shù)的完成時(shí)間、所有手術(shù)完成時(shí)間與期望時(shí)間的差值之和.Arnaout 等［4］把所有手術(shù)的完成時(shí)間作為衡量手術(shù)室利用率的指標(biāo).對(duì)給定數(shù)目的手術(shù)病人，本文將最小化所有手術(shù)的完成時(shí)間作為目標(biāo)，研究每個(gè)醫(yī)療團(tuán)隊(duì)進(jìn)行手術(shù)的次序和醫(yī)療團(tuán)隊(duì)進(jìn)入手術(shù)室的次序，參考Graham 等［15］的一般調(diào)度模型表示方法，本文研究的問(wèn)題可表示為

式中，“1”代表單一手術(shù)室的排程;pij為病人Jij(編號(hào)j)、手術(shù)排序?yàn)閞、由第i 個(gè)醫(yī)療團(tuán)隊(duì)進(jìn)行手術(shù)的時(shí)間，j=1，2，…，ni，i=1，2，…，M，ni為醫(yī)療團(tuán)隊(duì)i的手術(shù)數(shù)量;αij為基本手術(shù)時(shí)間;αi［q］為醫(yī)療團(tuán)隊(duì)i參與的第q(q=1，2，…，ni)臺(tái)手術(shù)的基本手術(shù)時(shí)間，與手術(shù)排程有關(guān);ki為醫(yī)療團(tuán)隊(duì)i 手術(shù)過(guò)程中的學(xué)習(xí)效應(yīng)常數(shù)，滿(mǎn)足ki＞0;sij為實(shí)際術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間，屬于手術(shù)間準(zhǔn)備時(shí)間;βij為基本準(zhǔn)備時(shí)間;bi為醫(yī)療團(tuán)隊(duì)i 術(shù)前準(zhǔn)備過(guò)程中的學(xué)習(xí)效應(yīng)常數(shù)，滿(mǎn)足bi＞0;δi為醫(yī)療團(tuán)隊(duì)i 實(shí)際的醫(yī)療團(tuán)隊(duì)間準(zhǔn)備時(shí)間;γi為基本準(zhǔn)備時(shí)間;ci為醫(yī)療團(tuán)隊(duì)i 進(jìn)入手術(shù)室后，調(diào)試設(shè)備、準(zhǔn)備器材過(guò)程中的惡化效應(yīng)常數(shù)，滿(mǎn)足ci＞0;t 為醫(yī)療團(tuán)隊(duì)i 進(jìn)入手術(shù)室的時(shí)刻;Cmax為所有手術(shù)的完成時(shí)間.

2.2 模型分析

引理1 當(dāng)x≥0，t≥1，λ≥1，k≥0 時(shí)，恒有(λ－1)t－k+(t+λx)－k－λ(t+x)－k≥0.

證明過(guò)程略.結(jié)合引理1，可確定醫(yī)療團(tuán)隊(duì)進(jìn)行手術(shù)次序的排序.

定理1 對(duì)任意醫(yī)療團(tuán)隊(duì)i，按病人基本手術(shù)時(shí)間αij的非減序列安排手術(shù)，可使其完成所有手術(shù)的時(shí)間最短.

證明 ①情形1，醫(yī)療團(tuán)隊(duì)i 只需完成1 臺(tái)手術(shù).此時(shí)，定理1 顯然成立.②情形2，醫(yī)療團(tuán)隊(duì)i需要完成2 臺(tái)以上手術(shù).反證法證明之.假設(shè)存在一個(gè)最優(yōu)的手術(shù)排序π1=(S1，Jiu，Jiv，S2)不滿(mǎn)足定理1，即存在相鄰的2 個(gè)病人Jiu和Jiv，滿(mǎn)足αiu＞αiv.其中，S1和S2分別表示子排序，包含若干病人，也可能是空集.

記排序π1中，病人Jiu第r 個(gè)進(jìn)行手術(shù)，其進(jìn)入手術(shù)室的時(shí)刻為t.

保持S1和S2中的病人次序不變，交換病人Jiu和Jiv的位置，得到一個(gè)新的手術(shù)排序π'1=(S1，Jiv，Jiu，S2).在按照排序π1情況下，病人Jiu和Jiv完成手術(shù)的時(shí)間分別為Ciu(π1)和Civ(π1)，可分別表示為

類(lèi)似地，在按照手術(shù)排序π'1情況下，病人Jiu完成手術(shù)的時(shí)間為

將式(3)和式(4)相減，可以得到

定理1 確定的是不同團(tuán)隊(duì)內(nèi)的手術(shù)次序，下述定理2 確定了醫(yī)療團(tuán)隊(duì)進(jìn)入手術(shù)室的次序.

定理2 醫(yī)療團(tuán)隊(duì)i(i=1，2，…，M)按照對(duì)應(yīng)ρi值的非減序列依次進(jìn)入手術(shù)室，可使所有手術(shù)的完成時(shí)間最短，其中

證明 ①情形1，工作日只有1 個(gè)醫(yī)療團(tuán)隊(duì)參與手術(shù).定理2 顯然成立.②情形2，至少有2 個(gè)醫(yī)療團(tuán)隊(duì)參與手術(shù).反證法證明之.假設(shè)存在一個(gè)最優(yōu)排序π2=(R1，Gi，Gi'，R2)不滿(mǎn)足定理2(i'=1，2，…，M).Gi和Gi'代表2個(gè)相鄰的醫(yī)療團(tuán)隊(duì)，滿(mǎn)足ρi＞ρi'.其中，R1和R2代表子排序，包含若干醫(yī)療團(tuán)隊(duì)，也可能是空集.

記R1中最后一個(gè)醫(yī)療團(tuán)隊(duì)完成手術(shù)的時(shí)刻為t.交換排序π2中，醫(yī)療團(tuán)隊(duì)Gi和Gi'的位置，得到一個(gè)新的排序π'2=(R1，Gi'，Gi，R2).

在排序π2下，醫(yī)療團(tuán)隊(duì)Gi'完成所有手術(shù)的時(shí)間為

類(lèi)似地，在排序π'2下，醫(yī)療團(tuán)隊(duì)Gi完成所有手術(shù)的時(shí)間

將式(7)和式(8)相減，可以得到

當(dāng)滿(mǎn)足ρi＞ρi'時(shí)，恒有Ci'ni'(π2)＞Cini(π'2).

在手術(shù)排序π2和π'2中，子排序R1和R2是相同的.因此按照排序π'2情況下，所有手術(shù)的完成時(shí)間短于排序π2下所有手術(shù)的完成時(shí)間.這說(shuō)明π'2較π2更優(yōu)，矛盾.故定理2 成立.

定理2 確定了醫(yī)療團(tuán)隊(duì)進(jìn)入手術(shù)室的次序.按照定理1 和定理2，確定醫(yī)療團(tuán)隊(duì)進(jìn)入手術(shù)室的次序和醫(yī)療團(tuán)進(jìn)行手術(shù)的次序，可使所有手術(shù)的完成時(shí)間最短.

2.3 排程算法及分析

根據(jù)定理1 和定理2，得到使所有手術(shù)完成時(shí)間最短的排程算法如下:

①每個(gè)醫(yī)療團(tuán)隊(duì)按病人基本手術(shù)時(shí)間的非減序列確定手術(shù)次序.計(jì)算復(fù)雜度為

②計(jì)算醫(yī)療團(tuán)隊(duì)i(i=1，2，…，M)的ρi值.計(jì)算復(fù)雜度為O(M).

③按ρi值的非減序列依次安排相應(yīng)團(tuán)隊(duì)進(jìn)入手術(shù)室.計(jì)算復(fù)雜度為O(MlogM).

整個(gè)算法的計(jì)算復(fù)雜度為O(nlogn)，n=n1+n2+…+nM.

3 算例分析

本文依據(jù)第2 節(jié)提出的定理及算法，模擬現(xiàn)實(shí)手術(shù)的排程，確定最優(yōu)手術(shù)排程的過(guò)程.相關(guān)參數(shù)為:某個(gè)工作日中，共有10 名病人需安排手術(shù)，涉及3 種手術(shù)類(lèi)型，分別由醫(yī)療團(tuán)隊(duì)1，2，3 負(fù)責(zé)，對(duì)應(yīng)的病人數(shù)分別為3，4，3，手術(shù)病人及醫(yī)療團(tuán)隊(duì)的參數(shù)取值如表1所示.

表1 手術(shù)病人及醫(yī)療團(tuán)隊(duì)的參數(shù)取值

對(duì)醫(yī)療團(tuán)隊(duì)1，由于α11＜α12＜α13，故病人J11，J12和J13依次接受手術(shù).類(lèi)似地，對(duì)醫(yī)療團(tuán)隊(duì)2，病人J24，J23，J22和J21依次接受手術(shù);對(duì)醫(yī)療團(tuán)隊(duì)3，病人J31，J33，J32依次接受手術(shù).計(jì)算3 個(gè)醫(yī)療團(tuán)隊(duì)對(duì)應(yīng)的ρi值，即

由于ρ1＜ρ2＜ρ3，因此醫(yī)療團(tuán)隊(duì)1，2，3 依次進(jìn)入手術(shù)室.使所有手術(shù)完成時(shí)間最短的排程為:(J11→J12→J13)→(J24→J23→J22→J21)→(J31→J33→J32)，最短時(shí)間為38.48.

在該排程下，醫(yī)療團(tuán)隊(duì)1 首先進(jìn)入手術(shù)室.由于手術(shù)沒(méi)有推遲，因此不存在惡化效應(yīng)，醫(yī)療團(tuán)隊(duì)的準(zhǔn)備時(shí)間為0.7.病人J11，J12和J13依次接受手術(shù)，實(shí)際手術(shù)時(shí)間分別為2.00，1.95 和1.94，相比基本手術(shù)時(shí)間，均明顯縮短(除病人J11外)，體現(xiàn)醫(yī)療團(tuán)隊(duì)1 在手術(shù)中的學(xué)習(xí)效應(yīng).每位病人的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間分別為0.40，0.43 和0.46，相比基本術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間，也明顯縮短，體現(xiàn)醫(yī)療團(tuán)隊(duì)1 在術(shù)前準(zhǔn)備中的學(xué)習(xí)效應(yīng).醫(yī)療團(tuán)隊(duì)2 第2 個(gè)進(jìn)入手術(shù)室，手術(shù)被推遲，團(tuán)隊(duì)的準(zhǔn)備時(shí)間延長(zhǎng)，實(shí)際值為2.48，反映醫(yī)療團(tuán)隊(duì)間準(zhǔn)備時(shí)間具有的惡化效應(yīng).病人J24，J23，J22和J21依次接受手術(shù)，實(shí)際手術(shù)時(shí)間分別為2.40，2.29，2.43 和2.45，相比基本手術(shù)時(shí)間，均明顯縮短(除病人J24外)，因?yàn)獒t(yī)療團(tuán)隊(duì)2 累積了手術(shù)經(jīng)驗(yàn).由于醫(yī)療團(tuán)隊(duì)2 累積了術(shù)前準(zhǔn)備的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)際的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間分別縮短為0.63，0.73，0.83 和1.02.醫(yī)療團(tuán)隊(duì)3 最后進(jìn)入手術(shù)室，手術(shù)延遲使團(tuán)隊(duì)的準(zhǔn)備時(shí)間延長(zhǎng)至4.51.病人J31，J33和J32依次接受手術(shù).由于醫(yī)療團(tuán)隊(duì)3 在手術(shù)和術(shù)前準(zhǔn)備環(huán)節(jié)累積的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)際手術(shù)時(shí)間縮短至3.10，2.68 和2.78;實(shí)際術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間縮短至0.66，0.68 和0.96.

4 結(jié)語(yǔ)

本文構(gòu)建了包含手術(shù)間準(zhǔn)備時(shí)間和醫(yī)療團(tuán)隊(duì)間準(zhǔn)備時(shí)間的排程模型，考慮了手術(shù)時(shí)間和手術(shù)間準(zhǔn)備時(shí)間存在的學(xué)習(xí)效應(yīng)，以及醫(yī)療團(tuán)隊(duì)間準(zhǔn)備時(shí)間存在的惡化效應(yīng)，以最小化所有手術(shù)完成時(shí)間為目標(biāo)，確定了每個(gè)醫(yī)療團(tuán)隊(duì)進(jìn)行手術(shù)的次序和醫(yī)療團(tuán)隊(duì)進(jìn)入手術(shù)室的次序.研究證明:每個(gè)醫(yī)療團(tuán)隊(duì)按病人基本手術(shù)時(shí)間的非減序列進(jìn)行手術(shù)，按某給定多項(xiàng)式的非減序列依次進(jìn)入手術(shù)室，是最優(yōu)排程.考慮其他時(shí)間約束對(duì)手術(shù)排程的影響，是今后的研究方向.

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